Nel mondo della finanza è piuttosto frequente osservare come gli investitori tendano a non concentrare la propria ricchezza in un solo titolo, preferendo al contrario detenere una ricchezza distribuita su più titoli. Un comportamento simile risponde ad una prescrizione di buon senso, secondo la quale non è opportuno tenere “tutte le uova in uno stesso cestino”. Il comportamento degli investitori fa riferimento alle possibilità di considerare l’analisi rischio-rendimento associata ad ogni portafoglio finanziario. I precetti teorici di questi comportamenti derivano dagli studi di Harry Markowitz, che per la prima volta, nell’articolo “Portfolio Selection” pubblicato nel 1952 sul “Journal of Finance” scrive della selezione di un portafoglio tenendo conto sia del rendimento atteso che del rischio. Per tale pubblicazione ed i suoi studi successive, Markowitz ricevette nel 1990 il premio Nobel per l’economia.
Prima di Markowitz l’unico indicatore utilizzato per la scelta di un titolo rispetto ad un altro era quello della “media”. Attraverso il criterio della media si sceglieva il titolo in base alla media dei rendimenti passati. Sostanzialmente il “criterio della media” considera la massimizzazione della media, che viene quindi utilizzata come misura di performance di attività rischiose.
Questo criterio tuttavia non tiene conto in alcun modo del rischio. Un soggetto che scelga in base a questo criterio dovrebbe essere completamente indifferente al rischio. Per soddisfare le esigenze della maggior parte degli investitori, i quali sono avversi al rischio, è necessario tener conto nella scelta di investimento anche di una misura che quantifichi il rischio stesso.
L’intuizione di Markowitz è stata quella di utilizzare la varianza, indicatore statistico di variabilità, come misura di rischio delle attività finanziarie. Più elevata è la varianza di un titolo, più tale titolo è rischioso e viceversa.
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Il metodo di creazione di un portafoglio alla Markowitz si fonda sulle seguenti ipotesi:
1) Gli investitori formano il portafoglio sulla base del rendimento medio atteso e del rischio atteso.
2) L’orizzonte temporale è uniperiodale. 3) Gli investitori sono avversi al rischio128
4) I costi di transazione e le imposte sono nulli, le attività sono perfettamente divisibili
5) Il mercato è perfettamente concorrenziale 6) Gli investitori sono price-taker
Dalla prima e dalla terza ipotesi elencate è implicito il principio della “Media-Varianza”. Tale principio sancisce che tra due strategie di investimento sia preferibile quella che presenta maggior rendimento atteso e minor deviazione standard129.
Dati due portafogli X e Y, il portafoglio X domina quello Y se:
𝐸(𝑟𝑥) ≥ 𝐸(𝑟𝑦) e
𝜎
𝑥≥ 𝜎
𝑦con almeno una disuguaglianza forte. Con E(-) si indica il valore atteso del rendimento di X e Y, con σ invece, viene indicata la deviazione standard di X e Y.
128 L’avversione al rischio è la preferenza di un agente economico per un ammontare certo più
che per uno aleatorio. Più precisamente, l’agente preferisce ricevere il valore atteso di una variabile aleatoria (ad esempio una lotteria) rispetto al valore che la variabile può assumere.
129 Il principio è conosciuto come quello di “media-varianza” perché nel suo articolo, Markowitz
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Per esemplificare il funzionamento del metodo “media-varianza” si procede con alcuni esempi:
Nel grafico dell’esempio 1 nell’asse delle ascisse viene indicata la deviazione standard in quello delle ordinate invece il rendimento.
Il portafoglio A ha un rendimento maggiore ed una varianza inferiore rispetto al portafoglio B (formato dal solo titolo B). Il portafoglio A quindi domina il portafoglio B secondo il criterio “Media-Varianza”.
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Nell’esempio 2 il portafoglio A ha lo stesso valore atteso del portafoglio C, ma ha una deviazione standard inferiore. Anche in questo caso A domina C secondo il criterio “Media-Varianza”.
Nell’esempio 3 i portafogli A e D hanno la stessa deviazione standard, ma A presenta un valore atteso superiore di D. Anche in questa circostanza, secondo il criterio “media- varianza” A domina D.
Il criterio “media-varianza” non offre soluzioni nelle situazioni nelle quali vi sia un titolo che abbia nei confronti di un altro un valore atteso e una deviazione standard superiori o inferiori. In situazioni come queste la scelta su quale dei due investire dipenderà quindi dalla propensione al rischio dell’investitore.
