Propagatore di Feynman - Meccanica Quantistica Relativistica

| {z } =_2ωp¹ f (~p)

infatti la delta si pu`o spezzare nelle due delta di (p0± ω_p) e la funzione di Heaviside seleziona solo quella positiva.

Ora cambiamo variabile da p a Λp⁰ e abbiamo: Z

d⁴p⁰δ(p²⁰− m2)θ((Λp⁰)^o)f (Λ~p0)

Il dp’ trasforma tramite lo jacobiano che è unitario quindi nessun problema, la delta è invariante cos`ı come la f. L’unica quantità che può dar problemi è la θ in quanto in generale il segno non è un invariante relativistico a meno che i quadrivettori non siano di tipo luce o tempo. La delta di Dirac ci assicura che stiamo integrando su un vettore di tipo tempo infatti per la delta p² = m², quindi anche la funzione di Heaviside non da problemi. Ora ci rimane da dimostrare che l’esponenziale è invariante anche lui

∆[Λ(x − y)] = Z d³p (2π)32ω_p | {z } dµp e^{−ip[Λ(x−y)]}− e^{ip[Λ(x−y)]}

facciamo il cambio di variabile p = Λp⁰ Z

d_µ(Λp⁰) e^−i(λp⁰^)[Λ(x−y)]− e^i(λp⁰^)[Λ(x−y)] = ∆(x − y)

infatti negli esponenziali c’`e il prodotto fra i quadrivettori trasformati che `e un invariante per cambio di coordinate.

2.9 Propagatore di Feynman

Il nostro obbiettivo adesso `e quello di risolvere operatorialmente l’equazione di Klein-Gordon, in altre parole riuscire ad invertire l’equazione:

( + m²)ϕ = F (x) (2.17)

Dove F (x) è la sorgente del mio campo ϕ. In caso di assenza di sorgenti per il campo ϕ questa si riconduce all’equazione di Klein-Gordon che ab-biamo già studiato, che corrisponde alla soluzione per particelle libere. Se però c’è un potenziale o un interazione, allora l’espressione generica della funzione ϕ sarà data dall’equazione 2.17. Il nostro obbiettivo è cercare un operatore che mi consenta di invertire questa espressione facilmente.

Definizione 2.9.1 (Time-Ordering) Sia T il superoperatore di time or-dering definito nel modo seguente:

T [ϕ(x), ϕ(y)] =    ϕ(x)ϕ(y) x⁰ > y⁰ ϕ(y)ϕ(x) x⁰ < y⁰ A questo operatore pu`o essere data un espressione analitica:

T [ϕ(x), ϕ(y)] = θ(x⁰− y⁰)ϕ(x)ϕ(y) + θ(y⁰− x⁰)ϕ(y)ϕ(x)

Definizione 2.9.2 (Propagatore di Feynman) Il propagatore di Feyn-man `e un operatore definito come il valor medio del vuoto dell’ordinamento temporale, ed `e costruito nel seguente modo:

i∆F = h0|T [ϕ(x), ϕ(y)] |0i `

E difficile dare direttamente un interpretazione fisica a questo oggetto, per`o ad esempio: Supponiamo x⁰ > y⁰: i∆_F = Particella in x z }| { h0| ϕ(x) ϕ(y) |0i | {z } Particella in y

Un interpretazione fisica possibile di questo operatore è la probabilità data una particella al tempo y⁰ in y di averne un’altra al tempo x⁰ in x. È la probabilità che la particella si sia spostata dal punto x al punto y.

Cerchiamo adesso di verificare cosa succede se applichiamo l’operatore di Klein-Gordon sul propagatore di Feynman.

( + m²)i∆F =?

Quando l’operatore di Klein-Gordon agisce sulle sulle ϕ ottengo zero, per`o potrebbero esserci termini non nulli dovuti alle derivate temporali che agiscono anche sulle θ di Heviside della definizione di T . Per fare un calcolo esplicito ricordiamo la definizione della θ di Heviside e della sua derivata, intesa nel senso delle distribuzioni.

