Settore del gravitone - Orbifold vs Boundary Vector

3.5 Orbifold vs Boundary Vector

4.1.2 Settore del gravitone

Analizziamo, prima di tutto, il settore del gravitone, che `e di tipo NS-NS ed `e individuato dal boundary vector nullo. Scriviamo il proiettore totale su questo settore cos`ı:

P₍₀₎= U0P0 (4.32) dove U0 = 1 2 I + (−1) 1·F 1 2 I − (−1) γ+·F 1 2 I − (−1) γ−·F (4.33) `e la parte universale del proiettore, corrispondente alla teoria N = 8. La parte dipendente dal modello, invece, `e data da:

P0 = K Y i=1 1 2 I + δγi(−1) γi·F (4.34) che, nei due casi che stiamo discutendo, ha la seguente faccia:

P₀(N =6) = 1₂ I − (−1)γ1(N =6)·F P₀(N =4) = 1₂I + (−1)γ1(N =4)·F (4.35)

Secondo la formula di massa, gli stati massless in questo settore sono caratterizzati dai numeri di occupazione N = ˜N = 1/2; quindi abbiamo a che fare con stati eccitati (primo livello) creati a partire da vuoti di Neveu-Schwarz. Perci`o, su questi stati avremo:

1 · F = 0 (mod 2) γ+· F = 1 (mod 2) γ−· F = 1 (mod 2) (4.36)

che dipendono (ad esempio per la parte di spazio-tempo) dai contributi di entrambi gli operatori ψ_−1/2µ ψµ1/2 e ˜ψ−1/2µ ψ˜µ1/2, o solo da quello di uno dei due. Grazie a queste relazioni, `e evidente

4.1. SETTORI UNIVERSALI 93

che U0, nella (4.33), si riduce all’identit`a; la teoria `e la N = 8 e gli operatori di vertice rilevanti

in questo settore sono:

Vµν_{(z, ¯}_{z, k)} ₌ _2eiπ/4_eφ(z)_ψµ_(z)2eiπ/4_eφ(¯˜z)_ψ˜ν_(¯_z)eik·X(z,¯z) _gravitone

VµX(z, ¯z, k) = 2eiπ/4eφ(z)ψµ(z)2eiπ/4eφ(¯˜z)Ψ˜X(¯z)eik·X(z,¯z) gravifotoni VXµ_{(z, ¯}_{z, k)} ₌ _2eiπ/4_eφ(z)_ΨX_(z)2eiπ/4_eφ(¯˜z)_ψ˜µ_(¯_z)eik·X(z,¯z) _gravifotoni

VXY(z, ¯z, k) = 2eiπ/4eφ(z)ΨX(z)2eiπ/4eφ(¯˜z)Ψ˜Y(¯z)eik·X(z,¯z) graviscalari

(4.37)

Gli stati fisici emessi da questi vertici sono il gravitone gµν(X), l’assione Bµν(X), il dilatone

Φ(X), i 6 ⊕ 6 = 12 gravifotoni AX_µ(X) e ˜AX_µ(X), 6 ⊗ 6 = 36 graviscalari che parametrizzano il coset-manifold

SO(6, 6) SO(6) ⊗ SO(6)

cio`e lo spazio dei moduli della compattificazione toroidale su T6. Ma se teniamo in conto che, in 4 dimensioni (e solo in 4!!), la 2-forma Bµν(X) `e dualizzabile a scalare4, ci accorgiamo che

essa, insieme al dilatone, parametrizza un altro coset, SL(2, R)

SO(2)

conseguenza del fatto che il solito gruppo di S-dualità O(1, 1) è promosso, in 4 dimensioni, al gruppo SL(2, R). In tutto, i 38 scalari di NS-NS, come già abbondantemente visto nel capitolo 2 da un’altra prospettiva, parametrizzano il coset

MN =8_(moduli) = SL(2, R) SO(2) ⊗

SO(6, 6)

SO(6) ⊗ SO(6) (4.38)

che discende dalla decomposizione del gruppo-madre E7(7) della supergravit`a N = 8 secondo il

sottogruppo di S-T-dualit`a SL(2, R) ⊗ SO(6, 6), oppure del sottogruppo massimamente compat- to SU (8) secondo SO(6) ⊗ SO(6) ⊗ SO(2).

