Ricostruzione della massa invariante m top e delle quantit` a di moto trasver-

quantit`a di moto trasverse P

nello stato finale

t¯t attraverso un fit cinematico

Una volta ottenuto un campione di eventi t¯t sufficientemente puro e che rispetta tutti i criteri di selezione visti nel paragrafo 4.2 si procede con la ricostruzione della massa invariante mtop tramite un fit cinematico.

Ricordiamo ancora una volta che nel canale all-hadronic lo stato finale degli eventi t¯t `e caratterizzato da quattro quark leggeri provenienti dal decadimento dei bosoni W+e W− e dalla presenza di un quark b e l’antiquark ¯b. Una volta individuati i sei jet, attraverso le loro variabili cinematiche si possono ricostruire i loro quadrimomenti e procedendo ”all’indietro” i quadrimomenti dei bosoni W e quelli della coppia t¯t.

Dai quadrimomenti utilizzando un metodo della classe TLorentzVector di ROOT si sono ottenute di conseguenza le corrispondenti masse invarianti.

Il fit cinematico consiste nel considerare mtop come parametro nell’espressione

χ2_t = (m (1) jj − MW)2 σ2 W +(m (2) jj − MW)2 σ2 W +(m (1) jjb− mtop)2 σ2 t +(m (2) jjb− mtop)2 σ2 t

e il suo valore come quello che minimizza il χ2.

Pi`u dettagliatamente m(1,2)_jj sono le masse invarianti dei sistemi a due jet che provengono dal decadimento dei due bosoni W, m(1,2)_jjb sono quelle dei sistemi a tre jet che provengono da due quark top, σW '13 GeV e σt '23 GeV sono le deviazioni standard previste per

le distribuzioni delle masse invianti ottenute da un fit di quelle relative ai jet riportate in Fig. 4.5 e 4.6. Infine MW viene fissata alla media mondiale 80.4 GeV.

Come noto, il test di χ2_`_{e un test che verifica l’ipotesi che una distribuzione di dati segua}

un andamento atteso sfruttando la distribuzione della variabile casuale χ2_{. L’accordo}

e buono se il χ2 `e sufficientemente piccolo; per questa ragione la miglior stima di mtop

si ottiene minimizzandolo. In aggiunta, una richiesta del tipo χ2 _{≤ di un certo valore}

soglia pu`o garantire un forte miglioramento del rapporto segnale/rumore. La scelta di tale valore soglia verr`a tra poco affrontata.

Il processo di minimizzazione avviene tramite l’utilizzo del pacchetto MINUIT di ROOT. MINUIT si utilizza infatti nella ricerca dei minimi di funzioni multiparametriche. L’u- tente fornisce a MINUIT la funzione di χ2 che calcola la somma degli scarti quadratici tra i dati e i valori aspettati teoricamente pesati con gli errori sui dati lasciando come soli parametri liberi i parametri della funzione teorica. MINUIT minimizza il χ2 _{in funzione}

di tali parametri, ovvero restituisce all’utente i loro valori che rendono minore il χ2. Come gi`a spiegato nel paragrafo 4.3 a priori non `e possibile stabilire quale coppia di jet sia il prodotto del decadimento del bosone W+ _{e quale del bosone W}− _{e nemmeno}

MatchedParton Flavour dei jet. Di conseguenza `e necessario minimizzare il χ2 per ogni permutazione possibile dei jet e scegliere la combinazione per la quale il χ2 _{risulta mino-}

re.

Con l’obiettivo di calcolare le sezioni d’urto in funzione della variabile quantit`a di moto trasversa del quark top Pt

T, occorre conoscere la miglior stima P f it

T delle quantit`a di moto

trasverse dei sei jet cio`e i valori che insieme a mtopminimizzano l’espressione χ2 riportata

sotto. Infatti a livello di misura sono molto precise quelle delle direzioni dei jet mentre lo `e meno quella di PT, da cui la necessit`a di conoscerne la miglior stima.

