Trigonometria
7.1 Note e osservazioni
7.1.1 Misure degli angoli e calcolatrici
Le calcolatrici tascabili prevedono, di norma, tre diverse unit`a di misura per gli angoli:
1. deg: il grado sessagesimale = 3601 angolo giro = 901 angolo retto.
2. gra o grad: il grado centesimale = 4001 angolo giro = 1001 angolo retto (da qui deriva il nome).
3. rad: il radiante, ovvero l’angolo al centro corrispondente ad un arco circolare lungo come il raggio dell’arco stesso.
7.1.2 Notazioni
1. cotg x def= cos xsin x, ∀x 6= hπ, h ∈ Z 2. tg x def= cos xsin x, ∀x 6= (2h + 1)π2, h∈ Z
7.1.3 Funzioni periodiche
Data una funzione f di dominio D, si dice che f `e periodica di periodo T , con T > 0, se
f (x + T ) = f (x) ∀ x ∈ D.
Avvertenza: una funzione pu`o avere diversi periodi. Per esempio la funzione f (x) = sin2x ha come periodi tutti i numeri {kπ, k ∈ N}.
Matematica di base
4. Quesito Per quali valori di a∈ R la quantit`a a− 1 a + 2 pu`o essere il seno di un angolo?
5. Quesito Ha senso il simbolo
sin(+120)
senza alcuna altra informazione? Usando una calcolatrice calcolare il valore indicato, con l’ulteriore informazione che sin(+120) `e il seno di un angolo di 120 radianti (usare il mode rad della calcolatrice). Qual `e la misura in gradi sessagesimali di un angolo acuto che ha lo stesso valore del seno di quello appena trovato? Qual `e la misura in gradi centesimali dello stesso angolo acuto?
6. Quesito Qual `e la misura in deg di un angolo che misura 25 in gra?
7. Quesito Qual `e la misura in deg e in gra di un angolo che misura 1 in rad, cio`e dell’angolo radiante?
8. Quesito Qual `e la misura in gra di un angolo che misura 1 in deg, cio`e di un grado sessagesimale?
9. Quesito Qual `e la misura in deg di un angolo che misura 1 in gra, cio`e di un grado centesimale?
10. Quesito Individua le relazioni corrette (a) 1.5 rad > 90 gra
(b) 1.5 rad > 90 deg
(c) 1.5 rad < 60 deg + 30 gra (d) 2 rad > 100 gra + 20 deg
(e) 333 gra < 185 deg + 2 rad (f) 2880 gra + 2400 deg = 21π rad (g) 56 deg = 70 gra
11. Quesito Si conviene di adottare i simboli seguenti
sin x(◦) def= seno di un angolo di x deg sin x(g) def= seno di un angolo di x gra
e cos`ı di seguito per le altre funzioni goniometriche.
(a) Stabilisci qual `e il primo intero positivo n per cui risulta, rispettivamente, i. sin n(◦) = sin n(g)
ii. cos n(◦) = cos n(g).
(b) Stabilisci qual `e il primo numero positivo x per cui risulta, rispettivamente, i. sin x(◦) = sin x(g)
ii. cos x(◦) = cos x(g).
Capitolo 7. Trigonometria 82
Suggerimento Usa le formule di prostaferesi ed esprimi in deg l’angolo per cui valgono, nell’ordine, le quattro uguaglianze richieste.
12. Quesito Risolvi il sistema di disequazioni
® cos3Äx+π2 ä≤ −1
|x| < π2 13. Quesito Trova per quali x∈ [0, 2π] vale l’uguaglianza
1− cos x 2
1 + cos x
2 = sinx 2cosx
2. 14. Quesito Se un triangolo (ABC) `e isoscele sulla base AB e risulta
AC AB =
»5−√ 5
2 ,
quanto misura in deg l’angolo ACB? (usa il teorema di Carnot e una calcola-“ trice o una tabella trigonometrica). Qual `e la misura dell’angolo ACB in rad“ e in gra?
15. Quesito Prova che, se gli angoli sono misurati in radianti e
|m| ≥ 1 , il numero 0 `e l’unica soluzione dell’equazione
sin x = mx.
16. Quesito Perch´e, se l’equazione
sin x = mx
ha un numero finito di soluzioni (ci`o accade, per esempio, per m = 2π, con
−π2, 0, π2 come soluzioni), tale numero `e sempre un numero dispari?
17. Quesito L’equazione
sin3x + sin2x + sin x + 1 = 0
ha la soluzione 3π2 . Vi sono altre soluzioni comprese tra 0 e 2π?
18. Quesito Trova l’espressione approssimata delle misure in gradi sessagesimali (deg) degli angoli elementari soddisfacenti l’equazione
sin x = cos2x , dove x `e la misura in radianti di un angolo.
19. Quesito Risolvi l’equazione
cos2(x + 1) + sin2(x− 1) = 1.
