Pulse-echo

Come visto nel paragrafo precedente, a seguito dell’applicazione di un impulso a 90°, gli spin nucleari precedono nel piano perpendicolare al campo magnetico. A causa delle disomogeneità, alcuni spin precedono più velocemente di altri, creando uno sfasamento della magnetizzazione indotta: la parte coerente della magnetizzazione diminuisce, e il segnale misurato diventa quindi più piccolo (rilassamento), tale situazione è descritta nella figura 1.13a e b. Per ovviare a questo inconveniente è stata da tempo ideata una particolare sequenza di impulsi, denominata pulse-echo, che minimizza l’effetto dovuto allo sfasamento reversibile. Successivamente all’impulso a 90°, si lasciano defasare gli spin per un

SOME DETAILS OF NUCLEAR INDUCTION 431

B_o field z' y' x' Dephasing in the x' - y' plane

Fig. 16.9 Behavior of the transverse component of the magnetization vector M during free

induction decay. The initial synchronization of the protons is lost, over time, by inhomogeneities in the Bofield and molecular interactions. The decrease of the transverse component also reflects

the reorientation of the induced magnetic field M to the direction of Bowith time constant, T1.

16.3.5 Spin Echoes

Once the proton spins have been tipped into the transverse plane (perpendicular to the polarizing field Bo) they precess at the Larmor frequency, but they are seen to dephase with time. This is the situation depicted in panels (a) and (b) of Fig. 16.10. To make a measurement of T2that reflects the spin relaxation rate caused by the spin–spin interactions of the protons arising from other fluid molecules or molecules at the pore surfaces, it is necessary to remove from the measurement any reversible dephasing. The type of reversible dephasing described earlier was directed to spatial inhomogeneities in the polarizing field Bo. For this purpose, a number of pulsing sequences have been developed.

By applying another pulse of about twice the duration of the 90◦_{flipping pulse} the entire arrangement of proton spins can be flipped around their position on the transverse plane so that now the slower-precessing protons will lead, and the faster ones will follow. This concept is illustrated in panels (c) and (d) of Fig. 16.10. In time the spins, in their precession around the polarizing field Bo, will coincide (before smearing apart again) to create a local maximum of coherent magnetic field called a “spin echo.” After the smearing out has occurred, at a time Teafter the last pulse, another flipping pulse can be applied starting the process over again. The procedure can be repeated many times if the echo spacing, Te, is small compared to the T2of

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tempo τ, dopodiché si applica un impulso a 180° che fa invertire la posizione degli spin in modo che, dopo un ulteriore tempo τ, questi saranno di nuovo coerenti. In effetti, l’ordine delle fasi dei vettori di magnetizzazione trasversale è adesso invertita, in modo che i vettori più lenti si trovano più avanti dei vettori più veloci. A questo punto, vettori più veloci superano i vettori più lenti causando il rifasamento, in questo modo viene generato un segnale, chiamato spin-echo, con intensità pari alla magnetizzazione iniziale meno il numero di spin che sono rilassati, il quale è rilevabile dalla bobina ricevente. Tale situazione è illustrata in figura 1.13 c) e d).

Fig. 1.13, Visualizzazione della sequenza di impulsi Carr-Purcell per ovviare allo sfasamento reversibile dei nuclei in un campo lievemente disomogeneo. Nelle figure a) e b), gli spin iniziano a sfasarsi. Nella figura c), è applicato un campo di intensità e durata sufficiente a ruotare (precedere) gli spin di 180° ed appaiono quindi in ordine inverso sul piano longitudinale. Nella figura e) gli spin hanno ruotato in modo tale da produrre un massimo locale, dal momento che i più veloci hanno raggiunto i gli spin più lenti. Tale configurazione degli spins produce la sequenza “pulse-echo”. (Ellis, D.V., 2007).

