Affinchè vengano effettivamente risolti il problema dell’orizzonte e della piattezza, è ne- cessario che almeno un certo ammontare di espansione venga raggiunto. Il numero di e-foldings, cioè l’intervallo di tempo nel quale una grandezza che cresce esponenzialmen- te aumenta di un fattore e, necessari rappresenta un vincolo importante anche perchè determina la natura delle perturbazioni generate durante l’inflazione.
Come prima richiesta deve essere soddisfatta la condizione che la lunghezza di Hubble co- movente misurata oggi, sia contenuta all’interno di quella misurata prima dell’inflazione di modo che sia verificata la causalità fra punti diversi dell’universo osservati oggi
1 a0H0
< 1 aiHi
0 indica il tempo oggi ed i l’istante prima dell’inflazione [4].
Supponendo che alla fine dell’inflazione inizi subito il periodo di dominio della radiazione durante il quale H ∼ a a0H0 afHf ∼ a0 af af a0 2 = af a0 ∼ T0 Tf ∼ 10−28 1 a0H0 = 1 aiHi
f rappresenta l’istante immediatamente dopo l’inflazione e T è la temperatura. La pro- porzionalità fra T e l’inverso di a deriva dall’espressione della densità di entropia nel caso di radiation-domination s = 2π
2
45 g∗T
3 = S
a3, dove g∗ è il numero di stati di spin.
afHf a0H0 ∼ 1028 afHf a0H0 < afHf aiHi (aiHi)−1 ∼ 1028(afHf)−1 ⇒ N = log af ai > 64
N , quindi, è il numero di e-foldings necessari affinchè venga risolto il problema dell’oriz- zonte.
Si può quindi calcolare anche il numero di e-foldings necessari per risolvere il problema della piattezza. Sia k il numero d’onda che rappresenta una certa scala di lunghezze co- moventi. Durante l’inflazione la lunghezza comovente di Hubble diminuisce di modo che k−1, se precedentemente era contenuta all’interno di 1
aH, potrebbe ad un certo istante uscirne. È allora importante calcolare il tempo al quale k = aH e stimare il numero di e-foldings necessari affinchè ciò avvenga.
Assumendo che le fasi evolutive dell’universo siano schematizzabili in • Da k−1 = (aH)−1, alla fine dell’inflazione (t
end)
• Dalla fine dell’inflazione al Big Bang caldo (tBB)
• L’era di dominazione della radiazione (trad)
• Dominazione della materia (tmat)
Segue che k aH = akHk a0H0 = ak aend aend aBB aBB arad arad a0 Hk H0
Il primo termine dà il numero di e-foldings rimanenti quando k−1 = (aH)−1, quindi gli altri termini sono considerabili come correzioni
N ∼ 62
risultato consistente con quello ottenuto trattando il problema dell’orizzonte [3].
3.5
Equazione di Hamilton-Jacobi per l’inflazione
Si possono riscrivere le equazioni del moto per l’inflazioni attraverso il formalismo hamil- toniano. Ciò consente di fare numerose semplificazioni e ottenere parecchi risultati, in
particolare si considera il caso di un universo piatto (K = 0). La formulazione può essere fatta utilizzando al posto della variabile temporale il campo scalare φ. Durante la condi- zione di slow-roll infatti, il comportamente di φ è monotono nel tempo. Differenziando rispetto al tempo H2 = 8 3πG V (φ) + 1 2 ˙ φ2 Si ottiene 2H ˙H = 8 3πG V0(φ) ˙φ + ˙φ ¨φ dove V0(φ) = 6H ˙H (8πG) ˙φ − ¨φ Sostituendo in ¨ φ + 3H ˙φ = −V0(φ) si trova 2 ˙H = − ˙ φ2 (Mp)2 (3.16) con Mp = (8πG)−1/2.
Dal momento che il campo scalare φ varia in modo monotono con il tempo, posso dividere entrambi i lati delle equazione per ˙φ. Si trova che
˙
φ = −2H0(φ)Mp2 (3.17) con H0(φ) = dH(φ)
dφ . Questa equazione fornisce la relazione fra φ e il tempo. L’equazione di Friedmann allora diventa
[H0(φ)]2− 3 2M2 p H(φ)2 = − 1 2M4 p V (φ) (3.18)
che non è altro che l’equazione di Hamilton-Jacobi, ma consente di utilizzare H(φ) piuttosto che V (φ) come quantità fondamentale. Questa sostituzione può essere conside- rata più naturale da usare in quanto H è un parametro geometrico, così come l’inflazione è un fenomeno geometrico [3].
