Propriet` a dei logaritmi

Una delle propriet`a pi`u importanti della funzione esponenziale riguarda il modo con cui si compongono gli esponenti a seguito della moltiplicazione di due suoi valori ossia a^xa^z = a^x+z. In effetti, si pu`o dimostrare che la funzione esponenziale `

e l’unica funzione f : → ⁺0 che soddisfa ad una tale propriet`a che si riscrive, in forma pi`u generale, come

∀ a > 0 ∧ a = 1 f (1) = a, f (x)f (y) = f (x + y) x, y∈ .

A questa si collega la fondamentale propriet`a dei logaritmi lg_a(xz) = lg_ax + lg_az x, z∈ +

0, (2.42)

che si pu`o enunciare come

2.4.1 Propriet`a. Il logaritmo di un prodotto di due numeri positivi `e uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

Difatti posto

lg_ax = m e lg_az = n, (2.43) discende dalla definizione di logaritmo che a^m = x e aⁿ = z. Moltiplicando i membri di queste due uguaglianze a^maⁿ = xz per cui, tenendo conto della propriet`a dell’esponenziale ricordata all’inizio

a^m+n = xz. (2.44)

Ma per definizione di logaritmo ne segue che

m + n = lg_a(xz) per cui sostituendovi le (2.43)si giunge a

lg_a(xz) = lg_ax + lg_az x, z∈ + 0.

2.4.2 Esempio. L’espressione lg₃5 + lg₃6 + lg₃(27/10) si pu`o riscrivere come

lg₃5 + lg₃6 + lg₃  27 10 = lg₃  5· 6 ·²⁷ 10 = lg₃  30·²⁷ 10 = lg₃81 ed essendo 3⁴= 81 risulta lg₃81 = 4.

Conviene gi`a da ora sottolineare che la (2.42) va comunque attentamente considerata in quanto, pu`o capitare che esista il logaritmo del prodotto lg_a(xz) ma non quello dei singoli fattori: in tal caso sarebbe x < 0 ∧ z < 0. Per togliere

questa possibile fonte d’errore e generalizzare la(2.42)anche a fattori del prodotto entrambi negativi si scriver`a

xz > 0 ⇐⇒ lga(xz) = lg_a|x| + lga|z|. (2.45) In particolare risulta quindi¹¹

lg_ax²= lg_a(x· x) = lga|x| + lga|x| = 2 lga|x|. (2.46) `

E evidente che non nasce alcuna ambiguit`a se si fa uso della propriet`a procedendo dai singoli logaritmi addendi al logaritmo del prodotto e ci`o in quanto ciascun addendo avr`a il rispettivo argomento necessariamente positivo.

11 _{Una situazione analoga si presenta quando si tratta}

2.4.3 Esempio. Le espressioni lg₁₀(−5) e lg10(−2) non hanno alcun signi-ficato in quanto gli argomenti sono negativi. D’altra parte lg₁₀[(−5) · (−2)] =

lg₁₀10 = 1 `e un’espressione corretta. Volendo riscriverla come somma di due logaritmi si pu`o incorrere nell’errore di porre

lg₁₀[(−5) · (−2)] = lg10(−5) + lg10(−2) manifestamente errata mentre risulta corretta la

lg₁₀[(−5) · (−2)] = lg10| − 5| + lg10| − 2|.

In modo del tutto analogo si giunge alla lg_{a x} z  = lg_ax− lgaz x, z ∈ + 0, (2.47) il cui enunciato `e:

2.4.4 Propriet`a. Il logaritmo di un rapporto di due numeri positivi `e uguale alla differenza del logaritmo del numeratore con quello del denominatore.

Difatti, con le posizioni (2.43), dividendo a^m= x e aⁿ= z

a^m a^{n =}

x z

che, a seguito della propriet`a dell’esponenziale, porta alla

a^m−n= ^x

z^.

Per la definizione di logaritmo m− n rappresenta l’esponente della base a per

ottenere x/z cio`e m− n = lga _x z  ossia lg_{a x} z  = lg_ax− lgaz.
(2.48)

Le osservazioni circa le attenzioni da porre sull’applicabilit`a della precedente pro-priet`a sono qui ancora valide per cui riscriviamo la (2.47)come

x z ^{> 0 lga} _x z  = lg_a|x| − lga|z|. (2.49) 2.4.5 Esempio. lg₂40− lg210 = lg₂(40/10) = lg₂4 ma lg₂(2· 2) per cui sfrut-tando la(2.46)si trova che lg₂4 = 2 lg₂2 = 2. In alternativa, notato che 40 = 4·10 `

`

E interessante notare il legame esistente tra i logaritmi di numeri reciproci. Vo-lendo infatti calcolare lg_a(1/x) si ha

lg_a  1 x = lg_a1− lgax = 0− lgax =− lgax,

che mostra come numeri reciproci tra di loro (x e ¹_x) abbiano logaritmi opposti. Dimostriamo ora la

lg_ax^α= α lg_ax α∈ ∧ x ∈ ⁺0, (2.50) che si enuncia come

2.4.6 Propriet`a. Il logaritmo di una potenza di un numero positivo `e uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza.

