8.2 Verifica della bontà di adattamento
8.2.2 Risultati dei test
8.2.2.1 Modelli di regressione multipla
I parametri delle distribuzioni considerate vengono stimati a partire dagli L-momenti calcolati tramite i modelli di regressione multipla tarati nel paragrafo 7.2.1 e 7.2.2. In particolare la stima di Lcv e di Lca viene effettuata, rispettivamente, mediante le relazioni (7.1) e (7.2).
RISULTATI DEL TEST DI CRAMER VON-MISES
Come spiegato in precedenza, si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica D2. I risultati sono riportati in Figura 8.2.
j/s
D
2Figura 8.2. Funzione di frequenza empirica della statistica D2 di Cramer von Mises calcolata, sulle
97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Per verificare quale, tra le distribuzioni considerate, si comporta meglio secondo il test di Cramer – von Mises si verifica quale delle curve in Figura 8.2 risulti più spostata a sinistra, ossia su valori più bassi della statistica D2. Nel caso specifico le 8 distribuzioni si comportano in maniera molto simile l’una
all’altra. Si può anche verificare qual è la distribuzione che comporta il valore di D2 più basso per ogni stazione (Tabella 8.1).
Distribuzione GEV GL GP LN3
Ns 2 12 21 7
Distribuzione G GAM K TCEV
Ns 37 7 9 2
Tabella 8.1. Numero di stazioni in cui la distribuzione considerata restituisce il valore di D2 più
basso.
Tutte le distribuzioni considerate risultano ottime in almeno due stazioni, e le distribuzioni migliori secondo Tabella 8.1 risulterebbero la distribuzione di Gumbel e la distribuzione di Pareto generalizzata.
Un altro modo per individuare la distribuzione più adeguata a descrivere la curva di crescita delle portate di piena è quello di calcolare, per ciascuna distribuzione, il valore di D2 in corrispondenza della mediana. La distribuzione migliore sarà caratterizzata dal
D
median2 minore (Tabella 8.2).Distribuzione GEV GL GP LN3
2
median
D
0.159 0.168 0.172 0.155Distribuzione G GAM K TCEV
2
median
D
0.184 0.166 0.168 0.166Tabella 8.2. Valori di D2 valutati in corrispondenza della mediana.
Anche in questo caso si nota, come già in Figura 8.2, che il test di Cramer von Mises non permette di identificare grandi differenze tra le 8 distribuzioni considerate. Questo risultato è consistente con quanto rilevabile dai grafici di Figura 8.1 e riportati in Allegato I, che evidenziano come le 8 distribuzioni hanno comportamento molto simile nella parte centrale, corrispondente a tempi di ritorno medio-bassi.
RISULTATI DEL TEST DI ANDERSON - DARLING
Come spiegato in precedenza, si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica A2. I risultati sono riportati in Figura 8.4.
j/s
A
2Figura 8.4. Funzione di frequenza empirica della statistica A2 di Anderson-Darling calcolata, sulle
97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Per verificare quale, tra le distribuzioni considerate, si comporta meglio secondo il test di Anderson-Darling si verifica quale delle curve in Figura 8.4 risulti più spostata a sinistra, ossia su valori più bassi della statistica A2. Nel caso specifico le 8 distribuzioni si comportano in maniera abbastanza simile l’una all’altra, a parte le distribuzioni Gamma e di Pareto, che si comportano nettamente peggio delle altre, e la distribuzione di Gumbel, che invece si comporta mediamente meglio delle altre.
Si può anche verificare qual è la distribuzione che comporta il valore di A2 più basso per ogni stazione (Tabella 8.3).
Distribuzione GEV GL GP LN3
Ns 6 17 1 6
Distribuzione G GAM K TCEV
Ns 46 6 11 4
Tabella 8.3. Numero di stazioni in cui la distribuzione considerata restituisce il valore di A2 più
basso.
Anche dalla Tabella 8.3 risulta che la distribuzione di Gumbel si comporta meglio delle altre secondo la statistica di Anderson-Darling.
