Schema di interazione

Ricapitolando quindi nello schema di Schroedinger gli operatori e quindi anche i loro autovalori e autovettori sono fissati mentre gli stati evolvono con l’hamiltonia rispondendo all’equazione di Schroedinger

|ψ_ti = e^−iHt~ |ψ₀i i~^{d |ψi}

dt ^{= H |ψi}

con per esempio nel caso dell’operatore posizione ˆX |xi = x |xi. Ricordiamo che quando si passa dalla rappresenzaione astratta dei ket a quella delle funzioni d’onda (hx|ψi) la derivata da totale passa a parziale perch`e la funzione d’onda dipende da x e t.

i~^{∂ψ(x, t)}

∂t ^{= Hψ(x, t)}

Nello schema di Heisemberg gli stati rimangono congelati mentre operatori e relativi autovettori evolvono con H.

|x, ti = e^iHt~ |xi_s X(t) = e^{ˆ iHt}~ _Xˆ

se^−iHt~

Se ci chiediamo qual `e la probabilit`a di trovare una particella di Hei-semberg questa `e

H hx, t|ψ₀i = _shx|e^−iHt~ |ψ₀i

Allora se parliamo di funzioni d’onda e quindi di osservabili la dif-ferenza fra le due modellizzazioni scompare.

Quello che serve a noi `e un terzo schema quello di interazione in cui come vedremo sar`a di gran lunga pi`u semplice fare i conti. In questo schema l’hamiltoniana `e formata da una hamiltoniana che sappiamo risolvere esattamente pi`u da una piccola di interazione; la trasformazio-ne unitaria di evolvuziotrasformazio-ne temporale ha solo H₀ e quindi sia stati che operatori assumono una dipendenza dal tempo². Quindi abbiamo che gli operatori si trasformano semplicemente e assumono una dipendenza dal tempo:

As(t) = e^iH0t

Ase^iH0t

con H = H0 + HI

Mentre per i vettori `e pi`u complicato infatti |ψ, ti_I = e^iH0t|ψ, ti_s |ψ, ti_I = e^iH0t

e^−iHt|ψ₀i ma ora stiamo trattando operatori quantistici e quindi

e^−i(H0+H_I)t 6= e^−iH0te^iHIt

Vediamo quindi che succede se inseriamo |ψ, ti_I nell’equazione di Schroe-dinger

= i^d

dt|ψ, ti_I = HI(t) |ψ, ti_I ↓

• La derivata a sinistra `e applicata ad una quantit`a composta quindi diventa: d dt|ψ, ti_I = −H₀e^iH0te^−Ht|ψ₀i + e^iH0tHe^−Ht|ψ₀i = = −H₀e^iH0te^−Ht|ψ₀i + e^iH0tH₀ | {z } commutano e^−Ht|ψ₀i + e^iH0tH_Ie^−Ht|ψ₀i = = e^iH0t H_Ie^−Ht|ψ₀i • mentre il termine a destra si esplicita come:

HI(t) |ψ, ti_I = e^iH0t HIe^−iH0t | {z } HI(t) e^iHt|ψ_ti_s | {z } |ψti_I 2

Il vettore che segue il moto naturale ha: −i^{d |ψti}I dt ^{= e} iH₀t HIe^−iHt |ψ₀i |{z} |ψ,ti_s = HI(t) |ψ, ti_I

Questa `e una equazione molto complicata da risolvere, se per`o l’ha-miltoniana di interazione `e piccola posso approssimare la soluzione alla soluzione iniziale pi`u pezzi sempre pi`u piccoli.

