Il teorema PBR, ponendo degli stringenti vincoli sull’autosussistenza dei modelli ontologici ψ-epistemici, ha dato vita ad una serie di tentativi di rilassarne le ipotesi (in particolare, il postulato di preparazione indipendente), pur mantenendo sostanzialmente invariato il risul-tato no-go per i modelli ψ-epistemici, e ad approcci alternativi che permettano di porre delle condizioni su tali modelli, indipendentemente dal teorema PBR. Consideriamo innanzitutto un esempio di tali proposte, presentato da Patra, Pironio e Massar in [9].
La sostanziale differenza dell’accostamento di [9] al problema dei modelli ψ-epistemici rispet-to a PBR risulta nel fatrispet-to che i primi pongono delle restrizioni su tali teorie considerando un unico sistema fisico; ciononostante, il risultato analogo al teorema PBR che presenteremo nel prossimo paragrafo e sempre dovuto a [9] richiede l’analisi di pi`u di un sistema fisico, come nel caso di PBR.
Prendiamo pertanto in considerazione un singolo sistema fisico, descritto genericamente da uno stato quantico |ψi appartenente ad uno spazio di Hilbert H di dimensione d. Supponia-mo, inoltre, che la rappresentazione del sistema sia da attribuire ad un modello ψ-epistemico, con spazio degli stati ontici Λ. Per rendere pi`u agile la dimostrazione consideriamo discreto lo spazio ontico Λ (che sar`a pertanto l’insieme dei singoli stati ontici: Λ = {λ}); la seguente analisi `e comunque valida anche nel caso continuo (cfr. [9]).
L’idea generale del presente risultato consiste nel mostrare che, assumendo una ragionevole nozione di “continuit`a” per le distribuzioni di probabilit`a degli stati quantici |ψi sullo spazio Λ, `e possibile porre un vincolo sulla fondatezza di una descrizione ψ-epistemica del sistema fisico considerato.
Forniamo pertanto la definizione centrale:
Definizione 3.1. Consideriamo una palla chiusa Bψ() nello spazio di Hilbert H, di raggio > 0 e centrata sullo stato |ψi. Un modello ontologico si dice -continuo se, per ciascuno stato |ψi esiste almeno uno stato ontico λ tale che, per ogni stato ψ0 ∈ Bψ() si abbia µψ0(λ) > 0.
Notiamo che la palla `e ben definita se si considera una nozione di distanza nello spazio di Hilbert procurata dal prodotto scalare: gli stati ψ0 ∈ Bψ() saranno per definizione quegli stati che soddisfano a:
1 − D(ψ0, ψ) = |hψ|ψ0i| ≥ 1 − (3.10)
Per visualizzare intuitivamente questa osservazione `e possibile immaginare uno stato quan-tico |ψi sulla sfera di Bloch: gli stati appartenenti a Bψ() sono quelli sufficientemente vicini a |ψi da avere il modulo del prodotto scalare con esso maggiore di 1 − (notiamo quindi che la minima distanza si ha quando il prodotto scalare vale 1).
Il senso della definizione di -continuit`a `e che, se si modifica lievemente lo stato quantico ψ (ovvero si prende un altro stato all’interno della palla, con sufficientemente piccolo), allora anche la distribuzione di probabilit`a muta di poco: pi`u precisamente, la nuova distribuzione µψ0(λ) conterr`a almeno uno degli stati quantici λ su cui la precedente µψ(λ) era non nulla. Naturalmente formalmente la definizione `e arbitraria, ma appare ragionevole dal punto di vista fisico in casi ordinari. Puntualizziamo, inoltre, che tale condizione `e valida per con un determinato valore: le distribuzioni di probabilt`a di stati quantici troppo distanti tra loro pertanto potranno non aver alcuno stato ontico λ in comune nei loro supporti (ovvero i loro supporti saranno disgiunti nello spazio Λ).
Veniamo ora al risultato dimostrato da Patra Pironio e Massar, che pone tramite una di-suguaglianza un preciso limite all’entit`a di , ferma restando la compatibilit`a del modello ontologico ψ-epistemico che descrive il sistema con la meccanica quantistica.
