Le risposte alle domande di ricerca sono dunque le seguenti:
R1. Va prima di tutto precisato che il campione di insegnanti considerato è una sorta di ampio case study e che i dati vanno letti in tal senso. In questi insegnanti di scuola primaria, sia ticinesi che piemontesi, si sono rivelate misconcezioni relative al concetto di divisione derivanti principalmente dalla mancanza di una scelta a priori del tipo di operazione che intendono considerare: “divisione” o “divisione con resto” e dal non tener presente l’insieme numerico nel quale si sta operando: «Di numeri naturali non ne ho mai parlato, io non parlo degli insiemi». Si riscontrano inoltre misconcezioni evidenziate in letteratura come: il considerare la divisione eseguibile solo quando il dividendo è maggiore del divisore; il non sapere gestire l’uso dello zero in tale operazione; il considerare in modo vincolante ed esclusivo il modello intuitivo di ripartizione, anche se è didatticamente molto importante comprendere e far comprendere agli allievi che determinati concetti matematici possono provenire da modelli intuitivi ed immagini mentali differenti. Emerge inoltre incoerenza nelle scelte degli intervistati, segno che non vi è consapevolezza del sapere in gioco. Sembra valere anche per un certo numero di insegnanti ciò che afferma Fischbein (1985b): «(…) i concetti matematici e le operazioni non si liberano mai completamente dalle interpretazioni intuitive primitive. Tali interpretazioni possono essere controllate, ma probabilmente mai eliminate del tutto».
R2. Le cause di tali misconcezioni, a detta degli insegnanti stessi, risalgono a una mancanza di formazione su questo tema, alla mancanza di conoscenza degli insiemi numerici, alle proposte dei libri di testi che spesso presentano scelte incoerenti e un uso massiccio di terminologia variabile senza chiarirne i significati.
8. Conclusioni
Dai risultati ottenuti con 73 insegnanti di scuola primaria (41 ticinesi e 32 piemontesi), emergono numerose misconcezioni sul concetto di divisione che mettono anche in evidenza diffuse difficoltà nel conoscere e gestire gli insiemi numerici. Emerge inoltre una notevole incoerenza tra una risposta e l’altra fornita da alcuni insegnanti; segno della mancanza di sapere consapevole su questi argomenti. Inoltre, dalla maggioranza delle risposte degli insegnanti, non compare un sapere
concettuale, ma un sapere legato alla pratica didattica; in effetti, gli insegnanti rispondono con affermazioni che coincidono con ciò che esplicitano in classe. Non vi è quindi distinzione tra la conoscenza matematica posseduta dal docente e ciò che viene proposto in aula derivante da una particolare scelta didattica: i due aspetti coincidono. Tuttavia, se non c’è un sapere più profondo e consapevole di quello della pratica didattica, in un certo senso non c’è neppure trasposizione didattica: l’insegnante insegna esattamente quel che sa, nella sua azione docente è al limite culturale.
Le misconcezioni e incoerenze possedute dagli insegnanti per questo sapere derivano spesso, nel caso degli Italiani, dalle proposte dei libri di testo che impiegano numerosi termini, a volte impropri, non accompagnati dalle relative spiegazioni. Riteniamo perciò che, parallelamente alla messa a punto degli aspetti concettuali della divisione, sarebbe importante operare anche una riduzione e uniformazione dei termini da usare in classe.
A detta degli insegnanti, le convinzioni erronee, le insicurezze e le incoerenze emerse su questo argomento vengono, almeno in parte, esplicitate agli allievi durante l’azione didattica. Le origini di alcune difficoltà nell’apprendimento del concetto di divisione da parte degli allievi possono quindi essere non solo di tipo epistemologico, insite nel sapere in gioco, ma anche di natura didattica, derivanti dal sapere scorretto e incompleto posseduto ed esplicitato in classe dagli insegnanti. Non è certamente errato considerare due tipi di divisione: “divisione” e “divisione con resto”, è però pericoloso confonderli; su di essi occorrerebbe lavorare in modo consapevole e coerente, operando scelte ben definite a priori, per dare senso a queste operazioni che dovrebbe essere precisate anche in funzione dell’insieme di definizione che si considera.
Auspichiamo che questo lavoro possa essere un primo passo verso il cambiamento, l’ampliamento e la sistemazione delle proposte didattiche fornite dai libri di testo per questi saperi basilari.
Bibliografia
Bagni G.T. (1994). Numeri e operazioni nel Medioevo: Larte de labbacho (l’Aritmetica di Treviso, 1478). La matematica e la sua didattica. 4, 364– 373.
Bonotto C. (1992). Uno studio sul concetto di numero decimale e di numero razionale. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. 15, 5, 415-448.
Brousseau G. (1980). Problèmes de l’enseignements des décimaux. Recherches en didactique des mathématiques. 1, 1, 11-59.
Brousseau G. (1981). Problèmes de didactique des décimaux. Recherches en didactique des mathématiques. 2, 3, 37-127.
Brousseau G. (1983). Théorisation de phénomènes d’enseignement des mathèmatiques. Thèse de Doctorat d’État. Université de Bordeaux I.
Brousseau G. (1987). Représentations et didactique du sens de la division. In: Didactique et acquisition des connaissances scientifiques. Actes du Colloque de Sèvres Mai 1987. La Pensée sauvage.
Campolucci L., Maori D., Fandiño Pinilla M.I., Sbaragli S. (2006). Cambi di convinzione sulla pratica didattica concernente le frazioni. La matematica e la sua didattica. 3, 353-400.