3.6
Tre tipi di inflazione
In base al tipo di potenziale scalare utilizzato, possiamo distinguere tre modelli di inflazione.
• Vecchia Inflazione
Venne proposto da Alan Guth nel 1981 e fu la prima teoria in grado di spiegare i problemi dell’orizzonte e della piattezza. Si ipotizza l’esistenza di un falso vuoto super freddo, con una alta densità di energia, privo di campi e di particelle, che costituisce uno stato metastabile. L’universo andrebbe quindi incontro a una fase di espansione accelerata in modo tale da diventare piatto e di dimensioni prossime a quelle attuali. Il processo successivo che porta all’Hot Big Bang, e quindi al riscaldamento dell’universo, risulta poco realistico, motivo per cui questa teoria è stata abbandonata [4]. Per il modello della vecchia inflazione, infatti, si suppone una transizione di fase del primo tipo, cioè tale che non cambia la temperatura Ts e in cui ci si trova in un regime di fase misto per cui alcune parti del sistema
hanno cambiato il loro stato. L’universo comincia un processo di supercooling e di espansione esponenziale fino ad una certa temperatura Tf, nella quale inizia la
transizione di fase e viene rilasciato il calore latente che si trova alla temperatura iniziale Ts. L’universo viene riscaldato nuovamente fino ad una certa temperatura
comparabile con quella iniziale. Questo processo di espansione non adiabatica giustificherebbe il consistente aumento di entropia risolvendo il problema della piattezza dell’universo e dell’orizzonte. Non si comprende, però, come l’inflazione possa avere termine [2].
Figura 3.3: Andamento del potenziale scalare dell’inflatone. Si mostra lo stato iniziale metastabile e quello finale, dopo l’inflazione, stabile.
• Nuova Inflazione
Venne proposto un paio di anni dopo il modello della "Vecchia inflazione". Si ipo- tizza l’inizio dell’inflazione in uno stato di falso vuoto o vuoto temporaneo. Per vuoto si intende la condizione per la quale il campo si trova in uno stato di minima densità di energia, non necessariamente 0. In questo caso, in particolare, parliamo di falso vuoto perchè il campo non si trova in un punto di equilibrio stabile ma piuttosto in uno stato metastabile in cima al potenziale scalare. Il campo scala- re, dunque, sarebbe scivolato in condizioni di slow-roll lungo il potenziale V . In queste circostanze si sarebbero formate le perturbazioni di densità il cui valore è inversamente proporzionale a ˙φ, cioè alla velocità del campo. Si suppone che il processo per il quale il campo scalare scivola lungo il potenziale avvenga in tempi lunghi relativamente all’età del’universo primordiale Come conseguenza l’inflazio- ne sarebbe avvenuta poco prima dell’inizio di questo processo, quando ancora V si trova nel punto di massimo [7].
Questa teoria, come anche la precedente, ipotizza che l’inflazione sia una fase di passaggio nell’evoluzione dell’universo e presuppone delle condizioni iniziali di
equilibrio termico [4].
Figura 3.4: Andamento del potenziale scalare dell’inflatone. Si mostra lo slow-roll del campo lungo il potenziale.
• Inflazione Caotica
I problemi legati alla vecchia e alla nuova inflazione sono stati risolti con la teoria caotica introdotta nel 1983 da A. Lindle. Seconda questo modello il potenziale del campo scalare può assumere anche una forma più semplice, persino parabolica. L’inflazione avviene mentre il campo scalare, in cima a V (φ), comincia a scivo- lare lungo il potenziale, per terminare non appena raggiunto il minimo. Per tale scenario non è necessario che nelle condizioni iniziali l’universo sia in uno stato di equilibrio termico. Si richiede semplicemente che V (φ) sia sufficientemente piatto da consentire le condizioni di slow-roll. Questo modello è quello oggi favorito. Può, infatti, essere preso in esame qualsiasi tipo di potenziale scalare, studiandone tutte le possibili condizioni iniziali. Il campo potrebbe variare da una regione ad un’altra dello spazio, mostrando una distribuzione spaziale totalmente random, in tal modo l’universo presenta regioni che vanno incontro al processo di inflazioni, il loro campo scalare infatti si trova in cima al valore del potenziale, mentre altre no [4], [7].