Ovviamente, questi non sono tutti gli scalari della supergravit`a N = 8, che sono 70 e parametrizzano, come sappiamo, il coset

MN =8_(completo) = E7(7)

SU (8) (4.39)

I rimanenti 32 vengono dal settore di Ramond-Ramond e parametrizzano il coset MN =8_{(scalari carichi)} = SU (4, 4)

SU (4) ⊗ SU (4) ⊗ U (1) (4.40) che, invece, discende dalla decomposizione delle rappresentazioni di E7(7) rispetto a quelle di

SU (4, 4), oppure di quelle di SU (8) rispetto a quelle di SU (4) ⊗ SU (4).

4_{La sua field strength, che `}_{e una 3-forma, `}_{e il duale di Poincar´}_{e della field strength di uno scalare, cio`}_{e una}

La sottovariet`a non solitonica dello spazio dei moduli (4.38) `e quella parametrizzata da quegli scalari generati a partire dai soli fermioni veri, senza l’intervento dei fake fermion:

MN =8_{(moduli non solitonici)} = SL(2, R) SO(2) ⊗

SO(3, 3)

SO(3) ⊗ SO(3) (4.41) Questa varietà rappresenta lo spazio dei moduli della compattificazione sulla varietà curva SU (2)3, che è più piccolo rispetto a quello corrispondente al toro T6; questo perché la compattificazione su SU (2)3 è equivalente a quella toroidale soltanto in punti speciali dello spazio dei moduli del toro!

Vediamo ora quali di questi stati massless sopravvivono alla proiezione indotta dai boundary vector aggiuntivi. Abbiamo su di essi

γ₁(N =6)· F = 1 (mod 2) γ₁(N =4)· F = 0 (mod 2) (4.42) per la parte di spazio-tempo, il che significa che gravitone, assione e dilatone passano attraverso i proiettori. Per quel che riguarda i gravifotoni e i graviscalari, invece, bisogna distinguere i due casi.

Per la N = 6, rimangono solo quegli stati con γ₁(N =6) · F = 1 (mod 2); ricordando la definizione di γ₁(N =6), (4.22), concludiamo che sopravvivono i 6 ⊕ 2 gravifotoni emessi da VµX (X = 1, 2, 3, 1∗, 2∗, 3∗) e da VXµ (X = 3, 3∗), e i 2⊗6 = 12 graviscalari emessi da VXY (X = 3, 3∗; Y = 1, 2, 3, 1∗, 2∗, 3∗). Cos`ı, lo spazio dei moduli `e troncato a:

MN =6_(moduli) = SL(2, R) SO(2) ⊗

SO(2, 6)

SO(2) ⊗ SO(6) (4.43)

che, al solito, discende dalla decomposizione di SO?(12) secondo il gruppo residuo di S-T-dualit`a della N = 6, vale a dire SL(2, R) ⊗ SO(2, 6).

Prendendo solo gli indici senza asterisco, troviamo il coset non solitonico: MN =6_{(moduli non solitonici)} = SL(2, R)

SO(2) ⊗

SO(1, 3)

SO(3) (4.44)

Per la N = 4, invece, si conservano gli stati con γ₁(N =4)· F = 0 (mod 2), dove γ₁(N =4) `e definito sempre nella (4.22). Sopravvivono 2 ⊕ 2 gravifotoni, emessi da VµX e da VXµ (X = 3, 3∗), e 2 ⊗ 2 ⊕ 4 ⊗ 4 = 20 graviscalari, emessi da VXY con X, Y rispettivamente presi nel range (3, 3∗) e nel range (1, 2, 1∗, 2∗). Cos`ı:

