Schema di filtraggio utilizzato per il controllore DMPC non cooperativo

Per lo schema di controllo DMPC non cooperativo sono stati implementati tre filtri di Kalman, uno per ogni sottosistema in cui si è deciso di suddividere il sistema complessivo, come presentato in Figura 4.8.

Figura 4.8: Schema output-feedback per i controllori DMPC non cooperativi

Si noti che, sebbene lo schema presentato in Figura 4.8 sia molto simile a quelli proposti delle Figure 4.6 e 4.7, esso si differenzia per la quantità delle informazioni che vengono scambiate dai regolatori realizzati. Nel caso decentralizzato i controllori e gli stimatori non scambiano alcuna informazione tra di loro, mentre nel caso del controllore distribuito cooperativo i controllori e gli stimatori realizzati si scambiano tra di loro tutte le informazioni in modo bidirezionale, attraverso un topologia di comunicazione all-to-all. Ogni controllore DMPC non cooperativo, invece, scambia informazioni solo con i sottosistemi definiti vicini. Infatti le stime dei vettori di stato 𝑥̅2(𝑘) e 𝑥̅3(𝑘) sono ottenute fornendo in ingesso ai rispettivi filtri di Kalman

anche la stima 𝑥̅₁(𝑘), in aggiunta alle variabili di uscita 𝑦2(𝑘) e 𝑦3(𝑘) e ai valori delle variabili

di controllo 𝑢2(𝑘) e 𝑢3(𝑘).

Per il sottosistema 𝒮1 è possibile realizzare un filtro di Kalman locale a partire dalle equazioni

(4.20), (4.21), (4.22), (4.23), mentre si riportano per maggior chiarezza le equazioni utilizzate per l’implementazione dei filtri locali per i sottosistemi 𝒮₂ e 𝒮₃:

𝑃̃_𝑖(𝑘|𝑘 − 1) = 𝐴_𝑖𝑖𝑃̅_𝑖(𝑘 − 1|𝑘 − 1)𝐴_𝑖𝑖′+ 𝑄_𝑖,𝑘 𝐿_𝑖(𝑘) = 𝑃̃𝑖(𝑘|𝑘 − 1)𝐶𝑖𝑖′(𝐶𝑖𝑖𝑃̃𝑖(𝑘|𝑘 − 1)𝐶𝑖𝑖′ + 𝑅𝑖,𝑘) 𝑃̅𝑖(𝑘|𝑘) = 𝑃̃𝑖(𝑘|𝑘 − 1) − 𝐿𝑖(𝑘)𝐶𝑖𝑖𝑃̃𝑖(𝑘|𝑘 − 1) 𝑥̅𝑖(𝑘|𝑘) = 𝐴𝑖𝑖𝑥̅𝑖(𝑘 − 1|𝑘 − 1) + 𝐵𝑖𝑖∗𝑢𝑖∗(𝑘 − 1) + + 𝐿_𝑖(𝑘) (𝑦_𝑖(𝑘) − 𝐶_𝑖𝑖(𝐴_𝑖𝑖𝑥̅_𝑖(𝑘 − 1|𝑘 − 1) + 𝐵_𝑖𝑖∗_𝑢 𝑖∗(𝑘 − 1))) dove: 𝐵_𝑖𝑖∗ = [𝐴𝑖1 𝐵𝑖𝑖] 𝑢_𝑖∗(𝑘) = [𝑥̅1(𝑘) 𝑢_𝑖(𝑘)]

Si noti che la definizione della matrice 𝐵_𝑖𝑖∗ e del vettore 𝑢_𝑖∗(𝑘) permette di considerare la stima dello stato 𝑥̅₁(𝑘) come un ingresso addizionale dei sottosistemi 𝒮2 e 𝒮3. Tale stima viene quindi

utilizzata dai filtri di Kalman, realizzati per i controllori 𝒞₂ e 𝒞₃, per la stima dei vettori 𝑥̅₂(𝑘) e 𝑥̅3(𝑘).

Capitolo 4: Schemi di controllo predittivo 92

4.6 Simulazioni

Si propone una fase di analisi preliminare degli schemi di controllo proposti, a cui seguirà nel capitolo 5 un’indagine più dettagliata e realistica svolta in ambiente DynSim.

Il sistema da controllare è descritto dal modello identificato per il regolatore MPC centralizzato, in modo tale da tenere in considerazione tutte le interazioni tra i diversi sottosistemi. La bontà delle prestazioni dei diversi schemi di controllo, simulati in ambiente Simulink, è valutata imponendo delle condizioni iniziali non nulle alle variabili di stato, equivalenti a un disturbo all’istante 𝑘 = 0. Per ogni controllore si è valuta la velocità e la capacità di reiezione al disturbo imposto. Tale disturbo è scelto in modo che le variabili d’uscita 𝑦(𝑘) assumano all’istante 𝑘 = 0 valori prossimi alle condizioni nominali, come espresso nella Tabella 4.1. Di seguito, in Figura 4.9, sono presentati gli andamenti delle variabili d’ingresso ottenuti con la simulazione descritta, mentre in Figura 4.10 sono presentati gli andamenti delle variabili d’uscita.