Un altro modo per individuare la distribuzione più adeguata a descrivere la curva di crescita delle portate di piena è quello di calcolare, per ciascuna distribuzione, il valore di A2 in corrispondenza della mediana. La distribuzione migliore sarà caratterizzata dal
A
median2 minore (Tabella 8.4).Distribuzione GEV GL GP LN3
2
median
A
1.20 1.04 2.64 1.24Distribuzione G GAM K TCEV
2
median
A
1.17 1.55 1.15 1.21Tabella 8.4. Valori di A2 valutati in corrispondenza della mediana.
Anche la Tabella 8.4 conferma che la distribuzione di Pareto e la Gamma non sembrano appropriate a descrivere i campioni disponibili, mentre le altre si comportano circa allo stesso modo per quanto riguarda la statistica 2
median
A
.RISULTATI DEL TEST DI UNIFORMITA’
Il diagramma in Figura 8.5 riporta in ascissa le variabili trasformate secondo l’equazione (8.4), ed in ordinata le corrispondenti frequenze empiriche. Il numero complessivo di dati considerati per costruire il diagramma è ntot = 3156. Come spiegato in precedenza, le distribuzioni migliori sono quelle che si avvicinano maggiormente alla bisettrice del diagramma.
Figura 8.5. Funzione di frequenza empirica della statistica Fi di equazione (8.4) calcolata, sui 3156 dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Come nel caso del test di Cramer von Mises, anche con il test di uniformità le diverse distribuzioni producono risultai molto simili. Per provare a distinguere più accuratamente le distribuzioni, si è calcolata la massima distanza delle singole curve dalla bisettrice (Tabella 8.5).
Distribuzione GEV GL GP LN3
dmax 0.0614 0.0642 0.1065 0.0621
Distribuzione G GAM K TCEV
dmax 0.0497 0.0821 0.0626 0.0663
Tabella 8.5. Distanze massime dalla bisettrice calcolate per ciascuna distribuzione testata.
Anche la Tabella 8.5 fornisce una conferma del fatto che le diverse distribuzioni producono risultati tra loro molto simili quando si considera il test di uniformità. Anche in questo caso il risultato può essere spiegato considerando i grafici in Figura 8.1 e in Allegato 1, che evidenziano come le 8 distribuzioni hanno comportamento molto simile nella parte centrale, corrispondente a tempi di ritorno medio-bassi.
RISULTATI DEL TEST DEL VALORE MASSIMO
Come spiegato in precedenza, si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica
B
. I risultati sono riportati in Figura 8.6.j/s
Figura 8.6. Funzione di frequenza empirica della statistica
B
del valore massimo calcolata, sulle97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Si nota chiaramente in Figura 8.6 che nessuna delle distribuzioni produce dei risultati particolarmente postivi in relazione a questo test. Infatti, tutte le curve di frequenza empirica risultano abbastanza distanti dalla bisettrice del diagramma, ed in particolare presentano con frequenza maggiore di quella attesa valori di
B
superiori a 0.5. Questo significa che le curve di crescita ottenute con L-coefficienti derivati dall’analisi multiregressiva tendono a sottostimare i valori massimi osservati. La sottostima risulta particolarmente rilevante per la distribuzione di Pareto e per la Gumbel.A supporto dell’analisi grafica di Figura 8.6, si riporta ancora in Tabella 8.6 il numero di casi in cui, per ciascuna distribuzione si ha :
-
B M0.95
, ossia si sottostima significativamente il massimo valore osservato;-
B F0.05
, ossia si sovrastima significativamente il massimo valore osservato.Distribuzione GEV GL GP LN3
B
< 0.05 3 3 4 4B
> 0.95 11 2 36 14Distribuzione G GAM K TCEV
B
< 0.05 4 4 3 4B
> 0.95 28 22 5 15Tabella 8.6. Numero di sovrastime (
B F0.05
) e di sottostime (B M0.95
) del massimo valoreosservato.