MN =4_(moduli) = SL(2, R) SO(2) ⊗ SO(2, 2) SO(2) ⊗ SO(2)⊗ SO(4, 4) SO(4) ⊗ SO(4) (4.45) mentre

MN =4_{(moduli non solitonici)} = SL(2, R)

SO(2) ⊗ SO(1, 1) ⊗

SO(2, 2)

SO(2) ⊗ SO(2) (4.46)

4.1.3 Settore di Ramond-Ramond

Veniamo ora all’ultimo settore universale rilevante a livello massless, quello di Ramond-Ramond, individuato dal boundary vector γ++ γ−. Scriviamo, al solito:

4.1. SETTORI UNIVERSALI 95 dove5 U+−= 1 2 I + η(−1) 1·F 1 2 I + (−1) γ+·F 1 2 I + η(−1) γ−·F (4.48) e6 P+−= K Y i=1 1 2 I + δγi+i−i(−1) γi·F _(4.49)

Nei due casi considerati, si ha (con la scelta dei segni gi`a fatta in precedenza): P₊₋(N =6) = 1₂ I + (−1)γ1(N =6)·F P₊₋(N =4) = 1₂ I + (−1)γ1(N =4)·F (4.50)

Secondo la formula di massa, gli stati massless presenti in questo settore sono caratterizzati da N = ˜N = 0, cio`e siamo in presenza di un vuoto di Ramond-Ramond.

Prima della proiezione il vertice rilevante `e:

Vα ˆˆβ ˆP ˆQ(z, ¯z, k) = eφ(z)/2Sαˆ(z)ΣPˆ(z)eφ(¯˜z)/2S˜βˆ(¯z) ˜ΣQˆ(¯z)eik·X(z,¯z) (4.51) Da questo vertice, con l’aiuto delle matrici γ di spazio-tempo, otteniamo sia vettori che scalari massless:

Vµ ˆP ˆQ(z, ¯z, k) = kν(γµν)_{α ˆ}_ˆ_βVα ˆˆβ ˆP ˆQ(z, ¯z, k)

VP ˆˆQ(z, ¯z, k) = kµ(γµ)_{α ˆ}_ˆ_βVα ˆˆβ ˆP ˆQ(z, ¯z, k)

(4.52)

da cui si capisce che Vαβ ˆP ˆQ e Vα ˙˙β ˆP ˆQ contribuiscono ai vettori, mentre Vα ˙β ˆP ˆQ e Vαβ ˆ˙ P ˆQ contribuiscono agli scalari. L’azione del proiettore universale (4.48) su tale vertice `e:

[U+−V ]α ˆˆβ ˆP ˆQ = 1 2(I + γ5Γ7) ˆ α ˆα0P ˆˆP0 1 2(I + ηγ5Γ7) ˆ β ˆβ0_{Q ˆ}ˆ_Q0 Vαˆ0βˆ0Pˆ0Qˆ0 = = 1 2(I + γ5Γ7) ⊗ 1 2 ˜I + η˜γ5Γ˜7 V (4.53)

Nota che non abbiamo scritto il contributo del fattore col boundary vector 1, perch´e esso contiene contemporaneamente entrambi i fattori scritti qui sopra e quindi, visto che sono tutti proiettori, basta prenderli una sola volta. Se scegliamo, ad esempio, η = 1 (IIB), gli stati che sopravvivono alla proiezione sono 4 ⊗ 4 = 16 vettori reali, emessi da VαβP Q_pi`_{u i rispettivi complessi coniugati}

Vα ˙˙β ˙P ˙Q, e 4⊗4 = 16 scalari complessi (carichi), emessi da Vα ˙βP ˙Qe i rispettivi complessi coniugati Vαβ ˙˙ P Q_{, cio`}_{e tutti gli stati che hanno autovalore +1 per le matrici γ}

5Γ7 e ˜γ5Γ˜7.

