Quantizzazione - Introduzione all'Elaborazione dei Segnali

La quantizzazione `e il processo che permette di trasformare un segnale a valori continui in un segnale che assume un numero finito di valori. Un modo semplice di quantizzare consiste nel prefissare un un insieme finito di l valori numerici {x1, . . . , xl} e di associare ad ogni numero x il valore numerico xk che `e pi`u vicino a x.

Se i segnali che prendiamo in considerazione hanno ampiezze comprese tra −V

2 e V

2, questo pu`o essere ottenuto dividendo l’insieme ^£−^V₂,^V₂^¤ in l intervalli, detti livelli, ed attribuendo ad un punto x ∈^£−V

2,V

il centro del livello in cui x cade. Detti {x1, . . . , x_l} i centri dei vari livelli, l’operazione di quantizzazione pu`o essere allora descritta dalla funzione Q che ad ogni x associa il centro pi`u vicino:

Q(x) = arg min

xi∈{x1,...,x_l}

|x − xi|.

Il sistema che realizza l’operazione di quantizzazione è detto quantizzatore. Poichè {x1, . . . , x_l} non è uno spazio vettoriale, il quantizzatore non è in generale un sistema lineare, pur essendo tempo-invariante.

La quantizzazione Q è una funzione molti-uno, quindi essa introduce un errore irre-versible: dato il segnale quantizzato Q(f (t)), non è possibile ricostruire in modo esatto il segnale d’origine f (t). Ogni tentativo di ricostruire il segnale comporterà quindi un errore; l’idea intuitiva è che si possa diminuire l’errore aumentando il numero di livelli. Nel prossimo paragrafo accenniamo ad un’analisi quantitativa di questo fenomeno.

4.2.1 Quantizzatore Uniforme e Rumore di Quantizzazione

Un quantizzatore in cui l’intervallo ^£−^V₂,^V₂^¤è suddiviso in l livelli di uguale ampiezza ^V_l è detto quantizzatore uniforme; il valore V è detto range del quantizzatore e il numero ∆ = ^V_l è chiamato passo di quantizzazione.

Se l = 2m, gli elementi {x₁, . . . , x_l} possono essere codificati con le 2m parole di m bit: xi = bi1· · · bim, con b_ik ∈ {0, 1} (1 ≤ i ≤ l).

Il sistema in questo caso `e detto quantizzatore uniforme a m bit.

La Figura 4.9 mostra il risultato del campionamento (pallino bianco) e campionamento pi`u quantizzazione uniforme a quattro livelli (pallino nero) di un segnale f (t).

∆ V/2

-V/2

t f(t)

Figura 4.9 Campionamento pi`u quantizzazione uniforme a quattro livelli di un segnale

f (t).

Come ben evidenziato dalla Figura, la quantizzazione Q è una funzione molti-uno che introduce un errore irreversible nel segnale quantizzato. Poichè il numero x viene approssimato dal quantizzatore con Q(x), una naturale misura dell’errore sul numero x è la seguente:

e(x) = Q(x) − x.

La funzione e(x) viene detta errore di quantizzazione; la Figura 4.10 mostra il grafico dell’errore di quantizzazione e(x) per un quantizzatore uniforme di sei livelli.

−V/2 V/2

∆/2

−∆/2

L’errore di quantizzazione ha un comportamento ben differenziato in due zone:

1. Se x < −V

2 oppure x > V

2, l’errore può essere arbitrariamente grande: in questo caso l’errore è detto distorsione da overload e lo si controlla cercando di garan-tire che i valori del segnale f (t) in ingresso al quantizzatore rientrino nel range del quantizzatore, richiedendo cioè che −^V₂ ≤ f (t) ≤ ^V₂.

2. Se x è invece interno all’intervallo −^V₂ ≤ x ≤ ^V₂, l’errore e(x) si mantiene in valore assoluto minore o uguale a ^∆₂, cioè la metà del passo di quantizzazione; tale errore è detto rumore granulare e non può essere eliminato.