θ [f (x)] = Z ∞ −∞ θ(x)f (x)dx=^. Z ∞ 0 f (x)dx

Questa `e la definizione di θ di Heviside. Questa distribuzione non possiede una derivata nel senso delle funzioni, per`o possiamo provare a eseguire la derivata simbolicamente: dθ dx^{[f (x)] =} Z ∞ −∞ dθ dx^{f (x)dx}

Per rendere questa derivata simbolica un oggetto reale, applichiamo la defi-nizione di integrali per parti:

dθ dx^{[f (x)] = θ(x)} df dx ∞ −∞ − Z ∞ −∞ θ(x)^df dx^dx

Ricordando che nella teoria delle distribuzioni, le funzioni e tutte le derivate sono a dominio compatto, queste si annullano all’infinito.

dθ dx^{[f (x)] = −} Z ∞ 0 df dx ^{= −f (∞) + f (0) = f (0)}

Ma questa `e la definizione della δ di Dirac, quindi possiamo dire che la derivata della distribuzione θ, nel senso della teoria delle distribuzioni, `e proprio la δ di Dirac.

Applichiamo all’operatore di Feynman il dalambertiano: x = ∂²₀− ∇²_x

Per semplicità applichiamolo solo alla variabile x, la y di i∆_F è un parametro indipendente. Il Laplaciano agisce solo sulle derivate spaziali, poiché nell’e-spressione di T le componenti spaziali compaiono solo dentro le ϕ, dobbiamo preoccuparci solo di cosa fa la derivata seconda rispetto al tempo.

∂₀∂⁰i∆_F = h0|T∂₀∂⁰ϕ(x), ϕ(y) |0i + δ(x0− y⁰) h0| [∂₀ϕ(x), ϕ(y)] |0i Il secondo commutatore questa volta non è più nullo a tempi uguali, ma è pari a −iδ(x − y):

∂0∂⁰i∆F = h0|T∂₀∂⁰ϕ(x), ϕ(y) |0i − i δ(x0− y⁰)δ³(~x − ~y)

| {z }

δ4(x−y)

Questo `e il risultato dell’azione delle derivate temporali sul propagatore di Feynman. Adesso vogliamo calcolarci il laplaciano. Quando inserisco il la-placiano, questo non agisce sulle θ (funzioni solo di x⁰), e finisce direttamente dentro l’espressione di T : ( + m²)i∆_F = h0|T  ( + m²)ϕ(x) | {z } =0 , ϕ(y)  |0i − iδ4(x − y)

( + m²)i∆_F = −iδ⁴(x − y)

Questo risultato è impressionante, poiché ci permette di stabilire che il pro-pagatore di Feynman è proprio una funzione di Green, e permette di invertire l’equazione di Klein-Gordon (è l’inverso dell’operatore di Klein-Gordon).

La funzione di Green `e una distribuzione a cui applicando l’operatore differenziale che definisce l’equazione si ottiene una δ di Dirac, e permette ri-solvere l’equazione differenziale. Vogliamo riri-solvere l’equazione differenziale delloperatore di Klein-Gordon.

( + m²)ϕ(x) = F (x)

Questa equazione `e molto simile a quella per il campo elettromagne-tico, se infatti prendiamo i fotoni m = 0, questa equazione si riconduce all’equazione generale dell’elettromagentismo:

ϕ = F

Dove F è la mia quadricarica, e ϕ è un quadripotenziale dei campi elettroma-gnetici. Analogamente in generale questa equazione con m 6= 0 è l’equazione di una particella soggetta a forze. Se conosciamo una funzione di Green del-l’operatore di Klein-Gordon abbiamo risolto il problema. Sia G la funzione di Green, soddisfa la equazione

( + m²)G(x − y) = δ⁴(x − y)

Allora la soluzione all’equazione di Klein-Gordon pu`o essere scritta come: ϕ(x) = ϕ₀(x) +

d⁴yG(x − y)F (y) (2.18)