D’Amore B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Bologna: Pitagora.
D’Amore B. (2007). Lo zero, da ostacolo epistemologico ad ostacolo didattico. La matematica e la sua didattica. 4, 425-454.
D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2005). Relazioni tra area e perimetro: convinzioni di insegnanti e studenti. La matematica e la sua didattica. Bologna: Pitagora. 2, 165-190.
D’Amore B., Sbaragli S. (2005). Analisi semantica e didattica dell’idea di “misconcezione”. La matematica e la sua didattica. 2, 139-163.
Deri M., Nello M.S., Marino M.S. (1983). Il ruolo dei modelli primitivi per la moltiplicazione e la divisione. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. 6, 6, 6-27.
Fandiño Pinilla M.I. (2005a). Il portfolio di matematica. La matematica si fa in quattro. Vita Scolastica. 5, 10-12.
Fandiño Pinilla M.I. (2005b). Le frazioni. Aspetti concettuali e didattici. Bologna: Pitagora.
Fischbein E. (1985a). Intuizione e pensiero analitico nell’educazione matematica. In: Chini Artusi L. (ed.) (1985). Numeri e operazioni nella scuola di base. Bologna: Zanichelli-UMI. 8-19.
Fischbein E. (1985b). Ostacoli intuitivi nella risoluzione di problemi aritmetici elementari. In: Chini Artusi L. (ed.) (1985). Numeri e operazioni nella scuola di base. Bologna: Zanichelli-UMI. 122-132.
Fischbein E. (1992a). Modelli taciti e ragionamento matematico. In: Fischbein E., Vergnaud G. (1992). Matematica a scuola: teorie ed esperienze. A cura di B. D’Amore. Bologna: Pitagora. 25-38.
matematica. In: Fischbein E., Vergnaud G. (1992). Matematica a scuola: teorie ed esperienze. A cura di B. D’Amore. Bologna: Pitagora. 51-74.
Fischbein E. (1998). Conoscenza intuitiva e conoscenza logica nell’attività matematica. La matematica e la sua didattica. 4, 365-401.
Fischbein E., Deri M., Nello M.S., Marino M.S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for research in mathematics education. 16, 3-17.
Gagatsis A., Christou C. (2000). Investigating student’ understanding of multiplication and division by analyzing their textual eigen productions. Scientia paedagogica experimentalis. XXXVII, 2, 219-240.
Gray E.M. (1993). The transition from whole numbers to fraction. Relazione presentata all’incontro dell’International Study Group on the Rational Numbers of Arithmetic. Athens (Ga): Università della Georgia.
Hart K. (1981). Children’s understanding of mathematics. London: J. Murray. Sbaragli S. (2006). Primary School Teachers’ beliefs and change of beliefs on
Mathematical Infinity. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education. 5, 2, 49-76.
Tirosh D., Graeber A. (1990). Evoking cognitive conflict to explore preservice teacher’ thinking in division. Journal for research in mathematics education. 21, 98-108.
Vergnaud G. (1983). Multiplicative structures. In: Lesh R., Landau M. (Eds.). Acquisition of mathematics concepts and processes. London: Academic Press. 127-174.
Zazkis R. (1998). Divisors and quotients: acknowledging polysemy. For the learning of mathematics. 18, 3, 27-29.
Ringraziamo Bruno D’Amore, Mario Ferrari e gli anonimi referee per i preziosi consigli utili per la stesura di questo testo.
Allegato. Questionario
1) Che cos’è per te la divisione nell’insieme dei numeri naturali?
2) Considera le due seguenti operazioni nell’insieme dei numeri naturali. Con quali termini chiami i numeri indicati con le frecce?
3) Nell’insieme dei numeri naturali, una divisione con resto zero e una con resto diverso da zero hanno lo stesso nome oppure no?
Se no, quali nomi useresti per la divisione con resto zero?
4) È la stessa cosa parlare di divisione che non ha resto o divisione con resto zero? Spiega.
5) Qual è il risultato dell’operazione 7:5 definita nell’insieme dei numeri naturali?
6) Qual è il risultato dell’operazione 4:3 definita nell’insieme dei numeri naturali?
7) Nell’insieme dei numeri naturali la divisione è sempre definita (eseguibile)? Perché?
8) Che cosa si intende con l’espressione «un numero a è divisibile per un numero b» nell’insieme dei numeri naturali?
9) Quali dei seguenti termini ti sembrano adatti per denominare la divisione 5:2 nell’insieme dei numeri naturali? Segna con una crocetta quelli che consideri tali.16 esatta non esatta approssimata corretta completa incompleta propria impropria finita infinita limitata illimitata
nessuna delle precedenti
16 Tutti i nomi seguenti sono tratti da libri di testo in uso in Italia nella scuola primaria e secondaria di primo grado a parte “nessuna delle precedenti”.
12 3 0 4 8 5
10) Quali dei seguenti termini ti sembrano adatti per denominare la divisione 7:3 nell’insieme dei numeri naturali? Segna con una crocetta quelli che consideri tali. esatta non esatta approssimata corretta completa incompleta propria impropria finita infinita limitata illimitata nessuna delle precedenti
11) In quale insieme numerico 9:4 ha soluzione? Se ha soluzione, che tipo di numero è?
12) In quale insieme numerico 7:3 ha soluzione? Se ha soluzione, che tipo di numero è?