Risultati numerici

Eseguiamo una serie di simulazioni che comprendano valori di D differenti tra il punto di entrata e di uscita rispetto la curva inferiore del circuito in figura 3.10, e vediamo cosa succede.Bisogna ricordare che il valore fy trovato nell’analisi analitica non tiene conto

della velocità con cui il veicolo giunge al punto di entrata in curva, ne del vincolo di non ribaltamento: questi valori influenzano pesantemente la scelta finale della D, o meglio del fattore di scala che aumenta il parametro teorico fy; la soluzione ideale è quella che

presenta un veicolo che giunge nel punto di entrata in curva con la velocità descritta dal raggio di curvatura massimo con cui si ricava il parametro fy, ovvero vc = √alR′;

nel caso generale sarà necessario percorrere uno spazio maggiore affinché la velocità del veicolo aumenti o diminuisca fino a giungere al valore per cui è valido il valore trovato di fy.

Tabella 3.1.Informazioni sulle simulazioni effettuate nella curva inferiore del tracciato in

figura 3.10

Numero soluzioni ammissibili Numero soluzioni

inammissibili {fy, fy} 150 475 {fy, 2 fy} 150 475 {fy, 3 fy} 150 475 {2 fy, 1 fy} 160 465 {2 fy, 2 fy} 160 465 {2 fy, 3 fy} 160 465 {3 fy, 1 fy} 200 425 {3 fy, 2 fy} 200 425 {3 fy, 3 fy} 200 425

Come si vede dalla tabella 3.1 non tutte le posizioni forniscono una soluzione ottima. Si nota che il numero di soluzioni ammissibili dipende soprattutto dalla scelta della D iniziale: visto che il tempo di frenata è minore di quello di accelerazione, le variazioni nella scelta del parametro D iniziale influiscono maggiormente sull’ammissibilità della soluzione rispetto alle decisioni prese sulla D finale. Infine, è da sottolineare il fatto che tutte le soluzioni che prevedono vi = vmax e/o vf > 0.60 vmax forniscono soluzioni

inammissibili, indipendentemente dalla scelta del parametro D: ci ‘o è dovuto al fatto che il vincolo sull’accelerazione laterale massima limita di molto la velocità con cui la curva può essere percorsa, inoltre, le prestazioni del veicolo di accelerazione e frenata non permettono il raggiungimento di determinate velocità in spazi non sufficientemente ampi; in altre parole, il veicolo è costretto a percorrere la curva con una velocità molto bassa rispetto a quella da raggiungere nel punto terminale e non riesce a recuperare la velocità richiesta in uscita alla curva per via delle limitazioni fisiche del veicolo stesso. Tuttavia, i risultati trovati fino a questo punto non sono sufficienti a fornire una soluzione ottima credibile in termini di tempo minimo di percorrenza dato che tutti in casi conside- rati il veicolo percorre distanze differenti: quindi è necessario aggiungere una porzione

di tracciato che renda tutti i casi uguali in termini di spazio di percorrenza all’interno del tracciato; nel nostro caso consideriamo una porzione di rettilineo iniziale e finale alla cur- va presa in esame nelle simulazioni che disti dall’inizio della curva (attenzione, bisogna considerare l’inizio del tratto curvo a raggio costante e non il punto di entrata, altrimenti i due rettilinei si sposterebbero cambiando i casi analizzati e lo spazio di percorrenza totale cambierebbe ancora) 7 fy, in modo tale che la sequenza rettilineo-curva-rettilineo sia uno

dei casi seguenti

→ S(7 fy, fy) C∗(fy, fy) S(fy, 7 fy) → S(7 fy, fy) C∗(fy, 2 fy) S(2 fy, 7 fy) → S(7 fy, fy) C∗(fy, 3 fy) S(3 fy, 7 fy) → S(7 fy, 2 fy) C∗(2 fy, fy) S(fy, 7 fy) → S(7 fy, 2 fy) C∗(2 fy, 2 fy) S(2 fy, 7 fy) → S(7 fy, 2 fy) C∗(2 fy, 3 fy) S(3 fy, 7 fy) → S(7 fy, 3 fy) C∗(3 fy, fy) S(fy, 7 fy) → S(7 fy, 3 fy) C∗(3 fy, 2 fy) S(2 fy, 7 fy) → S(7 fy, 3 fy) C∗(3 fy, 3 fy) S(3 fy, 7 fy)

dove il primo elemento tra parentesi dei settori S rappresenta la distanza del punto ini- ziale del settore dalla curva ed il secondo elemento invece la distanza del punto finale dello stesso settore rispetto la curva; con C∗ _{si è indicato una settore di curva speciale,}

composto da una piccola porzione di rettilineo iniziale e finale, come sperimentato nei test precedenti.