In seguito considereremo segnali f (t) per cui −^V₂ ≤ f (t) ≤ ^V₂, in modo che l’unica sorgente di errore sia il rumore granulare. Supporremo inoltre che i nostri segnali oscillino intorno a 0, in modo che la media dei valori sia 0, valga cio`e lim_{T →∞}

R_T

−T f (t)dt

2T = 0.

Una naturale misura della dispersione, o potenza, di un segnale f(t) `e la sua varianza var < f >, data da:

var < f >= lim T →∞ R_T −T f2(t)dt 2T ^{= 0} Esempio 4.2.1

Consideriamo il segnale sinusoidale di ampiezza V

2 dato da V

2 sin t. La media di tale segnale `e 0, poich´e: lim T →∞ R_T −Tsin tdt 2T ^{= 0.}

La varianza σ2 di tale segnale `e invece V2

8 . Infatti: σ2= lim T →∞ R_T −T(V 2 sin t − 0)2dt 2T ^{= lim}T →∞ R_T −T ^V 2 4 ¡_{1−cos 2t} 2 ¢ dt 2T ⁼ V2 8 ^. Esempio 4.2.2

Consideriamo la risposta Q(f (t)) di un quantizzatore al segnale f (t), in modo che l’errore tra il segnale quantizzato e il segnale sia e(f (t)) = Q(f (t)) − f (t). Sappiamo che, se ∆ `e il passo di quantizzazione, risulta −∆

2 ≤ e(f (t)) ≤ ∆ 2.

Per molti segnali deterministici l’errore `e uniformemente distribuito tra −∆ 2 e ∆

2. Questo significa che la probabilit`a che l’errore sia compreso fra e ed e + de `e de

∆. La varianza dell’errore `e allora:

var < e(f ) >= Z ∆ 2 −∆ 2 e²^de ∆ ⁼ ∆2 12^.

Allo scopo di definire una misura di prestazione di un quantizzatore, ricordiamo che il quantizzatore, ricevendo in ingresso un segnale f (t), dà in uscita il segnale Q(f (t)) diverso dall’originale, con un errore pari a e(f (t)) = Q(f (t)) − f (t). La potenza del segnale è var < f >, quella dell’errore (o rumore) di quantizzazione è var < e(f ) >; un indice di quanto la potenza del segnale superi quella dell’errore è dato dal rapporto _{var<e(f )>}^{var<f >} , o, passando al logaritmo di tale rapporto, dal rapporto segnale-rumore di quantizzazione SQNR (Signal Quantization to Noise Ratio), misurato in deciBell (dB):

SQNR = 10 log₁₀ ^{var < f >} var < e(f ) > ^dB,

Ci si può chiedere perchè, nella definizione che abbiamo dato di SQNR, non si è preso direttamente in considerazione il rapporto segnale/rumore, bens`ı il suo logaritmo.

Senza voler essere minimamente esaurienti, osserviamo che spesso la percezione I che abbiamo di una grandezza fisica G non `e, neanche approssimativamente, proporzionale alla grandezza stessa, bens`ı a log_a G

G0, dove G₀ `e il pi`u piccolo valore di G che riusciamo a percepire (legge di Weber-Fechner). Spesso viene fissata a 10 la base del logaritmo (a = 10), ottenendo la percezione della grandezza pari a log₁₀_G^G

0 Bell, o, utilizzando il sottomultiplo deciBell del Bell (abbreviato in dB), pari a 10 log₁₀G dB.

Esempio 4.2.3

Dato un segnale acustico p(t), la pressione sonora efficace pef f`e la radice della varianza di p(t), cio`e:

pef f =^√var < p >

La nostra percezione dell’intensità di un suono non è tuttavia proporzionale a pef f, ma può essere approssimativamente descritta dal livello sonoro Lp, dove:

Lp= 10 log₁₀ ^{var < p >} var < p0>^dB Con p0 denotiamo qui la pressione sonora della soglia uditiva.