Tabella 4.1: Condizioni iniziali della simulazione in ambiente Simulink

y11 y21 y12 y13

Valore nominale 0.5 4100 258.15 0.5

Valore iniziale 0.6 4150 260.15 0.4

Variazione 0.1 50 2 -0.1

Capitolo 4: Schemi di controllo predittivo 94

Figura 4.10: Andamento delle variabili d’uscita in ambiente Simulink

Come evidenziato dalle Figure 4.9, 4.10 tutti gli schemi di controllo proposti riescono a riportare l’impianto nella condizione di equilibrio. Si noti come, con particolare riferimento alle variabili d’uscita, i controllori analizzati esibiscano prestazioni sostanzialmente equivalenti. Si noti però come, con particolare riferimento all’uscita s8.T (𝑦₁₂), il controllore MPC decentralizzato abbia prestazioni molto buone, se confrontate con quelle ottenibili con gli altri schemi di controllo. Queste prestazioni risultano inattese poiché il controllore decentralizzato non permette, a causa dell’intrinseco errore di modello usato per calcolare l’azione di controllo, di ottenere la proprietà di ottimalità globale. Per verificare che le incoerenze riscontrate siano solo apparenti e dovute principalmente alle differenti tarature11 _{degli schemi di controllo}

studiati, è stata effettuata un’analisi più precisa.

11 _{Con il termine taratura si intende, ad esempio, la definizione della matrici di peso sul controllo e sugli stati, della}

A tal fine, si introduce la cifra di costo che verrà calcolata per ogni schema di controllo analizzato in questa Tesi:

𝐿(𝑥̅(𝑘), 𝑢(𝑘)) = ‖𝑥̅(𝑘)‖_𝑄2 + ‖𝑢(𝑘)‖_𝑅2

dove 𝑢(𝑘) è il vettore degli ingressi al sistema 𝒮, calcolato utilizzando uno dei sistemi di controllo studiati, mentre 𝑥̅(𝑘) è la corrispondente stima dello stato ottenuta attraverso uno schema di filtraggio centralizzato del tutto analogo a quello presentato in Figura 4.4. Lo schema a cui si è fatto ricorso per questa analisi è riportato in Figura 4.11.

Figura 4.11: Schema per il confronto prestazionale

Si introduce ora il funzionale di costo:

𝐽̅ = 1

𝑇_𝑒𝑛𝑑 ∑ 𝐿(𝑥̅(𝜏), 𝑢(𝜏))

𝑇𝑒𝑛𝑑

𝜏=1

In Tabella 4.2 sono sintetizzati i risultati ottenuti, evidenziando il valore del funzionale di costo 𝐽̅ ottenuto per i diversi schemi di controllo, mentre in Figura 4.12 sono riportati gli andamenti della cifra di costo 𝐿(𝑥̅(𝑘), 𝑢(𝑘)) nel tempo.

MPC centralizzato MPC decentralizzato DMPC cooperativo DMPC non cooperativo Valore medio 213.88 266.26 214.76 1.73∙103

Capitolo 4: Schemi di controllo predittivo 96

Figura 4.12: Andamento nel tempo della cifra di costo 𝐿(𝑥̅(𝑘), 𝑢(𝑘))

Da questi risultati è possibile apprezzare un lieve miglioramento delle prestazioni del controllore centralizzato. Per migliorare ulteriormente le prestazioni di tale controllore si potrebbe ridefinire il funzionale di costo ad esso associato 𝑉(𝑥(𝑘), 𝑢(𝑘: 𝑘 + 𝑁 − 1)) utilizzando, ad esempio, matrici di peso 𝑄 e 𝑅 non diagonali al fine di ottenere una taratura che lo renda più performante. Tale taratura non viene presa in considerazione in questa trattazione. È utile notare che, mentre nel caso del controllori MPC centralizzato, MPC decentralizzato e DMPC cooperativo il funzionale di costo 𝐽̅ risulta coerente (con le dovute differenze) al funzionale di costo minimizzato dal sistema di controllo per ottenere l’ingresso ottimale 𝑢(𝑘), nel caso del controllore non cooperativo robusto il funzionale di costo è differente, in quanto la rappresentazione di stato differisce in parte da quella utilizzata per gli altri regolatori. Tale considerazione giustifica il valore ottenuto per tale strategia di controllo, che nonostante le soddisfacenti prestazioni, risulta decisamente elevato.

Capitolo 5