i ^d dt|ψ_ti = H_I(t) |ψ_ti ^integriamo−→ |ψ_ti − |ψ₀i = −i Z t 0 H_I(t⁰) |ψ_t0i dt⁰ |ψ_ti = |ψ₀i−i Z t 0 H_I(t⁰) |ψ_t0i dt⁰ = |ψ₀i |{z} Ordine 0 − i Z t 0 H_I(t⁰) |ψ₀i dt⁰ | {z } O(1) − Z t 0 dt⁰ Z t⁰ 0 dt⁰⁰H_I(t⁰)H_I(t⁰⁰) |ψ_ti | {z } O(2)

e cos`ı via iterativamente si pu`o sostituire la soluzione e fermarsi all’or-dine di accuratezza voluto. La potenza del metodo `e che a qualsiasi ordine mi fermo ho i mezzi per calcolare gli integrali infatti in questi compare ψ₀ che conosco. Possiamo riscivere in forma compatta come: |ψ_ti = |ψ₀i− ∞ X n=1 (−i)ⁿ Z t 0 dt1·· Z tn−1 0 dtnHI(t1)··HI(tn) |ψ0i con t ≥ t1 ≥ ...t_n−1 ≥ t_n Decido l’ordine a cui fermarmi e tutti i termini sono calcolabili;

anche le HI le conosco essendo le H di interazione di campi liberi. Ora introduciamo il time ordering T, anche chiamato T prodotto, che dato un prodotto mette a destra i termini con il tempo minore:

|ψ_ti = |ψ₀i − ∞ X n=1 (−i)ⁿ Z t 0 dt₁ · · Z t_n−1 0 dt_nT [H_I(t₁) · ·H_I(t_n)] |ψ₀i Nel nostro caso non cambia nulla essendo le H_I gi`a ordinate, tuttavia adesso la quantit`a `e simmetrica per scambio di due integrali e posso estendere tutti gli integrali da 0 a t dividendo per un fattore _n!¹

|ψ_ti = |ψ₀i − ∞ X n=1 (−i)ⁿ n! Z t 0 dt₁ · ·dt_nT [H_I(t₁) · ·H_I(t_n)] |ψ₀i

Vediamo esempi di come si possono calcolare queste grandezze all’in-terno della teoria dell’elettrodinamica quantistica. In genere nei proces-si di scattering proces-si fa tendere a −∞ il tempo iniziale. Dobbiamo inoltre far collassare il generico stato finale dell’interazione in uno degli stati che vogliamo osservare³, e facciamo evolvere il sistema con l’operatore di evoluzione. L’operatore di evoluzione `e fatto nel seguente modo:

|ψ_ti = U (t, t₀) |ψ0i U (t, t₀) = I + ∞ X n=1 (−i)ⁿ n! Z t t0 dt₁· · · dt_nT [H_I(t₁), · · · , H_I(t_n)] Ipotizzando che la situazione di partenza sia: t₀ → −∞ e t → ∞:

|ψ_∞i = U (−∞, ∞) |ψ_−∞i

Se vogliamo rivelare uno stato che alla fine ha due fotoni basta calcolare l’elemento di matrice:

hγγ|U (−∞, ∞)|ψ_−∞i

Il propagatore tra −∞ e ∞ `e detto matrice di scattering, e si indica con la lettera S S = I + ∞ X n=1 (−i)<sup>n</sup> n! Z ∞ −∞ dt<sub>1</sub>· · · dt<sub>n</sub>T [H<sub>I</sub>(t<sub>1</sub>), · · · , H<sub>I</sub>(t<sub>n</sub>)] (5.1) S `e un operatore unitario. Ha una forma suggestiva che pu`o essere condensata in notazione: S = T  exp  −i Z ∞ −∞ HI(t)dt 

Adesso abbiamo gli strumenti per poter calcolare i processi di elet-trodinamica quantistica. Manca da trovare l’espressione dell’hamilto-niana di interazione.

3Se vogliamo osservare un processo di scattering compton ci aspettiamo sia all’inizio che alla fine stati con un elettrone e un fotone, bisogna proiettare quindi l’evoluzione finale su questo stato per ottenere una grandezza fisica sensata.

Per ricavare l’hamiltoniana di interazione vediamo prima un esempio pi`u semplice, prendiamo una particella che interagisce con un campo elettromagnetico esterno, ingorando per ora la back reaction⁴.