Dove ϕ0(x) è la soluzione all’equazione omogenea di Klein-Gordon (di cui abbiamo già calcolato la soluzione), e l’integrale in d⁴y è uno degli integra-li particolari dell’equazione di Klein-Gordon estesa (2.17). Mostriamo che la (2.18) sia effettivamente soluzione della (2.17):

( + m²)ϕ(x) = ( + m²)ϕ0(x) | {z } =0 + Z d⁴y ( + m²)G(x − y) | {z } δ4(x−y) F (y) = F (x)

Quindi la conoscenza delle funzioni di Green mi permette di risolvere buona parte dei problemi che si applicano alla tecnologia (descrivendo come sappiamo anche i campi elettromagnetici). `E chiaro che questa equazione non fornisce la soluzione a tutti i problemi di elettrodinamica, perch´e questa equazione ci dice soltando in che modo i campi elettromagnetici risentono della distribuzione di cariche e correnti. Poi bisognerebbe calcolare come le cariche e correnti risentono dei campi magnetci, riposizionandosi a loro volta. Tuttavia nella maggior parte dei casi ad interesse tecnologico (antenne e

circuiti) si pu`o trascurare l’effetto del campo elettromagnetico nel modificare le mie cariche e correnti, e quindi la soluzione all’equazione di Klein-Gordon `e sufficiente.

Sappiamo quindi che il propagatore di Feynman è un operatore di Green dell’equazione di Klein-Gordon, cerchiamone ora un espressione analitica. Il sistema che sto considerando è un equazione differenziale a coefficienti costanti, che può essere risolta con la trasformata di Forier (che mi riconduce l’equazione differenziale in un equazione algebrica, più semplice da risolvere):

i∆_F(x − y) =

Z d⁴y

(2π)4_G(q)e˜ −iq(x−y)

Abbiamo scritto la i∆F come antitrasformata di Fourier di ˜G. Imponiamo l’uguaianza ricavata:

( + m²)i∆_F(x − y) = −iδ⁴(x − y) ( + m²)

Z d⁴y

(2π)4_G(q)e˜ −iq(x−y)= −i Z

d⁴y

(2π)4e^−iq(x−y)

Ora ˜G(q) non `e funzione delle x per cui l’operatore dalambertiano non tocca questa espressione, e agisce solo sull’esponenziale, le cui derivate sono molto semplici da calcolare: Z d⁴y (2π)4_G˜(−i)2qµq^µ+ m² e−iq(x−y) = −i Z d⁴y (2π)4e^−iq(x−y)

Poich´e le trasformate di Fourier sono invertibili, se le trasformate di Fourier sono uguali anche gli oggetti trasformati sono uguali. Questo `e sancito dal teorema fondamentale delle trasformate di Fourier.

G −q²+ m² = −i ˜

G = ⁱ

q2− m2

Da cui abbiamo ricavato l’espressione dell’operatore i∆F. i∆_F =

Z d⁴y (2π)4

q2− m2e^−iq(x−y)

Il problema di usare questa formula per il propagatore `e che il denomi-natore ha degli zeri quando q `e tale che q²= m².

q₀²− |~q|²− m² = 0 q0 = ±p|~q|2+ m2 = ±ωq

Purtroppo il denominatore si annulla malamente, infatti possiamo esplicitare questi zeri nel seguente modo:

i∆_F =

Z d⁴y (2π)4

ie^−iq(x−y) (q0− ω_q)(q0+ ωq)

Ci sono due singolarità di potenza 1, che quindi vanno come ¹_x, che non è integrabile, questo da dei problemi di convergenza. Questa formula cos`ı come è scritta non ha senso, va riaggiustata senza rovinare le sue proprietà matematiche.

Ad esempio potremo pensare di integrarla su un dominio complesso, aggirando le singolarit`a.

Ci sono più possibili percorsi per aggirare le due singolarità, ciascun per-corso genera una formula differente. Classicamente sono tutti quanti buone funzioni di Green, tutte quante risolvono l’equazione differenziale corretta-mente. Tuttavia, dal punto di vista quantistico solo una di loro è quella che ci interessa realmente (Figura 2.3).