La supergravit`a N = 8 `e ora completa: i 32 scalari scarichi di R-R si aggiungono ai 38 di NS-NS per fare i 70 scalari parametrizzanti il coset E7(7)/SU (8). Cos`ı, i 16 vettori di R-R, insieme ai

12 di NS-NS, fanno i 28 spin 1 del multipletto gravitazionale della N = 8, le cui field strength, insieme alle loro duali, trasformano nella 56 simplettica di E7.

I proiettori aggiuntivi, invece, agiscono sul vertice di R-R come i seguenti operatori: P₊₋(N =6) = 1₂(I − iγ5Γ33∗) ⊗ ˜I P₊₋(N =4) = 1₂ I ⊗ ˜I − γ5Γ33∗⊗ ˜γ₅Γ˜₃₃∗ (4.54) 5

Non `e affatto difficile verificare che vengono fuori esattamente quei coefficienti, a partire dalle posizioni fatte nelle precedenti sottosezioni, se si ricordano le propriet`a dei c viste nel precedente capitolo.

Per la N = 6, il risultato è che sopravvivono 2 ⊗ 4 = 8 vettori reali, emessi da VαβaQ più i complessi coniugati Vα ˙˙β ˙a ˙Q, cioè quelli con autovalore −1 per la matrice iγ5Γ33∗, e i 2 ⊗ 4 = 8

scalari complessi, emessi da Vα ˙βa ˙Q e i complessi coniugati Vαβ ˙aQ˙ , anch’essi con autovalore −1 per iγ5Γ33∗. Gli scalari parametrizzano il sub-coset:

MN =6_{(scalari carichi)} = SU (2, 4)

SU (2) ⊗ SU (4) ⊗ U (1) (4.55) che ovviamente discende dalla decomposizione di SO?(12) rispetto a SU (2, 4), o di SU (6) rispetto a SU (2) ⊗ SU (4). L’unione di questi 16 scalari reali di R-R con i 14 scalari del settore di NS-NS formano il coset della supergravit`a N = 6

MN =6_(completo) = SO

?₍₁₂₎

SU (6) ⊗ U (1) (4.56)

In più, gli 8 vettori di R-R, insieme agli 8 gravifotoni di NS-NS, completano i 16 stati di spin 1 contenuti nel supermultipletto gravitazionale della N = 6 e le cui field strength, con le loro duali, trasformano nella spinoriale di SO?(12) (che è la 32 ed è simplettica).

Per la N = 4, sopravvivono gli stati che hanno autovalore −1 per la matrice prodotto γ5Γ33∗⊗

γ5Γ˜33∗, il che significa 4 ⊕ 4 vettori, emessi da Vαβab ∗

(pi`u i c.c. Vα ˙˙β ˙a˙b∗_{) e da V}αβa∗b _(pi`_{u i c.c.}

Vα ˙˙β ˙a∗˙b), e 2 ⊗ 2 ⊕ 2 ⊗ 2 = 8 scalari complessi, emessi da Vα ˙βa˙b∗ (e i c.c. Vαβ ˙ab˙ ∗) e da Vα ˙βa∗˙b (e i c.c. Vαβ ˙a˙ ∗b_{). Questi ultimi parametrizzano il coset:}

MN =4_{(scalari carichi)} = SU (2, 2)

SU (2) ⊗ SU (2) ⊗ U (1)⊗

SU (2, 2)

SU (2) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) (4.57) Questi 16 scalari reali di R-R, insieme ai 22 scalari di NS-NS, parametrizzano il coset 38- dimensionale:

MN =4_{(non twistato)} = SL(2, R) SO(2) ⊗

SO(6, 6)

SO(6) ⊗ SO(6) (4.58)

che è il manifold degli scalari di una supergravità N = 4 accoppiata a 6 multipletti vettoriali N = 4. Inoltre, dei 12 campi vettoriali risultanti, 6 appartengono al multipletto gravitazionale e 6 ai 6 multipletti vettoriali (sono le elicità più alte). In questo caso, però, il settore massless non è esaurito dai settori universali (come invece accade nella N = 6), bens`ı ci sono, come vedremo nella prossima sezione, altri 8 multipletti vettoriali, che vengono dai settori twistati.