Il medesimo tempo τ sarà successivamente presente tra l'applicazione dell’impulso di 180 ° e il picco dello spin echo, cioè il tempo di rifasamento è uguale al tempo di sfasamento, ed il picco dell’eco di spin avviene per un tempo

pari a 2τ, che è definito come Te (time echo o echo spacing). Sebbene un singolo

spin eco decade molto velocemente, gli impulsi a 180° possono essere applicati ripetutamente in modo da rifasare le componenti della magnetizzazione e generare in questo modo una serie di spin-echoes. Tale sequenza di impulsi può essere ripetuta in serie se il tempo Te è piccolo rispetto al tempo di rilassamento

trasversale T2 del campione analizzato. L’intera sequenza di impulsi, composta da

un primo impulso a 90° seguito da una lunga serie di impulsi a 180° è denominata

432 16 NUCLEAR MAGNETIC LOGGING B_o Bo B_o Bo Bo a b c d e B₁ Time

Fig. 16.10 A visualization of the Carr–Purcell pulsing scheme to defeat reversible dephasing

of the protons in a slightly inhomogeneous field. In panels (a) and (b), the spins begin to dephase. In panel (c), a field is applied of sufficient magnitude and duration to rotate (precess) the fanned-out spins by 180◦so that they appear in reverse order in the longitudinal plane. In frame (e) the spins have rotated to produce a local maximum, since the fastest have caught up with the slowest. It is this configuration of spins that produces the “pulse-echo.” Courtesy of Schlumberger.

the sample. The appearance of the detected wave train is shown in Fig. 16.11. This pulse sequence is referred to as the CPMG pulse train after its inventors Carr and Purcell [6], and Meiboom and Gill [7].

As can be seen from the figure the echo amplitudes decrease with time because there are sources of relaxation that are not reversible, like the random interactions with the spins of other molecules in the fluid or nearby surfaces. The spin-echo technique just takes care of small magnetic field inhomogeneities. It is the time constants associated with the decreasing echo amplitudes that will reveal a wealth of information regarding the pore geometry and its contents.

16.3.6 Relaxation and Diffusion in Magnetic Gradients

Now we take a moment to explore the ramifications of, not the random inhomo- geneities of the polarizing field but the presence, deliberate or otherwise, of a strong spatial gradient in the polarizing field. To facilitate discussion the sample is consid- ered to be a bulk liquid. If there is a magnetic field gradient in the sample volume, then after the 90◦_{flip of the CPMG pulse sequence, some of the protons will migrate} to some new position where a slightly different magnetic field is present and their frequency will shift slightly, in proportion to their displacement. To keep the random field effects in check, the CPMG sequence was developed to flip the magnetization

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“sequenza CPMG”, dal nome dei suoi ideatori Carr, Purcell, Meilboom e Gill ed un esempio è visualizzato in figura 1.14.

Fig. 1.14, Rappresentazione della sequenza operativa di un log che utilizza la serie CPMG. Il primo impulso, nella parte iniziale, causa la rotazione degli spin sul piano transversale, in cui la propria magnetizzazione diminuisce di intensità secondo la modalità di free induction decay. Successivamente,

viene emesso un ulteriore impulso che causa la rotazione degli spin di 180° a cui segue un breve aumento ed un successivo decadimento degli spin nell’eco. L’applicazione degli impulsi a 180° è ripetuta ad intervalli regolari migliaia di volte. L’ampiezza degli spin echo decade con una costante di

tempo pari a T2. (Appel, M., 2004)

Come si può notare dalla figura l’ampiezza degli echi diminuisce in funzione del tempo a causa della presenza di sorgenti di rilassamento che non sono reversibili, come l’interazione tra gli spin di altre molecole nel fluido o con le superfici vicine e i meccanismi di diffusione molecolare. Una volta che questo tipo di sfasamento irreversibile occorre, la coerenza di fase dei nuclei non può essere più ripristinata completamente, e la sequenza CPMG presenterà un decadimento che nella maggior parte dei casi non può essere evitato. Pertanto, la tecnica spin-echo, prende in considerazione solo le disomogeneità del campo magnetico, le quali causano uno sfasamento di tipo reversibile.

Tuttavia, la costante di tempo associata con la diminuzione delle ampiezze degli echi, e perciò l’andamento dell’intera curva di rilassamento, è la chiave per comprendere e studiare tutta una serie di informazioni che riguardano la geometria della matrice porosa ed il suo contenuto.