Figura 2.3: In figura sono mostrati tutti i possibili percorsi su come aggirare le due singolarità dell’asse reale, attraverso il cammino complesso. Inverdeè mostrato il percorso che è utilizzado in fisica quantistica.

Vedremo ora di integrare passando sotto la prima singolarit`a e sopra la seconda. Poich´e l’integrale complesso deve essere un circuito chiuso dobbia-mo scegliere in che dobbia-modo chiudere l’esponenziale. Scegliadobbia-mo ad esempio il caso in cui:

x⁰− y⁰> 0

In questo caso per far convergere l’integrale la chiusura del percorso deve essere fatta attraverso gli immaginari negativi (in basso). L’integrale che da problemi `e quello in q⁰, isoliamolo:

Z dq⁰

2π

ie^−iq⁰^(x⁰^−y⁰⁾ (q0+ ω_q)(q0− ω₁)

L’esponenziale parametrizzando q0 lungo la chiusura di circonferenza in basso:

q⁰= α − iβ β > 0 L’esponenziale in modulo diventa:

e^−iα(x⁰^−y⁰⁾e^{−i(−iβ)(x}⁰^−y⁰⁾

Quindi a seconda del segno che assume (x⁰ − y0) si sceglie una diversa chiusura del cammino. L’integrale su questa chiusura `e zero, in quanto l’esponenziale decrescente ammazza facilmente il valore dell’integrando.

Figura 2.4: Il cammino complesso che scegliamo in caso x0− y0 > 0 è quello mostrato in figura. È indifferente scegliere il cammino rosso o il cammino blu, poiché tra l’uno e l’altro non vi sono delle singolarità. Il percorso è fatto in senso orario, quindi bisogna prendere un segno meno.

Il percorso `e fatto in senso orario, quindi dobbiamo moltiplicare il residuo per −1: Z dq⁰ 2π ie^−iq⁰^(x⁰^−y⁰⁾ (q0+ ωq)(q0− ω₁) ^{= −2πires} " 1 2π ie^−iq⁰^(x⁰^−y⁰⁾ (q0+ ωq)(q0− ω₁) # Z dq⁰ 2π ie^−iq⁰^(x⁰^−y⁰⁾ (q0+ ωq)(q0− ω₁) ^{= −2πi} ie^−iωq(x0−y0) 2π(ωq+ ωq) Z dq⁰ 2π ie^−iq⁰^(x⁰^−y⁰⁾ (q0+ ω_q)(q0− ω₁) ^{= −i} ie^−iωq(x0−y0) 2ω_q Ora possiamo riscrivere il propagatore di Feynman:

i∆F = Z d3q (2π)3 ieiq(x−y) 2ωq q⁰ = ωq

Questo oggetto qui `e effettivamente il valor medio del vuoto: h0|ϕ(x)ϕ(y)|0i = Z d³q (2π)3 e^iq(x−y) 2ω_q ^{Se x} 0− y⁰> 0

Questa scelta di cammino di integrazione `e l’unica che effettivamente mi per-mette di riottenere l’espressione quantistica del propagatore. Naturalmente se x⁰− y0 < 0 avremo dovuto scegliere la chiusura del percorso verso gli immaginari positivi, questo mi avrebbe cambiato segno (il percorso sarebbe stato concluso in senso orario) ma anche il residuo da calcolare⁸. Il risultato sarebbe stato che l’integrale si sarebbe ottenuto per:

h0|ϕ(y)ϕ(x)|0i

Quindi effettivamente questa scelta di percorsi riproduce correttamente la definizione iniziale che avevamo dato al propagatore di Feynman:

i∆_F = h0|T [ϕ(x), ϕ(y)] |0i

Un metodo alternativo per risolvere questo stesso problema consiste nello spostare le singolarit`a sul piano complesso. Si sostituisce al denominatore incriminato l’espressione in limite:

lim

ε→0

1 q2− m2+ iε

E quindi si integra sull’asse reale. Questo riproduce esattamente il conto che abbiamo fatto.

Nel documento Meccanica Quantistica Relativistica (pagine 47-54)