Anche Tabella 8.6 fornisce una conferma del fatto che le distribuzioni, ed in particolare la distribuzione di Pareto, la Gumbel e la Gamma, tendono a sottostimare frequentemente i valori massimi. Prima di passare, nel successivo paragrafo 8.4, a considerare la scelta della distribuzione, si analizzano i risultati ottenuti del caso di stima degli L-coefficienti con dati di portata massima giornaliera.
8.2.2.2 Stima dalla serie delle portate estreme giornaliere
I parametri delle distribuzioni considerate, vengono stimati a partire dagli L-momenti calcolati a partire dalle serie di portata estrema giornaliera e dai parametri geomorfologici dei bacini come descritto nel paragrafo 7.3.1 e 7.3.2. In particolare la stima di Lcv e di Lca viene effettuata, rispettivamente, mediante la relazione (7.3) e (7.4).
RISULTATI DEL TEST DI CRAMER VON-MISES
Si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica D2. I risultati sono riportati in Figura 8.7.
j/s
D
2Figura 8.7. Funzione di frequenza empirica della statistica D2 di Cramer von Mises calcolata, sulle
97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Per verificare quale, tra le distribuzioni considerate, si comporta meglio secondo il test di Cramer – von Mises si verifica quale delle curve in Figura 8.7 risulti più spostata a sinistra, ossia su valori più bassi della statistica D2. Anche in questo caso le 8 distribuzioni si comportano in maniera molto simile l’una all’altra. Si può anche verificare qual è la distribuzione che comporta il valore di D2 più basso per ogni stazione (Tabella 8.7).
Distribuzione GEV GL GP LN3
Ns 7 18 12 5
Distribuzione G GAM K TCEV
Ns 15 12 4 5
Tabella 8.7. Numero di stazioni in cui la distribuzione considerata restituisce il valore di D2 più
basso.
Tutte le distribuzioni considerate risultano ottime in almeno 4 stazioni, e le distribuzioni migliori secondo Tabella 8.7 risulterebbero la distribuzione di Gumbel e la distribuzione Logistica, anche se le differenze sono di scarsa entità.
Come prima, si può anche calcolare, per ciascuna distribuzione, il valore di D2
in corrispondenza della mediana. La distribuzione migliore sarà caratterizzata
dal 2 median
D
minore (Tabella 8.8). Distribuzione GEV GL GP LN3 2 medianD
0.103 0.107 0.117 0.103Distribuzione G GAM K TCEV
2
median
D
0.135 0.107 0.118 0.115Tabella 8.8. Valori di D2 valutati in corrispondenza della mediana.
Anche in questo caso si nota, come già in Figura 8.6, che anche nel caso delle stime con gli estremi giornalieri il test di Cramer von Mises non permette di identificare grandi differenze tra le 8 distribuzioni considerate. Complessivamente, i valori di
D
median2 ottenuti sono più bassi di quelli riscontrati in precedenza (Tabella 8.2), a testimonianza della maggiore qualità delle stime degli L-momenti rispetto a quelle ottenute con le tecniche multiregressive.RISULTATI DEL TEST DI ANDERSON - DARLING
Si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica A2. I risultati sono riportati in Figura 8.8.
Il diagramma in Figura 8.8 è abbastanza difficile da leggere, a causa di alcuni valori di A2 molto elevati. Conviene in questo caso riferirsi ai risultati delle Tabelle 8.9 ed 8.10. In Tabella 8.9 si riporta il Numero di stazioni in cui la distribuzione considerata restituisce il valore di A2 più basso.
A
2j/s
Figura 8.8. Funzione di frequenza empirica della statistica A2 di Anderson-Darling calcolata, sulle
97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Distribuzione GEV GL GP LN3
Ns 1 15 1 3
Distribuzione G GAM K TCEV
Ns 30 6 8 5
Tabella 8.9. Numero di stazioni in cui la distribuzione considerata restituisce il valore di A2 più
basso.
Dalla Tabella 8.9 risulta che la distribuzione di Gumbel si comporta meglio delle altre secondo la statistica di Anderson-Darling.