SOME DETAILS OF NUCLEAR INDUCTION 433

Transmitter Receiver 90˚ RF- pulse 180˚ RF- pulse 180˚ RF- pulse 180˚ RF- pulse 180˚ RF- pulse 180˚ RF- pulse Time Time Te Te Te Te T_e 1st spin echo _spin2nd echo _spin3rd echo 4th spin echo FID Te Te Te Te 2

Fig. 16.11 A representation of the sequence of operation of a logging tool utilizing the CPMG sequence. The first pulse, in the top frame, rotates the spins to the transverse plane, where they are seen to decrease in magnitude in the free induction decay mode. Then, in the upper panel, a pulse is emitted to flip the spins by 180◦, that is shortly followed by a build-up and decay, in the lower panel, of the spins in the “echo.” The application of the 180◦pulse is then repeated at regular intervals for up to thousands of times. The maxima of the spin-echo amplitudes decays with the time constant T2. Adapted from Appel [5].

vector and produce the spin “echoes.” However, for particles that have been displaced by diffusion to a new field value, their Larmor frequency will change and as time progresses, the smearing, despite the 180◦_{flips, will continue to grow, reducing the}

number of available spins for a coherent signal. This is an instance of a nonreversible relaxation and it will add to the so-called T2decay rate, decreasing the amplitude of

the magnetization in the transverse plane: 1 T2 = 1 T2B + 1 T2D, (16.31)

where _T1_2B is the decay rate associated with the bulk fluid and _T1_2D is the decay rate associated with the magnetic field gradient. As shown in the appendix this additional decay rate is proportional to the square of the gyromagnetic ratio (γ ) and the gradient (G) and the product of the diffusion coefficient (D) and the square of the time Te

(known as the echo spacing) between the 180◦_{CPMG pulses:}

1 T2D =

(γGTe)2D

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Tale costante di tempo è proprio il tempo di rilassamento trasversale T2 per

cui si definisce l’evoluzione della magnetizzazione trasversale come l’ampiezza degli echi ad un determinato tempo t. Assumendo, quindi, un andamento di tipo esponenziale, la 𝑀_!"(𝑡) può essere ricavata da:

𝑀_!" 𝑡 = 𝑀_!!"𝑒!!!! (1.37)

dove 𝑀!!" è l’intensità della magnetizzazione trasversale al tempo 𝑡 = 0 (tempo in cui l’impulso a 90° cessa).

Poiché il processo di rilassamento spin-reticolo determina anche sfasamento, vale sempre la relazione 𝑇_! ≤ 𝑇_!.

La dipendenza di 𝑇_! e 𝑇_! dai moti molecolari (e quindi anche dalla temperatura e viscosità) per un liquido non confinato è quella di figura 1.15, dove è mostrato l’andamento dei tempi di rilassamento in funzione del tempo di

correlazione τc, il quale fornisce una misura del tempo medio richiesto perché il

campo magnetico locale “sentito” da un nucleo vari significativamente a causa dei

moti molecolari. Bassi valori di τc si hanno in liquidi poco viscosi, mentre valori

elevati si hanno nei solidi. Per l’acqua a temperatura ambiente 𝜏! ≅ 10!!"𝑠.

Fig. 1.15, Dipendenza teorica, in sistemi non confinati, dei tempi di rilassamento spin-reticolo (T1) e

spin-spin (T2) dal tempo di correlazione τc. Adattata da Bloembergen, Purcell e Pound (1948).

Nei campioni liquidi 𝑇_! = 𝑇_! e diminuisce con la temperatura. Nei solidi

𝑇! ≫ 𝑇! ed aumenta con il diminuire della temperatura. Si intuisce così come sia

possibile separare la risposta di nuclei 1H compresenti in fasi diverse in un campione, se i rispettivi tempi di rilassamento (𝑇_! e/o 𝑇_!) sono sufficientemente distinti. Tipica è ad esempio la possibilità di separare la risposta di 1H dei solidi (𝑇! ≅ 10!!  𝑠) da quella dei liquidi (𝑇! ≅ 10!!÷ 1𝑠).

T1,T2 (s)

τc  (s)    

T₁

1  

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Pertanto, la curva di rilassamento di T2 della formazione rocciosa studiata

contiene la maggior parte delle informazioni petrofisiche ottenibili dai log NMR, per cui l’obbiettivo primario di tali misurazioni è quello di ricavare proprio questo tipo di misura.