Conclusioni
L’inflazione fornisce un prequel al Modello Classico del Big Bang, senza perciò modificar- ne la forma. Imposta le condizioni iniziali dell’universo in modo che il modello classico non presenti inconsistenze con le osservazioni. L’inflazione spiega le cause del Big Bang e ciò che porta l’universo al processo di espansione e raffreddamento. Questo viene fatto attraverso la repulsione gravitazionale. In particolare la presenza di un campo scalare con una pressione negativa determina il fatto che alla sua energia potenziale sia associata una forza gravitazionale repulsiva che guida l’espansione dell’universo [7].
Si è sottolineato più volte il fatto che il Big Bang consista in una espansione adiabatica dell’universo. Non considerando l’adiabadicità del processo si violerebbe la condizione di isotropia e omogeneità dello spazio, infatti, se un qualsiasi volumetto di universo avesse un flusso netto di energia, entrante o uscente, si creerebbero zone a densità di energia più alta e più bassa violando il Principio Cosmologico. Non devono quindi avvenire trasferi- menti netti di energia da una parte all’altra dell’universo, cosicchè lo scambio di calore sia nullo e il primo principio della termodinamica coincida con la legge di una trasformazione adiabatica [6]. Tuttavia nell’espansione inflazionaria sono presenti processi non adiaba- tici per i quali l’entropia contenuta in ogni volumetto di energia dell’universo aumenta, procurando una soluzione matematica al problema della piattezza e dell’orizzonte. L’e- spansione termina quando il campo scalare scivolando lungo il potenziale raggiunge il minimo come conseguenza termina l’effetto della repulsione gravitazionale. Viene quindi rilasciata l’energia del campo scalare che eccitando altre particelle genera il brodo caldo
primordiale che dà origine all’Hot Big Bang. Mentre l’espansione dovuta all’inflazione procede, la densità di energia del campo scalare non decresce. Questo sembra violare la conservazione dell’energia. Si assume allora che l’energia gravitazionale sia negativa compensando così l’energia del campo scalare: l’energia dell’universo resta prossima a zero.
Conferme alla teoria inflazionaria possono giungere solo dalle osservazioni sperimentali. In particolare una chiave di svolta è lo studio dei segnali di onde gravitazionali nella radiazione cosmica di fondo.
Bibliografia
[1] Silvio Bergia, Alessandro Paolo Franco, Le strutture dello spaziotempo, Vol. II, Cooperativa Libraria Universitaria Editrice Bologna (2004).
[2] Alan H. Guth, Inflationary Universe: A possible solution to the hori- zon and flatness problems, Standford Linear Accelerator Center Stan- dford University, Standford, California 94305, PHYSICAL RE- VIEW D, VOLUME 23, NUMBER 2 (15 JENUARY 1981) (https://www.astro.rug.nl/∼weygaert/tim1publication/cosmo2007/literature/ inflationary.universe.guth.physrevd-1981.pdf ).
[3] Andrew. R. Liddle, David. H. Lyth (2000), Cosmological Inflation and Large-Scale Structure, Cambridge University Press.
[4] Nicola Pintus, On Inflationary Cosmological Models, Ph.D. Thesis (2016) Università degli Studi di Cagliari, (http://veprints.unica.it/1318/1/PhD_Thesis_PintusN.pdf ).
[5] Roberto Casadio, Elements of Relativity, appunti per il corso di elementi di teoria della relatività, dispense (2016)
[6] Matts Roos, Expansion of the Universe - Standard Big Bang Model, Department of Physical Sciences and Department of Astronomy FIN-00014 University of Helsinki, Finland, (2008), https://arxiv.org/pdf/0802.2005.pdf
[7] Alan Guth, Physics@FOM 2015-Masterclass Alan Guth, https://www.youtube.com/watch?v=_mGfigimW3M
[8] P.P. Coles and F. Lucchin, Cosmology: The origin and evolution of cosmic structure, Wiley, (2003)
[9] Fiorenzo Bastianelli, Equazioni d’onda relativistiche, appunti per il corso di Fisica Teorica I, dispense (2017/2018)
[10] Roberto Soldati, Introduction to Quantum Field Theory, Field Theory I, dispense (2017)