Calcolando il valore di A2 in corrispondenza della mediana si ottengono i risultati in Tabella 8.10.
Distribuzione GEV GL GP LN3
2
median
A
0.580 0.511 3.298 0.844Distribuzione G GAM K TCEV
2
median
A
0.658 2.243 0.882 0.786La Tabella 8.10 dimostra che la distribuzione di Pareto e la Gamma non sembrano appropriate a descrivere i campioni disponibili, mentre le altre si comportano circa allo stesso modo per quanto riguarda la statistica 2
median
A
.Anche per il test di Anderson-Darling i valori di
A
median2 ottenuti sono più bassi di quelli riscontrati in precedenza (Tabella 8.5).RISULTATI DEL TEST DI UNIFORMITA’
Come in precedenza, il diagramma in Figura 8.9 riporta in ascissa le variabili trasformate secondo l’equazione (8.4), ed in ordinata le corrispondenti frequenze empiriche.
Figura 8.9. Funzione di frequenza empirica della statistica Fi di equazione (8.4) calcolata, sui
3156 dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Anche con il test di uniformità le diverse distribuzioni producono risultati molto simili. Per provare a distinguere più accuratamente le distribuzioni, si è calcolata la massima distanza delle singole curve dalla bisettrice (Tabella 8.11).
Distribuzione GEV GL GP LN3
dmax 0.0428 0.0459 0.0904 0.0496
Distribuzione G GAM K TCEV
dmax 0.0656 0.0858 0.0596 0.0501
Tabella 8.11. Distanze massime dalla bisettrice calcolate per ciascuna distribuzione testata.
Anche la Tabella 8.11 fornisce una conferma del fatto che le diverse distribuzioni producono risultati tra loro molto simili quando si considera il test di uniformità.
RISULTATI DEL TEST DEL VALORE MASSIMO
Come spiegato in precedenza, si diagramma, per ognuna delle 8 distribuzioni, la funzione di frequenza empirica della statistica
B
(Figura 8.10).j/s
Figura 8.10. Funzione di frequenza empirica della statistica
B
del valore massimo calcolata,sulle 97 stazioni con dati disponibili, per le 8 distribuzioni considerate nel lavoro.
Come nel caso delle stime da analisi multiregressiva, nessuna delle distribuzioni produce dei risultati particolarmente positivi, in quanto tutte le curve di frequenza empirica risultano abbastanza distanti dalla bisettrice del
diagramma. In questo caso le deviazioni verso il basso (ossia la tendenza alla sottostima) sembrano essere meno marcate che in precedenza (Figura 8.6), ma la sottostima rimane rilevante in particolare per le distribuzioni di Pareto e di Gumbel.
A supporto dell’analisi grafica di Figura 8.10, si riporta ancora in Tabella 8.12 il numero di casi in cui, per ciascuna distribuzione si ha :
-
B M0.95
, ossia si sottostima significativamente il massimo valore osservato;-
B F0.05
, ossia si sovrastima significativamente il massimo valore osservato.Distribuzione GEV GL GP LN3
B
< 0.05 2 1 2 1B
> 0.95 4 3 18 4Distribuzione G GAM K TCEV
B
< 0.05 1 1 1 1B
> 0.95 20 11 6 7Tabella 8.12. Numero di sovrastime (
B F0.05
) e di sottostime (B M0.95
) del massimovalore osservato.
Escludendo le distribuzioni di Gumbel, di Pareto e la distribuzione Gamma, che tendono a sottostimare frequentemente i valori massimi, le altre distribuzioni sembrano comportarsi abbastanza bene in questi casi, con un numero di sottostime che si avvicina al valore atteso (4.85). Nel successivo paragrafo 8.3 si completa il confronto tra le 8 distribuzioni, andando a selezionare quella che si ritiene più appropriata. Si noti che, per scegliere la distribuzione più adatta all’analisi regionale, non si è considerato il caso in cui gli L-momenti sono stimati dai dati empirici di portata al colmo, perché in tal caso l’analisi di frequenza non è più un’analisi regionale ma diventa un’analisi at site.