Ricostruzione MUSCL

Seguiremo adesso l'approccio proposto in [21] per descrivere la tecnica di ricostru- zione MUSCL: questa tecnica si basa sull'osservazione che l'accuratezza spaziale al primo ordine degli schemi basati sull'approccio di Godunov non è una caratteristica

4_{Si è scelto questo approccio in modo da poter simulare con lo stesso codice numerico due}

4.3. Schema numerico al secondo ordine intrinseca dello schema, ma è causata dal considerare la soluzione come una funzio- ne costante a tratti. Questa fase della discretizzazione, detta fase di proiezione, è mostrata nella equazione 4.1 e non è legata alla fase in cui agisce il metodo di Go- dunov che, ricordiamo, risolve il problema di Riemann denito all'interfaccia fra le celle. Perciò, come dimostrato e messo in pratica da van Leer in una serie di articoli, [20] [22], [23] è suciente agire sulla fase di proiezione per poter ottenere approssi- mazioni spaziali di ordine più elevato. Per fare questo, si estrapolano i valori delle variabili di stato all'interfaccia fra le celle dalla conoscenza della soluzione (media) delle celle vicine. Questa è in sintesi l'idea alla base della ricostruzione MUSCL. Intuitivamente, se considerare la soluzione costante a tratti fornisce una approssi- mazione al primo ordine, rappresentarla come lineare a tratti darà il secondo ordine e una rappresentazione parabolica all'interno delle celle porterà al terzo ordine. Per convincersene basta pensare che una soluzione lineare nel primo caso e una parabola nel secondo caso sono correttamente rappresentate5_.

Consideriamo adesso una generica rappresentazione parabolica delle variabili di stato all'interno delle celle:

   W (x) = Wi+ 1 ∆x(x − xi)δiW + 3κ 2∆x2  (x − xi)2− ∆x2 12  δ2 iW xi−1/2 < x < xi+1/2 (4.47) dove Wi è denito in 4.1 e δiW e δi2W sono tali che

δiW

∆x e δ2

iW

∆x2 sono delle approssi- mazioni della derivata prima e seconda della soluzione nella cella i. Nel caso 3κ = 1 l'equazione 4.47 è il corretto sviluppo di Taylor in x no al secondo ordine e que- sta rappresentazione parabolica è accurata no al terzo ordine. Per altri valori del parametro κ si ha invece una rappresentazione accurata al secondo ordine con un generico termine di secondo grado. L'introduzione del termine di secondo grado no- nostante la precisione al secondo ordine è causata dalla pratica comune di utilizzare nella denizione di δiW entrambe le celle adiacenti alla cella i-esima: i due valori

Wi−1 e Wi+1 possono venir utilizzati in molteplici modi diversi, fornendo comunque

approssimazioni precise almeno no al secondo ordine, da qui allora la necessità di distinguere i vari approcci tramite il termine di secondo grado. Per denire la relazione 4.47 bisogna stimare quindi la derivata prima e seconda, in modo da intro- durre un errore almeno di un ordine superiore alla approssimazione della soluzione che si vuol dare: approssimando la derivata prima con un errore proporzionale a ∆x2 e la derivata seconda con errore proporzionale a ∆x, si può quindi mantenere una accuratezza no al terzo ordine. Utilizzando solo i valori (medi) della soluzione nelle celle adiacenti, si ottengono le due approssimazioni:

δiW =

Wi+1− Wi−1

2 (4.48a)

δ_i2W = Wi+1− 2Wi+ Wi−1 (4.48b)

5_{Non si darà in questa sede una dimostrazione di quanto detto, per maggiori dettagli si rimanda}

4.3. Schema numerico al secondo ordine Sostituendo queste due equazioni nella 4.47 e specializzando per x = xi± ∆x/2, si

ottengono i valori alle due interfacce della cella i: W_i+1/2− = Ui+

1

4(1 − κ)(Ui− Ui−1) + 1

4(1 + κ)(Ui+1− Ui) (4.49a) W_i−1/2+ = Ui−

1

4(1 + κ)(Ui− Ui−1) + 1

4(1 − κ)(Ui+1− Ui) (4.49b) dove con gli apici − e + si intendono il lato sinistro (cella con indice minore) e destro (cella con indice maggiore) dell'interfaccia considerata.

Le equazioni 4.49 sono meglio conosciute nelle forma in cui al posto di κ si ha β = 1−κ₂ (notiamo per inciso che si ha 3β = 1 quando 3κ = 1): nora si è usata κ per arrivare in modo più semplice al sistema 4.49, da adesso in poi si utilizzerà la forma con β. È interessante osservare che il primo termine dopo l'uguaglianza nelle equazioni 4.49 corrisponde a quello degli schemi al primo ordine, mentre è la dipendenza dai valori delle celle adiacenti che permette di approssimare la soluzione con un ordine maggiore: per ragioni che saranno chiare in seguito, è utile allora scrivere il sistema 4.49, facendo uso di β al posto di κ, nella forma:

W_i+1/2− = Wi+

Ψ

2 [(1 − β)(Wi+1− Wi) + β(Wi− Wi−1)] (4.50a) W_i+1/2+ = Wi+1−

Ψ

2 [(1 − β)(Wi+1− Wi) + β(Wi+2− Wi+1)] (4.50b) Quando Ψ è 0 si ottiene lo schema al primo ordine, quando è 1 si riottiene quello di ordine superiore, perciò possiamo utilizzare un'unica forma per descrivere approssi- mazioni di precisione dierente, torneremo su questo argomento nella sezione 4.3.2. Consideriamo adesso il sistema 4.50 con Ψ = 1, dato un generico usso numerico al primo ordine

Φi,i+1 = Φ(Wi, Wi+1, si,i+1)

il corrispondente usso numerico accurato al secondo ordine spaziale è dato da [21]: Φ2_i,i+1 = Φ(W_i+1/2− , W_i+1/2+ , si,i+1) (4.51)

e il corrispondente schema numerico semidiscretizzato è ∆xi d dtWi+ X j∈πi Φ2  W−_i+j 2 , W_i+j+ 2 , sij  = 0 , i ∈ I (4.52)

dove per I e πi valgono le denizioni date nella sezione 4.1.1. È importante sottoli-

neare che si è detto usso numerico accurato al secondo ordine, indipendentemente dal fatto che l'approssimazione 4.47 possa essere accurata anche no al terzo ordine. Questo perché la precisione con cui viene descritta la soluzione all'interno della cella non è necessariamente la stessa della funzione di usso numerico applicata ai vettori di stato estrapolati, W− _{e W}+_{. In particolare per funzioni di usso non lineari non}

esistono ricostruzioni MUSCL in grado di ottenere una precisione maggiore dell'or- dine due [24]6_.

6_{Questo non vuol dire che tutte le ricostruzioni MUSCL di ordine superiore al secondo siano}

4.3. Schema numerico al secondo ordine Con lo schema semidiscretizzato 4.52 sarebbe teoricamente già possibile passare a descrivere la discretizzazione temporale. Purtroppo è noto in letteratura che schemi di questo genere sono soggetti a oscillazioni non siche in presenza di discontinuità. Per questo, prima di passare ad uno schema completamente discretizzato, si illu- streranno le caratteristiche che deve possedere uno schema in modo da riottenere il corretto andamento anche in presenza di discontinuità.