Un ragionamento analogo a quello appena fatto può essere sviluppato in una situazione nella quale venga considerato un portafoglio formato da più titoli anziché da solo uno. Passiamo ora all’analisi di un portafoglio. Il suo valore atteso è dato dalla somma dei valori attesi dei singoli titoli moltiplicata per la percentuale di portafoglio investita in tale
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titolo. Sostanzialmente è sufficiente calcolare media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli:
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Discorso diverso va invece fatto per la stima del rischio di portafoglio. Esso non può essere calcolato sommando la deviazione standard dei singoli titoli moltiplicata per la ponderazione del titolo nel portafoglio. Calcolando il rischio in questo modo non si terrebbe conto dell’effetto diversificazione.
Per il calcolo della volatilità di un portafoglio è necessario richiamare all’indicatore statistico noto come coefficiente di correlazione lineare (ρ). Attraverso la correlazione è possibile capire in che modo varia il rendimento di un’attività finanziaria al variare del rendimento di un’altra.
Se si prende a riferimento il caso particolare di un portafoglio a due titoli, la varianza e la standard deviation sono rispettivamente definite dalle seguenti formule:
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La correlazione lineare (
ρ
) viene calcolata come:132
130 Dove Xt è il peso del singolo titolo nel portafoglio.
131 La varianza e la deviazione standard possono essere scritte come nelle formule.
132 La correlazione è data dal rapporto tra covarianza dei due titoli/portafogli considerati e il
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La correlazione è un valore compreso tra -1 e +1. Qualora il valore della correlazione sia +1 vuol dire che i due asset sono perfettamente correlati tra di loro. In questa situazione non vi è alcun beneficio di diversificazione nell’avere di asset così correlato. Se il valore della correlazione è compreso tra 0 e +1 i due asset sono correlati positivamente; il beneficio di diversificazione cresce al decrescere del coefficiente di correlazione. Nel caso in cui ρ sia uguale a -1 i due asset sono perfettamente correlati negativamente; in questa circostanza vi è la massima espressione di diversificazione. Analogamente in situazioni nelle quali il coefficiente di correlazione sia compreso tra -1 e 0 vi è una correlazione negativa sempre più marcata al diminuire del valore di ρ.
Si procede con alcuni esempi:
Sono dati due titoli α e β con correlazione tra di loro uguale ad 1, 𝜌𝛼,𝛽=1. I due titoli non
si dominano l’un l’altro secondo il criterio media-varianza. La situazione descritta viene rappresentata dal seguente grafico. Nell’asse delle ascisse è riportata la deviazione standard di un titolo, in quella delle ordinate invece si riporta il valore atteso del rendimento.
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I punti tra α e β rappresentano invece i portafogli formati da una combinazione lineare di investimento nel titolo α ed in quello β. Nel caso esaminato, in cui sono vietate le vendite allo scoperto, essendo la correlazione tra i due titoli uguale ad 1, nessuno dei portafogli possibili domina o è dominato da un altro portafoglio secondo il criterio media-varianza. In sostanza tutti i portafogli sono efficienti. L’insieme dei portafogli fattibili e quello dei portafogli efficienti coincidono.
Si procede ora con l’analisi della situazione nella quale i due titoli α e β abbiano una correlazione 𝜌𝛼,𝛽<1.
GRAFICO 3.5
In questa circostanza le combinazioni rischio-rendimento assumono la seguente configurazione. Quando il coefficiente di correlazione è minore di 1 le combinazioni dei portafogli α e β assumono una forma curvilinea ad iperbole. A differenza del caso precedente non tutti i portafogli possibili sono anche portafogli efficienti. Il tratto 𝛼𝛽̂ rappresenta l’insieme dei portafogli possibili, 𝛼𝐻̂ l’insieme dei portafogli dominati mentre il tratto curvo 𝐻𝛽̂ rappresenta l’insieme dei portafogli efficienti, la cosiddetta “frontiera efficiente”. In una situazione del genere iniziano ad osservarsi i primi effetti
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benevoli della diversificazione. Come si può vedere dal grafico, in una situazione come questa vi è una contrazione del rischio.
L’ultima situazione, che viene rappresentata nel grafico 3.6, è quella nella quale vi sia una correlazione tra i due titoli di -1.
GRAFICO 3.6
Nel caso di correlazione -1 i benefici ottenuti dalla diversificazione sono massimi. Come caso estremo si ottiene la situazione nella quale vi è un portafoglio F a rischio nullo. 𝐹𝛽̅̅̅̅ rappresenta la frontiera efficiente.
Il portafoglio ottimo per un investitore è quel portafoglio, appartenente alla frontiera efficiente, per il quale l’investitore ottimizza la propria utilità attesa.
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