Tabella 3.2. Informazioni sulle simulazioni effettuate nella curva inferiore del tracciato

in figura 3.10 con una porzione di rettilineo iniziale e finale lungo 7 fy dalla ingresso e

dall’uscita della curva originale

Numero soluzioni ammissibili Numero soluzioni inammissibili {S(7 fy, fy); C∗(fy, fy); S(fy, 7 fy)} 375 250 {S(7 fy, fy); C∗(fy, 2 fy); S(2 fy, 7 fy)} 250 375 {S(7 fy, fy); C∗(fy, 3 fy); S(3 fy, 7 fy)} 250 375 {S(7 fy, 2 fy); C∗(2 fy, fy); S(fy, 7 fy)} 315 310 {S(7 fy, 2 fy); C∗(2 fy, 2 fy); S(2 fy, 7 fy)} 210 415 {S(7 fy, 2 fy); C∗(2 fy, 3 fy); S(3 fy, 7 fy)} 210 415 {S(7 fy, 3 fy); C∗(3 fy, fy); S(fy, 7 fy)} 385 240 {S(7 fy, 3 fy); C∗(3 fy, 2 fy); S(2 fy, 7 fy)} 250 375 {S(7 fy, 3 fy); C∗(3 fy, 3 fy); S(3 fy, 7 fy)} 250 375

I risultati delle simulazioni in termini si soluzioni ammissibili sono mostrati in tabella 3.2: 1. come si vede dalle soluzioni ottenute, esistono delle condizioni iniziali e finali che

non producono una soluzione ammissibile;

2. all’aumentare del parametro D in ingresso alla curva C∗ _{si nota un aumento del}

numero di soluzioni ammissibili;

3. all’aumentare del parametro D in uscita alla curva C∗

si nota una diminuzione del numero di soluzioni ottime;

4. la variazione del numero di soluzioni ammissibili rispetto alla variazione del para- metro D in ingresso alla curva è dovuto al fatto che variando lo spazio di percor- renza in entrata alla curva aumenta la possibilità di partire con velocità maggiori di quelle permesse in curva visto che c’è il tempo di frenare fino al valore ottimo; 5. la variazione del numero di soluzioni ammissibili rispetto alla variazione del para-

metro D in uscita alla curva è dovuto al fatto che variando lo spazio di percorrenza in uscita alla curva diminuisce la possibilità di recuperare le velocità desiderate nel punto di arrivo dato che il rettilineo successivo al tratto C∗ _{varia in relazione a D;}

i risultati in uscita sono più penalizzati incrementando il D di uscita rispetto alla variazione del D in entrata visto che la dinamica del veicolo prevede dei tempi di frenata più veloci rispetto ai medesimi di accelerazione.

Successivamente abbiamo provato ad estendere i rettilinei iniziale e finale prima e dopo la curva C∗_{, fino ad eliminare tutte le soluzioni inammissibili per la curva C}∗_considerata

nella nostra analisi: per un valore di 90 fycome punto di partenza e di arrivo in termini di

distanza dalla curva del tracciato 3.10 si ottengono tutte soluzioni ottime come mostrato nella tabella 3.3.

Tabella 3.3. Informazioni sulle simulazioni effettuate nella curva inferiore del tracciato

in figura 3.10 con una porzione di rettilineo iniziale e finale lungo 90 fy dalla ingresso e

dall’uscita della curva originale

Numero soluzioni ammissibili Numero soluzioni inammissibili {S(90 fy, fy); C∗(fy, fy); S(fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, fy); C∗(fy, 2 fy); S(2 fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, fy); C∗(fy, 3 fy); S(3 fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 2 fy); C∗(2 fy, fy); S(fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 2 fy); C∗(2 fy, 2 fy); S(2 fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 2 fy); C∗(2 fy, 3 fy); S(3 fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 3 fy); C∗(3 fy, fy); S(fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 3 fy); C∗(3 fy, 2 fy); S(2 fy, 90 fy)} 625 0 {S(90 fy, 3 fy); C∗(3 fy, 3 fy); S(3 fy, 90 fy)} 625 0

Un rettilineo così lungo in ingresso ed in uscita alla curva si rende necessario per permet- tere al nostro veicolo di raggiungere la massima velocità possibile partendo da velocità minime: da un confronto con i risultati numerici ottenuti nelle prove precedenti si evince che nel caso di rettilinei prima e dopo la curva molto lunghi le soluzioni migliori vadano cercate nelle curve che presentano un rettilineo di entrata e di uscita la curva non troppo distanti dalla curva stessa, mentre nel caso di curva compresa tra rettilinei che non per- mettono il raggiungimento della velocità massima allora diventa un vantaggio la scelta di rettilinei di entrata e di uscita alla curva più lunghi.

Capitolo 4

Analisi della manovra ottima nei

tratti rettilinei

4.1

Introduzione

Uno dei problemi principali che devono essere risolti per i robot mobili e i veicoli auto- nomi è la pianificazione del moto per raggiungere un obiettivo da una data posizione iniziale. Il movimento effettuato dal veicolo deve soddisfare il sistema di equazioni dif- ferenziali che rappresenta la dinamica del vettore configurazione; inoltre, si vuole che si faccia un buon uso delle risorse disponibili, ottimizzando cioè il tempo necessario a compiere il compito da pianificare.

L’approccio qui presentato consiste nella cosiddetta quantizzazione del controllo [55], [56] in questo caso, si sceglie un numero finito di traiettorie di controllo, dette primitive di movimento, tali che la loro combinazione produca traiettorie ammissibili (feasible) per il veicolo car-like scelto.

Una trattazione simile del problema di pianificazione del problema è stata fatta su una macchina Dubins [57] (e [58] per complementi).