L’esempio migliore `e lo scattering Rutherford dell’elettrone sui nu-clei: trascuriamo il fatto che sia nucleo che elettrone potrebbero emet-tere fotoni. Qual `e l’hamiltoniana di interazione del sistema? I gradi di libert`a sono elettronici e positronici, mentre il campo elettromagne-tico esterno l’abbiamo preso fisso. La Lagrangiana si ottiene variando l’azione solo per i campi ψ fermionici, mentre il campo A rimane fisso.

iγ⁰∂₀ + i∂ⁱγ_i − m
ψ = 0

Per passare in elettrodinamica ocorre sommare all’impulso il potenziale vettore:

i∂_µ → i∂_µ− eA_µ

Per cui l’equazione che il campo fermionico soddisfa `e:

(iγ^µ∂_µ − eγ^µA_µ− m) ψ = 0 Moltiplichiamola per γ₀:

iγ⁰γ^µ∂_µ − eγ⁰γ^µA_µ− γ⁰m
ψ = 0 h

i∂₀ + i~α · ~∇ − e A₀ + αⁱA_i
− mβⁱψ = 0

Da questa espressione usando il principio di minima azione si pu`o ricavare la forma della lagrangiana:

L = ¯ψ i /∂ − m
ψ − e ¯ψ /Aψ

Questa lagrangiana `e invariante per trasformazioni di fase in assenza di campo magnetico. Quando introduciamo un A non nullo, le trasfor-mazioni di fase sono vincolate dall’invarianza di Gauge di A. Questa lagrangiana esibisce una invarianza di Gauge:

e^−iα(x)ψ^¯_ψ¯0 i /∂ − m
eiα(x)ψ_ψ0

4La back reaction `e la reazione della particella al campo magnetico, ossia come questa particella modifica a sua volta i campi.

Se alpha `e dipendente dalla posizione la derivata /∂ porta in evidenza un fattore α, annullando la normale invarianza di fase:

¯

ψ⁰ i /∂ − m
ψ0

= ¯ψ i /∂ − m
ψ − ∂_µα ¯ψγ^µψ

Al cambiamento di fase occorre introdurre un cambiamento di Gauge opportuno che mi annulli il termine aggiuntivo:

A^µ0 = A^µ+ ∂^µΛ

Questa trasformazione ci permette di introdurre un interazione Gau-ge invariane.

δ Z

d⁴xL(x) = 0 i /∂ − m
ψ − e /Aψ = 0

La lagrangiana di interazione `e molto semplice. Possiamo ricavare l’hamiltoniana: H = Z  ˙ Φ^∂L ∂ ˙Φ − L  d³x Z d³x  ˙ ΦL₀ ˙ Φ − L₀ − L_I 

Se la lagrangiana `e composta da un termine imperturbato L<sub>0</sub> e un ter-mine di interazione L<sub>I</sub> che non dipende dalle derivate ei campi allora anche l’hamiltoniana pu`o essere separata in due hamitltoniane:

H = H₀ + H_I Dove H_I `e dato da:

HI = − Z

d³xLI = +e Z

d³x ¯ψ /Aψ Ora possiamo scrivere la formula di Dyson:

S = I − ie Z ∞ −∞ dt₁ Z ¯ ψ /Aψd³x = I − ie Z ∞ −∞ d⁴x ¯ψ /Aψ

Il primo processo che analizzeremo sar`a il processo di diffusione a partire da un campo esterno, ψ e ¯ψ sono campi di Dirac. A il campo

esterno del sistema. In questo processo analizzeremo lo scattering di un nucleo di carica −Ze. Il campo coulombiano `e:

A₀(x) = ^Z|e|

4π|~x| ^{Ai(x) = 0}

Il campo elettrico classico `e dato dal gradiente del potenziale ~

E = − ~∇A₀

Lo stato iniziale lo otteniamo creando dal vuoto un elettrone:

b⁺_r(~p) |0i

Nello stato finale avremo ancora un elettrone:

b⁺_r(~k) |0i

Dobbiamo calcolare l’elemento di matrice tra stato iniziale e stato finale, che `e la quantit`a che entra in gioco per il calcolo della sezione d’urto del processo.

| h0|b_r(~k)Sb⁺_r(~p)|0i |²