20. Quesito Se (ABC) `e un triangolo rettangolo come in figura
Capitolo 7. Trigonometria 83
Matematica di base
b
A
bB
b
C
γ
β
con angolo retto in A, detti β e γ gli angoli in B e C rispettivamente, verifica che vale l’uguaglianza
cos β sin β = cos γ sin γ.
21. Quesito Per quali coppie di numeri reali (x, y) risulta cos2x + sin2y = 1 ? 22. Quesito Riconosci che la disequazione
√3 cos x + 3 sin x− 4 ≥ 0
non ha alcuna soluzione.
Ne seguir`a che la disequazione
√3 cos x + 3 sin x− 4 < 0
ha per insieme delle soluzioni . . . .
23. Quesito Determina l’insieme P dei numeri k∈ R tali che la seguente equazione (∗) sin2x + 2k sin x + k2− 1 = 0
ammette soluzioni.
Dato un numero reale x qualunque, esso risulta sempre soluzione di qualcuna delle equazioni (∗)?
24. Quesito Di un angolo convesso ottuso α si sa che sin α = 2√
3− 3 calcola cos α.
25. Quesito Riconosci che esiste un unico angolo elementare tale che cos α =
3
7 e sin α =
4 7. Costruisci, con riga e compasso, l’angolo in questione.
26. Quesito `E dato un triangolo equilatero (ABC). Costruisci con riga e compasso, sulla base AB, un triangolo isoscele con l’altezza doppia di quella di (ABC).
Capitolo 7. Trigonometria 84
b
A bB
Cb
b
H
b
C′
//
Trova l’espressione approssimata, in deg, dell’angolo α = ACc0B.
27. Quesito Riconosci che, ∀x ∈ R, vale l’uguaglianza
q
(sin x + 3) + 2√ 2√
1 + sin x·
q
(sin x + 3)− 2√ 2√
1 + sin x = 1− sin x.
(Attenzione: non `e vero, in generale, che √
x√y = √xy, ma in questo caso . . . ).
Quanto vale, di conseguenza, il numero (positivo)
q
(sin x + 3) + 2√ 2√
1 + sin x +
q
(sin x + 3)− 2√ 2√
1 + sin x
∀x ∈ R?
(Ricorda: un numero positivo `e la radice quadrata del suo quadrato . . . ).
28. Quesito Il numero
− sin3x + sin x− 1
`e sempre negativo, ∀x ∈ R?
29. Quesito Trova le soluzioni dell’equazione
cotg x = 2− 2 sin2x.
30. Quesito L’equazione nell’incognita x
(∗) cos x = m− n m + n
`e risolubile per ogni m, n ∈ N? Quante soluzioni ammette appartenenti all’in-tervallo [0, π]? E appartenenti all’inall’in-tervallo [0, 2π]?
Se un numero razionale r `e uguale a cos x, per qualche x∈ R, esso `e necessa-riamente della forma a secondo membro della (∗) o c’`e qualche eccezione?
31. Quesito Un arco di circonferenza C1, di raggio r1, con angolo al centro corrispon-dente di 60 deg `e lungo come un arco di circonferenza C2, di raggio r2, con angolo al centro corrispondente di 183.3 gra. Qual `e il rapporto dei due raggi?
32. Quesito Risolvi il sistema di disequazioni trigonometriche
® cos 2x≥ − sin x sin x≤ cos 2x
Capitolo 7. Trigonometria 85
Matematica di base
33. Quesito Risolvi la seguente disequazione 2 cos2
Å
2x− π 3
ã
+ cos
Å
2x− π 3
ã
≤ 1
Suggerimento Poni prima y = 2x− π3; risolvi in y, quindi torna ad x . . . . 34. Quesito Riconosci che, per ogni intero positivo n≥ 2, esistono due angoli acuti
α , β
tali che
sin α =
sn−√ n + 1
2n , sin β =
sn +√ n + 1 2n Quanto valgono cos α e cos β ?
Si pu`o dunque dire che α e β sono due angoli . . . .
35. Quesito Se, di un angolo elementare α (compreso tra quello nullo e quello giro) si sa che
sin α = 1
√10, quali sono i possibili valori di tg α ?
36. Quesito Avvalendoti della figura, dimostra la nota formula goniometrica (∗) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
nel caso in cui α, β e pure la loro somma sono angoli acuti.
b
O
b
A
bP1
b
P2
b
H
b
S
b
K
b Q
α β
x y
Dimostra poi la
(∗∗) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β Suggerimento Dalla figura puoi ricavare
OS = cos β , P2S = sin β
SK = OS sin α = · · · , P2SK =“ · · · sin(α + β) = P2H = SK + SQ =· · ·
Capitolo 7. Trigonometria 86
37. Quesito Di un quadrilatero convesso (ABCD) si conoscono le misure dei lati successivi: 1,√
2, 2√
2, 3 (vedi figura). Inoltre si sa che AC =√ 5
b
D
b
C
b
A
bB
2√ 2
√2 1 3
Trova le misure degli angoli del quadrilatero e della diagonale DB 38. Quesito Se a e b sono numeri reali positivi, dimostra che i due numeri
a +√
√ 2b
2»a2+ b2+√ 2ab ,
√2a + b
√2»a2+ b2+√ 2ab sono i valori del coseno di due angoli acuti α, β tali che
α + β = 45 deg.