Teorema 3.2. Un modello ontologico -continuo non `e compatibile con le previsioni della meccanica quantistica se vale:
Osserviamo immediatamente che il vincolo diviene via via pi`u stringente all’aumentare della dimensione d dello spazio di Hilbert. Diamo ora la dimostrazione del precedente risultato: Dimostrazione. Consideriamo un insieme di d stati quantici distinti |ψii, indicizzati da i ∈ {1, ..., d}, tutti contenuti in una palla di raggio . Il centro della palla pu`o essere posizionato arbitrariamente, fermo restando il fatto che tutti gli |ψii devono esservi conte-nuti. Applichiamo ora la definizione di modello -continuo: per tutti gli stati |ψii contenuti nella palla di raggio vale µψi > 0, pertanto `e ben definita la seguente quantit`a, che `e inoltre strettamente positiva:
min
i µψi(λ) > 0 (3.12)
Cos`ı facendo si pu`o altres´ı introdurre una quantit`a analoga a quella definita nel capitolo 2 dall’equazione (2.32), che al tempo avevamo denominato “sovrapponibilit`a”; la sostanziale differenza `e che in questo caso siamo in uno spazio Λ discreto, per cui l’integrale viene sostituito da una sommatoria:
ω(µψ1, ..., µψd) =X
λ∈Λ
min
i µψi(λ) (3.13)
Tale grandezza, essendo collegata alla “distanza” tra le distribuzioni definita dall’equazione (2.27), rappresenta il grado di sovrapponibilit`a delle distribuzioni di probabilit`a degli stati |ψii contenuti nella palla. Introduciamo ora un’osservabile K, che misurata con un’opportuna procedura M dia come esiti i suoi possibili autovalori i = 1, ..., d. Risulta quindi la seguente relazione: X i p(i|M, ψi) = X i X λ∈Λ ξ(i|M, λ)µψi(λ) ≥X i X λ∈Λ ξ(i|M, λ)min µψi(λ) =X λ∈Λ min µψi(λ) = ω(µψ1, ..., µψd) > 0 (3.14)
La prima uguaglianza non `e altro che la regola di Born nel caso discreto, mentre l’ultimo passaggio `e giustificato dal fatto che la somma della funzione di risposta (che ricordiamo essere indipendente dallo stato |ψii considerato) su tutti i possibili autovalori restituisce l’u-nit`a, come garantito dall’equazione (1.2).
Mostriamo ora che, scegliendo opportunamente gli stati quantici |ψii, scaturisce una con-traddizione con l’equazione (3.14) se sussiste ≥ 1 −p1 − 1/d.
Sia {|li |l = 1, ..., d} una base ortonormale dello spazio di Hilbert che stiamo considerando. Costruiamo ora l’insieme di stati |ψii ed un altro stato |ψi nel seguente modo:
|ψii = √ 1 d − 1 X l6=i |li |ψi = √1 d X l |li (3.15)
Osserviamo che la “distanza”, cos`ı come definita nell’equazione (3.10), tra gli |ψii e |ψi risulta: 1 − D(ψi, ψ) = |hψi|ψi| = 1 √ d − 1 X l6=i hl|√1 d X l |li = 1 p(d − 1)d X l6=i hl|li = d − 1 p(d − 1)d = p 1 − 1/d (3.16)
Ci`o significa in sostanza che gli stati ψi sono sul bordo e perci`o appartengono alla pal-la Bψ(1 −p1 − 1/d). Operiamo ora una misura M lungo i proiettori corrispondenti alla base ortonormale {|li}; la probabilit`a di ottenere l’autovalore i = 1, ..., d vale in tal caso, applicando la regola di Born:
p(i|M, ψi) = |hψi|ii|2 = 0 poich´e in ψi manca il termine proporzionale a |ii (3.17) Il risultato appena trovato `e in contraddizione con l’equazione (3.14): si pu`o pertanto dedurre che, se ≥ 1 −p1 − 1/d, la descrizione del modello ontologico ψ-epistemico considerato confligge con le previsioni della meccanica quantistica.
La precedente dimostrazione mostra un interessante vincolo sui modelli ψ-epistemici pren-dendo in considerazione un unico sistema fisico (non sono state infatti impiegate misure con-giunte), ma non rappresenta un risultato forte quanto il teorema PBR, che, dato il postulato di preparazione indipendente e un insieme di n sistemi fisici, deriva una contraddizione per qualsiasi modello ψ-epistemico, senza restrizioni. Vedremo nel prossimo paragrafo come il risultato di PBR possa essere riformulato con un indebolimento del postulato di preparazione indipendente.