Posto lg_ax = m che per la definizione di logaritmo equivale a a^m= x, e a seguito della biunivocit`a della funzione esponenziale, possiamo elevare alla potenza α entrambi i membri di quest’ultima ottenendo (a<sup>m</sup>)<sup>α</sup> = x<sup>α</sup>. D’altra parte `e pure

a^αm = x^α che, riutilizzando la definizione di logaritmo implica

αm = lg_a(x^α) ossia, per la posizione iniziale

α lg_ax = lg_a(x^α).

Come nelle precedenti propriet`a, `e importante sottolineare la positivit`a della base in quanto se ci`o non fosse vero si giungerebbe a delle scritture prive di significato quali, per esempio la seguente lg₂(−3)4 = 4 lg₂(−3), dove il primo

membro rappresenta un numero reale mentre il secondo non possiede significato. L’identit`a che contempla quei casi di potenza pari α = 2n con n∈ e base (della potenza) negativa si dimostra invece essere

lg_ax²ⁿ= 2n lg_a|x| x∈ 0. (2.51) L’esempio sopra si scrive quindi lg₂(−3)4= 4 lg₂| − 3|. Ricordiamo che nel caso

fosse x < 0 e α qualsiasi l’espressione x^α non `e in generale definita (cap.1). 2.4.7 Esempio. Riscrivere, semplificandole, le espressioni:

lg_3,53^π lg_ππ √ 2 lg^√₂¹ 2 ^{lg5(sen x)} 6 lg₅√³ 25.

Ne segue che lg_3,53^π= π lg_3,53 lg_ππ √₂ =√ 2 lg_ππ =√ 2· 1 =^√2 lg^√₂¹ 2 ^{= lg√2} 1 (√ 2)^{2 = lg} √₂₍√ 2)⁻²=−2 lg₅(sen x)⁶= 6 lg₅| sen x| lg₅√³ 25 = lg₅(25)¹3 = lg₅5²3 = ² 3^{lg55 =} 2 3^.

Si noti che la propriet`a(2.40)delineata nel paragrafo precedente lg_aa^x = x,∀ x ∈

risulta ora essere un caso particolare della(2.50)in quanto, per a∈ ⁺0 − {1}

lg_aa^x = x lg_aa = x.

Utilizzando invece la (2.41)riscritta come

x = a^lgax,

e prendendo i logaritmi di entrambi i membri in una base positiva qualsiasi b discende

lg_bx = lg_b

a^lgax che per l’ultima propriet`a dimostrata diviene

lg_bx = lg_ax· lgba.

Dividendo per lg_ba risulta in definitiva

lg_ax = ^lgbx

lg_ba^,
(2.52)

relazione che permette di conoscere i logaritmi nella base a, noti quelli nella base

b. Tale identit`a, detta formula del cambiamento di base dei logaritmi , assume pertanto una notevole importanza in quanto permette di passare da un logaritmo in una data base ad un altro di base diversa.

Detto in altro modo, siano y1= lg_ax e y2= lg_bx due funzioni logaritmiche aventi

basi a, b > 0 e a, b= 1. Per la(2.52)si pu`o scrivere

y1= ^y2

e quindi concludere che entrambe sono proporzionali, con lg_ba come coefficiente

di proporzionalit`a. Ci`o significa che `e sufficiente conoscere la funzione logaritmica relativa ad una certa base per ottenere quindi la funzione stessa in corrispondenza di una qualsivoglia altra base. `E questo il motivo per cui le cosiddette “tavole

dei logaritmi” riportano questi relativamente ad un’unica base (quella decimale a = 10) e i calcolatori tascabili (e non) ne presentano in genere due (la decimale

e quella neperiana con a = 2,718 . . .).

2.4.8 Esempio. Si vuole esprimere lg₂₅225 in termini di logaritmi decimali

ridotti ai minimi termini. Facendo uso delle propriet`a viste e della(2.52)

lg₂₅225 = lg₂₅15²= 2 lg₂₅15 = ^{2 lg1015} lg₁₀25 ossia = ^{2 lg1015} lg₁₀5^{2 =} 2 lg₁₀15 2 lg₁₀5 ⁼ lg₁₀15 lg₁₀5 ^.

D’altra parte 15 = 3· 5 per cui

lg₂₅225 = ^{lg103 + lg105} lg₁₀5 ^{= 1 +}

lg₁₀3 lg₁₀5^. Si noti infine che, posto x = b nella (2.52)discende che

lg_ab = ^lgbb

lg_ba ⁼

1

lg_ba ^(2.53)

che mostra come si possono intercambiare base ed argomento in un logaritmo.