PARTE II- TECNICHE DI OTTIMIZZAZIONE: VIDEO STREAMING
8.2 Valutazioni sulla stima del ritardo di trasmissione dei pacchetti
8.2.1 Chi-quadro test
L’operazioni chiave nell’algoritmo proposto è il calcolo della funzione di densità della probabilità fd(t), che si determina sulla base delle informazioni sulle misure passate. Risulta
indispensabile che la predizione fatta sia quanto più realistica possibile per ottenere una procedura di ottimizzazione affidabile. Per analizzare la corrispondenza tra valori predetti e valori reali, si è fatto ricorso al test del Chi-Quadro, che viene frequentemente impiegato per verificare se i campioni di un certo dato appartengano o meno ad una popolazione caratterizzata da una certa distribuzione. Con questo test siamo in grado di valutare la bontà della predizione verificando se il valore di chi quadro che si ottiene dal confronto dei dati risulti inferiore o no rispetto ad un valore critico per un dato livello di significatività, o di confidenza.
Gli esperimenti consistono nel calcolo del valore medio del Chi-Quadro per un numero significativo di cicli, si ricordi che la dimensione di ciascuna finestra è pari a T, e successivamente comparando questa quantità con il valore critico. Per ogni ciclo, si esegue il computo dell’istogramma dei ritardi osservati durante il ciclo sotto analisi e si determina la frequenza attesa dalla pdf precedentemente predetta. Per eseguire queste stime, sono state considerate tutte e tre le tecniche di aging descritte nel capitolo precedente.
Figura 18 Determinazione dei campioni da confrontare nel Chi-Test.
Un inconveniente del Chi-Quadro Test è dovuto alla necessità di avere una dimensione dei campioni sufficiente affinché l’approssimazione del chi-quadro possa essere ritenuta valida. Per questa ragione la dimensione dei bin dell’istogramma relativo ai dati osservati è settato ad un valore di 10-3 sec. Inoltre, perché l’approssimazione del test sia valida è necessario che la
frequenza attesa sia al minimo pari a 5; quindi, l’algoritmo sviluppato per il test automaticamente provvede all’accorpamento dei bin adiacenti ciclo-per-ciclo finché non si raggiunge la soglia desiderata. Si noti che in questo modo il numero dei gradi di libertà ν non
Istogramma con aging
t0 ta 2ta t
Campioni su cui calcolare la statistica per prevedere l’andamento successivo. Campioni su cui calcolare la statistica sperimentale … Istogramma sperimentale …
risulta costante tra un ciclo e l’altro. L’espressione che consente il calcolo del chi-quadro è la seguente: l k l l l l E E E O
∑
= − = 1 2 2 ) ( χ , (8.1)dove Ol indica la frequenza osservata per il bin l e El indica, invece, la frequenza attesa per lo
stesso bin.
Sono stati calcolati per i cicli presi in considerazione (10,000) i valori medi dei gradi di libertà (
ν
)e del chi quadro (χ2) è l’ipotesi assunta è stata rigettata se 2) , ( 2 ν α χ χ > , dove 2 ) , (αν χ è la funzione di punto percentuale per
ν
gradi di libertà e una soglia di confidenza pari ad α, il cui valore, normalmente, è scelto pari all’1% o 5%. Inoltre, più basso è il valore di χ2 maggiore sarà l’accuratezza della stima.Nei test effettuati il grado di libertà risulta attorno a 33, ne deriva un valore del chi-quadro all’1% e al 5%, rispettivamente di χ(20.01,33) =54.8 and χ(20.05,33) =47.4. Nelle Figura 19, Figura 20 e Figura 21 sono riportati i valori delle sperimentazioni relativi alle tre tecniche di aging al variare del coefficiente di aging c e dell’intervallo di aging ta nei range 0.1÷0.9 e 1÷30
sec, rispettivamente. Per migliorare la presentazione, le curve sono state tagliate per i valori superiori a 200, che risulta molto più alto rispetto alle soglie di interesse.
Da tutte e tre le figure risulta che entrambi i parametri risultano fondamentali nella predizione. Relativamente all’intervallo di aging, la funzione chi-quadro è caratterizzata da una curva monotona decrescente fino a circa 20 sec, dopo del quale la curva devia da questo andamento. Questo fenomeno ci dice che aggiornamenti troppo frequenti della pdf conducono a delle predizioni non stabili, le quali risulteranno troppo influenzate dalle ultime statistiche osservate decrementando la frequenza si osserva che la predizione migliora fino al punto in cui i dati più vecchi hanno un peso troppo alto rispetto alle misurazioni più recenti. Questo fenomeno caratterizza tutte e tre le tecniche.
Relativamente al coefficiente di aging, i risultati mostrano che riducendo questo coefficiente il valore del chi quadro cresce raggiungendo valori più alti della soglia critica, per i quali l’ipotesi iniziale deve essere rigettata. Si è osservato che le migliori performance si registrano per un valore del coefficiente di aging entro l’intervallo 0.7÷0.9.
Comparando i risultati delle tre tecniche, si evince che tra le tre la prima tecnica risulta più stabile al variare dei parametri di aging. Infatti,per i valori di ta uguali a 20, 25 e 30 secondi, la
maggior parte dei valori dei chi-quadro determinati sono sotto la soglia critica per α =5%, mentre sono sempre sotto la soglia di χ(20.01,33). Quando ta è uguale a 15 o 10 sec solo alcuni
punti relativi a c=0.1 sono sotto la soglia diχ(20.05,33). In fine, per f uguale a 5, il valore di
chi-quadro è maggiore di χ(20.01,33) solo per c<0.5. Le alter due tecniche sono caratterizzate da
un comportamento che risulta più legato alle impostazioni dei parametri, comunque, ci sono sempre anche in questo caso delle impostazioni per la coppia di parametri che determinano un valore del chi-quadro corrispondente inferiore alla soglia di χ(20.01,33). Le prove sul chi test
sono state fatte anche quando non viene applicato nessun fattore di aging. Il valore medio di chi-quadro χ2ottenuto è uguale a 39.4, più basso della soglia critica per un livello di
significatività pari al 5% e ancor più sotto il valore critico corrispondente a
α
=0.01.La disponibilità al modulo di controllo dei dati attuali e della predizione permette di adattare in real-time le impostazioni dei parametri in modo che vengano sempre utilizzati i valori ottimali durante lo streaming. Questo setting adattivo può essere guidato dal test del chi- quadro così come è stato presentato in questa sezione, o impiegando un approccio più semplice che confronta darti predetti e dati osservati attraverso la misura del mean square error (MSE).