La misura SQNR di prestazione di un quantizzatore con range V `e data dal rappor-to segnale-rumore di quantizzazione SQNR (Signal Quantization rappor-to Noise Ratio) di un segnale in ingresso sinusoidale del tipo ^V₂ sin t, ipotizzando che l’errore sia uniformemente distribuito tra −^∆₂ e ^∆₂. Vale il seguente importante:

Teorema 4.3 Se un segnale sfrutta tutto il range V di un quantizzatore a m bit, allora SQNR ≈ 6.02m + 1.76 dB. In particolare, ogni bit aggiunto ad un quantizzatore comporta un incremento di 6.02 dB al rapporto segnale rumore.

Dimostrazione. Dagli esempi 4.2.1, 4.2.2 precedentemente studiati, sappiamo che il segnale f (t) = ^V₂ sin t ha varianza var < f >= ^V₈² e il corrispondente errore di quantizzazione e(f), uniformemente distribuito, ha varianza var < e(f ) >= ^∆₁₂². Segue:

SQN R = 10 log₁₀ ^{var < f >}

var < e(f ) > ^{= 10 log}¹⁰ V²/8 ∆2/12

Osserviamo che _∆^V2²/12^/8 = (^V_∆)2·¹²₈ = l2·¹²₈ , dove l = 2m `e il numero di livelli. Applicando le propriet`a della funzione log, si ottiene infine:

SQN R = 20 log₁₀l + 10 log₁₀¹²

8 ^{= (20 log}¹⁰^{2) · m + 1.76 = 6.02m + 1.76}

Esempio 4.2.4

Determinare il numero di bit da aggiungere a un quantizzatore per migliorare il rapporto segnale-rumore da 40 dB a 68 dB.

Osservando che la differenza tra le prestazioni richieste `e di 18 dB e che ogni bit ag-giunto al quantizzatore migliora SQNR di 6.02 dB, concludiamo che basta aggiungere 3 ≈ 18

6.02 bit.

Esempio 4.2.5

Determinare lo SQNR di un quantizzatore tipico usato in telefonia digitale, sapendo che il numero di livelli `e 256.

Poich`e 256 livelli possono essere codificati con 8 bit, il rapporto segnale-rumore `e 6.02 · 8 + 1.76 ≈ 49.76 dB.

4.2.2 Quantizzatore Non Uniforme

Spesso per segnali reali la probabilit`a che un segnale abbia valore tra y e y + dy viene a dipendere da y. La Figura 4.11 mostra come in un classico segnale del parlato ampiezze elevate siano meno probabili di ampiezze piccole:

E intuitivo che in questo caso una quantizzazione pi`u fine per ampiezze piccole migliori la qualit`a del segnale quantizzato, diminuendo l’errore quadratico medio.

Questo risultato pu`o essere ottenuto come segue:

1. Si applica al segnale (che per semplicit`a consideriamo normalizzato a valori in [0, 1]) un funzione F invertibile che comprime le ampiezze vicine a 1 (vedi Figura 4.12).

2. Si applica al segnale “compresso” un quantizzatore uniforme.

3. Il segnale quantizzato viene “decompresso” applicando la funzione F−1inversa di F . Questo processo, detto companding (COMPressing and exPANDING) permette di realizzare un quantizzatore non uniforme, come schematizzato nella Figura 4.13.

t Ampiezza

Figura 4.11 Probabilit`a di varie ampiezze (in grigio). Esempio 4.2.6

Nelle applicazioni in telefonia viene usata la famiglia di funzioni µ-law: Fµ(f ) = ^{ln(1 + µ|f |)}

ln(1 + µ) ^{sgn(f ),} ^{con − 1 ≤ f ≤ 1,}

dove f è il segnale normalizzato e µ è un parametro opportuno (usualmente posto a 100 o più recentemente a 255). La funzione µ-law inversa F−1

µ (y) `e data da: F−1

µ (y) = ¹ µ

(1 + µ)|y|− 1^´sgn(y).

Nel documento Introduzione all'Elaborazione dei Segnali (pagine 83-88)