39. Quesito `E dato un quadrilatero come in figura.
b
D
b
C
b
A
bB b a
45◦
α β / δ γ
/ /
Sapendo che AB = a , BC = b , A =“ C = 90 deg ,“ D = 45 deg, risolvi ilc quadrilatero (cio`e trova i lati, l’angolo e la diagonale mancanti).
Suggerimento Trovato B, con Carnot trova“ AC , cos α e cos β; . . . . 40. Quesito Considera la figura
b
A
b
B
bC Db
b
E
b
K
bF
α
E noto:`
• che (ABCD) `e un quadrato;
• che BE ≡ AB.
Capitolo 7. Trigonometria 87
Matematica di base
Ti viene richiesto:
(a) di calcolare tg α, ove α = DEC;“
(b) di calcolare il rapporto fra i segmenti AK e CK;
(c) di calcolare il rapporto tra le aree del trapezio (ABF D) e del triangolo (CF E).
41. Quesito Tra gli angoli elementari α, compresi tra l’angolo nullo e quello giro, ve ne sono di tali che
cos α e sin α
sono entrambi numeri razionali: per esempio ogni angolo α tale che sin α = 2mn
m2+ n2 ∀ (m, n) ∈ N × N \ {0, 0}
`e di questo tipo, come puoi subito verificare, calcolando i possibili valori di cos α.
Osserva che questi angoli sono certamente costruibili con riga e compasso, ma che non sono certamente i soli, come dimostrano gli angoli di π6 rad, π4 rad,
π
3 rad, ecc. che hanno il seno o il coseno o entrambi che sono numeri irrazionali, ma sono costruibili con riga e compasso.
La questione, ora, `e la seguente: con la formula α = arcsin
Ç 2mn
m2+ n2
å
+ h· π rad , h = 0, 1, · · ·
al variare di (m, n)∈ N × N \ {0, 0}, si ottengono proprio tutti gli angoli α con la propriet`a che
cos α e sin α
sono entrambi numeri razionali, o qualcuno non si ottiene?
42. Quesito Due angoli acuti, o al massimo retti, α e β, sono tali che 2 cos α = cos β.
Quale dei due angoli deve soddisfare ad una ulteriore limitazione, e qual `e quest’ultima?
Qual `e la relazione che lega sin α e sin β?
Questa relazione permette che sin α e sin β siano entrambi razionali, a parte il caso banale α = β = angolo retto, nel quale sin α = sin β = 1?
43. Quesito Poni al posto dei tre punti il valore numerico o il simbolo adatto (a) 21 deg = . . . rad
(b) 84 deg = . . . rad (c) 42 deg = . . . rad (d) 6 deg = . . . rad
(e) 24 deg = . . . rad (f) 54 deg = . . . rad
(g) 1 primo sessagesimale = . . . gra
Capitolo 7. Trigonometria 88
(h) 32401 gra = . . . deg = 1 . . . sessagesimale
44. Quesito Controlla con la calcolatrice l’esattezza delle uguaglianze seguenti sin(42 deg) = sinÄ7π30radä=
»
9+√ 5−√
30−6√ 5 4
cos(42 deg) = cosÄ7π30radä=
√10+2√ 5+√
18−6√ 5 8
sin(12 deg) = sinÄ15π radä=
√10+2√ 5−√
18−6√ 5 8
cos(12 deg) = cosÄ15π radä=
√30+6√ 5+√
6−2√ 5 8
Ora calcola
cos(84 deg) e sin(84 deg) cos(24 deg) e sin(24 deg) cos(21 deg) e sin(21 deg) cos(3 deg) e sin(3 deg)
45. Quesito Trova le valutazioni approssimate delle misure in gra, deg e rad degli angoli elementari α tali che
tg α = 3
46. Quesito Dato il triangolo (ABC) rettangolo in C e isoscele C′
A B
/ C /
/
costruisci il triangolo (ABC0) isoscele sulla base AB e con CC0 = AC. Calcola ora le misure in gradi sessagesimali e in radianti degli angoli di (ABC0) e, applicando il teorema dei seni, calcola il rapporto
AC0
AB
47. Quesito Trova le soluzioni della disequazione goniometrica 2 cos x + 2 sin x ≥√
3− 1 comprese nell’intervallo [0, 2π].