La relazione che lega PT misurato con quello fornito dal fit `e la seguente:

P_Tf it = kP_Tmis, dove k `e un parametro con una distribuzione centrata intorno a 1. Nel calcolo della variabile χ2 _{dovranno essere aggiunti pertanto sei termini del tipo}

(P_Tf it− Pmis T )2 σ2 Pmis T = (kP mis T − PTmis)2 σ2 Pmis T = P mis T 2 (k − 1)2 σ2 Pmis T

dove l’errore relativo σP misT

Pmis T

si stima essere pari a 11% circa. La forma finale per la funzione χ2 diventa allora:

χ2_t = (m (1) jj − MW)2 Γ2 W +(m (2) jj − MW)2 Γ2 W +(m (1) jjb− mtop)2 Γ2 t +(m (2) jjb− mtop)2 Γ2 t +Σ6_i=1P mis T ,i 2 (ki− 1)2 σ2 Pmis T ,i

dove si sono sostituite le deviazioni standard σW e σt con le larghezze naturali ΓW=2.1

GeV e Γt=2.0 GeV, perch´e ora la risoluzione sulle energie dei jet viene considerata espli-

citamente nell’espressione per il χ2_.

Sempre mediante l’uso di MINUIT si ottengono i sette parametri, mtop e i valori ki ri-

spetto ai quali χ2 _{risulta minimizzato.}

Le distribuzioni della variabile χ2, ottenute per gli eventi t¯t Monte Carlo e per i dati, sono riportate normalizzate in Fig. 4.7.

Come si può già notare da tali distribuzioni il segnale nei dati viene privilegiato rispetto al fondo quando la variabile χ2 è nell’intervallo [0;30]. Per questa ragione è plausibile pensare di scegliere la soglia superiore per effettuare un taglio sul χ2 _{in tale intervallo.}

Per stabilire questo valore soglia si possono considerare gli andamenti degli errori statistici e sistematici legati al fondo e la loro variazione in funzione del χ2. In particolare gli errori sistematici sul fondo B sono tipicamente proporzionali a B stesso, mentre gli errori statistici dell’ordine di√B, per ridurli `e dunque necessario cercare di massimizzare i rapporti S/B e S/√B contemporaneamente.

I risultati ottenuti per segnale atteso S, dati N, fondo atteso B=N-S, S/B e S/√B per diversi valori di χ2 _{sono riassunti nella Tabella 4.1.}

Figura 4.7: Distribuzione normalizzata della variabile χ2 _{riportata in blu per gli eventi}

t¯t Monte Carlo e in rosso per i dati.

χ2 _≤ _S _N _B _S/B _S/√_B 30 26335 72710 46375 0.57 122.29 25 23941 62401 38460 0.62 122.08 20 21161 51388 30227 0.70 121.71 15 17856 39815 21959 0.81 120.49 10 13631 27357 13726 0.99 116.34 7 10369 19138 8769 1.18 110.73

Tabella 4.1: sono riportati i valori di segnale atteso S, dati N, fondo atteso B, S/B e S/√B ottenuti per i tagli χ2 ≤ 7,10,15,20,25,30.

Dalla tabella 4.1 si pu`o notare che il taglio χ2 ≤ 10 `e opportuno al fine di ridurre l’errore statistico evitando contemporaneamente un aumento percentuale eccessivo del- l’errore sistematico.

La scelta di tale soglia per il χ2 `e ulteriormente motivata se si osserva la distribuzione della variabile mtop riportata in Fig. 4.8 per χ2 ≤ 10,20,30. Si pu`o infatti notare che

essa tende a essere pi`u stretta al diminuire del taglio effettuato sul χ2_.

Per χ2 ≤ 10 viene riportata in Fig. 4.9 la distribuzione dei sei valori ki, evidenziando

come la media risulti essere vicina a 1, con una deviazione standard di circa il 10%.

Figura 4.8: Distribuzione della variabile mtop ricavata dal fit cinematico ottenuta su un

campione di eventi t¯t Monte Carlo soddisfacenti χ2 _≤10,20,30.

Nel programma sono inoltre stati aggiunti, in previsione della misura di sezioni differenziali, i calcoli di:

- massa invariante e rapidit`a del sistema t¯t Mt¯t e yt¯t, ottenibili dal quadrimomento totale,

somma dei sei quadrimomenti con quantit`a di moto scalate con i fattori ki;

- quantit`a di moto trasversa del quark top Pt

T ottenuta come media delle quantit`a di

Figura 4.9: Distribuzione delle variabili ki ricavate dal fit cinematico su un campione di

eventi t¯t Monte Carlo soddisfacenti χ2 _≤10.

Nel documento Sezioni d'urto differenziali per la produzione t/t a 8 TeV nel canale puramente adronico con CMS (pagine 46-50)