Risultati

Questo Paragrafo presenta i risultati, sia grafici che numerici, per alcuni campioni del set di convalida del caso di studio 1. Sono stati scelti questi dati in quanto ritenuti rappresentativi di un ampio spettro di situazioni realistiche.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.6: Proiezione sul piano degli score degli spazi nulli, delle realizzazioni di u_NEW a

diversi livelli di incertezza e delle u reali: a) campione di convalida 1, b) campione 2, c) campione 3, d) campione 4.

Tabella 4.3: Caratterizzazione dell’incertezza, dell’accuratezza e della

rappresentatività nell’inversione diretta del modello PLS nel caso di studio 1: distanza euclidea, T² di Hotelling del punto di inversione diretta, T² di Hotelling del punto reale, Q del punto reale (rapportate al proprio limite) e incertezza.

Campione di convalida d_E/l₁ d_E/l₂ T_invdir² /T_lim,95%² 2 lim,95% 2 real/T

T Q_real/Q_lim,95% αinc 1 0.2105 0.2551 0.0330 0.1087 0.2485 0.1081 2 0.3247 0.3935 1.27∙10-7 0.1542 0.0391 0.0616 3 0.7253 0.8789 0.0653 0.8194 0.8520 0.1520 4 0.7949 0.9634 0.0010 0.9120 1.9701 0.9712

Al fine di spiegare l‟utilità e i dettagli dell‟applicazione, si presenta un caso specifico di progettazione di prodotto mediante inversione diretta e della relativa caratterizzazione in termini di incertezza, accuratezza e rappresentatività. Prendiamo come esempio il primo campione di convalida (prima riga di Tabella 4.3). L‟obiettivo della progettazione di prodotto/processo è suggerire quale sia il set di variabili di ingresso (ad esempio, materie prime, parametri di processo) che garantisca una qualità del prodotto y_DES=204.86. Per conoscere le variabili di ingresso necessarie a restituire y_DES, il modello costruito sul set di calibrazione viene invertito, ottenendo come soluzione delle (1.34) e (1.35) le variabili di ingresso u_NEW=[38.04;9.99;1.68∙10³;106.91;373.13]. Tuttavia, l‟incertezza di predizione dovuta al modello influenza il risultato. Costruite le realizzazioni di y_DES a diversi livelli di incertezza (distribuite secondo una gaussiana), e applicata l‟inversione diretta ad ognuna delle suddette realizzazioni, si ricavano tutte le corrispondenti realizzazioni delle variabili di ingresso U. Inoltre, per ogni realizzazione, si definisce lo spazio nullo corrispondente (il luogo dei punti isoincertezza a cui sono associati predeterminati livelli di incertezza). Ipotizzando di aver condotto una campagna sperimentale, i valori delle variabili di ingresso al processo che sono realmente in grado di restituire y_DES sono noti e sono

u_real=[47.13;8.93;2.22∙10³;79.76;420.89].

A questo punto vengono utilizzate le metriche descritte nel §4.1.3 per caratterizzare l‟incertezza, l‟accuratezza e la rappresentatività del modello costruito. La valutazione della dE

permette di asserire quanto accurata è la soluzione stimata dal modello. In questo caso (prima riga di Tabella 4.3) si è ottenuto una valore del rapporto tra distanza euclidea e semiassi dell‟ellissoide di fiducia pari a 0.2105: questo significa che la distanza euclidea è ben inferiore del semiasse dell‟ellissoide e che la soluzione calcolata dall‟inversione del modello è abbastanza vicina alla realtà sperimentale. Le T² di Hotelling sono molto basse (il rapporto è 0.033 per il punto ricavato dall‟inversione diretta del modello e 0.1087 per il punto sperimentale reale): la soluzione dell‟inversione diretta e il punto reale sono situate vicino ai valori medi delle variabili prese in esame, dove si ottengono risultati affidabili in quanto non si è in fase di estrapolazione. Il rapporto tra l‟errore quadratico medio e il limite al 95% è

molto inferiore a 1 e pari a 0.2485. Questo dimostra come il punto sperimentale reale sia ben rappresentato dal modello. L‟incertezza (αinc) definisce il piano di isoincertezza dell‟inversione diretta in cui il punto sperimentale cade. Quindi, più piccola è la significatività, più vicini si è al luogo di isoincertezza definito allo spazio nullo relativo al punto reale (cioè si è più prossimi alla realtà fisica). In questo caso l‟incertezza è bassa (10.81%): la soluzione stimata dall‟inversione del modello si trova in vicinanza dello spazio nullo a cui appartiene il punto reale. Riassumendo, nel caso descritto la soluzione ottenuta è molto accurata: l‟incertezza è bassa e il modello è rappresentativo dei dati analizzati. La stima del modello giace in una zona dello spazio degli score ben descritta dal modello, vicina ai valori medi delle variabili prese in esame, dove si ottengono soluzioni affidabili visto che si sta interpolando. Infine, il risultato è soddisfacente visto il poco scostamento tra le variabili di ingresso ottenute dall‟inversione del modello e la realtà sperimentale.

I primi due campioni presi in considerazione (osservazioni 1 e 2, Figure 4.6a e 4.6b) presentano buoni risultati per tutte le metriche: la distanza euclidea è ben al di sotto dei semiassi dell‟ellisse di fiducia al 95% (l1=4.1932 e l2=3.4601), T² e Q non superano il limite al 95% (T_lim,² _95%=6.0155 e Qlim,95%=0.2479 rispettivamente). L‟incertezza è bassa (10.81% e 6.16%). I risultati trovano conferma visiva nelle Figure 4.6a e 4.6b: la distanza tra il punto reale () il punto di inversione diretta (intersezione tra segmento rosso e arancione) è molto ridotta e il punto reale è quasi sovrapposto allo spazio nullo dell‟inversione diretta (cioè l'incertezza è bassa). Più interessanti sono le soluzioni proposte per gli altri due campioni (3 e 4), che si trovano al limite dell‟ellisse di fiducia al 95% sul piano degli score.

L‟osservazione 3 presenta una dE confrontabile con i semiassi di fiducia; in più T_real² e Q_real

sono molto vicini al limite al 95%. Tuttavia l‟incertezza αinc è bassa, e ciò conferma che è necessario confrontare queste metriche nella loro totalità, in quanto potrebbero fornire indicazioni contrastanti. Si osservi che per i punti periferici è più probabile un‟estrapolazione della soluzione con perdita di rappresentatività del modello.

Il campione 4 presenta i risultati peggiori: la distanza euclidea quasi coincide con il semiasse minore dell‟ellisse, 2

real

T è appena al di sotto del limite al 95%, mentre Q_real supera il valore di 0.2479 del limite. L‟incertezza inoltre è alta, pari al 97.12%.

Per entrambi gli ultimi casi T_invdir² è molto minore di T_real² , risultato che, unito alle altre metriche, permette di affermare come si ottengano risultati meno buoni per osservazioni lontano dall‟origine.

È interessante notare come T_real² sia sempre maggiore di T_invdir² : questo è dovuto alla natura intrinseca dei modelli, che tendono a ottenere soluzioni il più vicino possibile alla media.