E da apprezzare la differenza strutturale delle due troncazioni discusse, palese dalla riduzione vista dei vettori di R-R:

N = 8 −→ N = 6 4₂ ⊗ 4 = 8 N = 8 −→ N = 4 4⊗4

2 = 8

(4.59)

4.2 Settori twistati

Concludiamo con una breve discussione sui settori non universali. Nel caso della N = 6, siccome esiste solo il multipletto gravitazionale ed esso `e gi`a stato tutto esaurito dai settori universali, segue che non possono emergere altri stati massless dai settori twistati. Verifichiamo questo asserto.

Grazie alla supersimmetria di spazio-tempo, possiamo limitarci a studiare i bosoni e cercare settori aggiuntivi che contengano stati bosonici massless prima della proiezione di GSO. Tali

4.2. SETTORI TWISTATI 97

settori, ovviamente, devono contenere il boundary vector γ₁(N =6). Solo γ₁(N =6) `e fermionico, cos`ı come 1 + γ₁(N =6) e γ++ γ−+ γ₁(N =6); γ−+ γ₁(N =6), inoltre, richiederebbe ˜N = −1/2 nella

condizione di massa nulla7, il che `e assurdo. L’unica scelta possibile `e, allora: γ++ γ1(N =6) = [s + s

0_|˜b] _(4.60)

che ci dà N = Ñ = 0, ed il corrispondente priettore è: P(N =6) γ++γ(N =6)1 = 1 2 I + (N =6)₁₁ (−1)1·F 1 2 I + (−1) γ+·F 1 2 I − (−1) γ−·F 1 2 I + (N =6)₁₁ (−1)γ(N =6)1 ·F (4.61) Gli stati massless sono dati dal prodotto del vuoto di Ramond s + s0 con il vuoto di Ramond ˜b. Su di essi abbiamo γ−· F = 0 perché ˜s e ˜b non hanno campi di Ramond in comune (s · b = 0);

perci`o, tutti gli stati sono proiettati via e non viene introdotto nessun bosone massless twistato. Nettamente diversa, invece, `e la situazione per la N = 4. Qui gli stati bosonici aggiuntivi sono localizzati nei settori:

γ₁(N =4) = [s0|˜s0] e γ₁(N =4)+ γ++ γ− = [s + s0|˜s + ˜s0] (4.62)

Notiamo che il secondo di questi settori sviluppa un vuoto di Ramond-Ramond in cui non ci sono spin-field di spazio-tempo, perch´e ψT e ˜ψT diventano fermioni di NS rispettivamente nella somma s + s0 e ˜s + ˜s0; perci`o non possiamo contare sugli indici αβ per creare vettori e quindi sono presenti solo scalari (gli unici indici sono quelli interni).

I vettori, pertanto, possono provenire soltanto da γ(N =4)₁ e, siccome per la N = 4 sono disponibili solo multipletti vettoriali di materia, basterà contare questi. Nel settore γ₁(N =4), il proiettore di GSO è: P(N =4) γ₁(N =4) = 1 2 I + (N =4)₁₁ (−1)1·F 1 2 I + (−1) γ+·F 1 2 I + (−1) γ−·F 1 2 I + (N =4)₁₁ (−1)γ1(N =4)·F (4.63) Il vertice è:

V_(twistato)α ˆˆβ ˆP ˆQ (z, ¯z, k) = eφ(z)/2Sαˆ(z)ΛPˆ(z)eφ(¯˜z)/2S˜βˆ(¯z) ˜ΛQˆ(¯z)eik·X(z,¯z) (4.64) dove ΛPˆ(z) `e il campo di spin dell’algebra di Kaˇc-Moody SO(6) generata dai sei fermioni interni che hanno condizioni al bordo di Ramond in s0, vale a dire

ΨX_(twistato)= χ3_i, λ_i3 (i = 1, 2), χ1₃, λ1₃ (4.65) Simile definizione per ˜ΛQˆ(¯z).

Il proiettore su questo settore (4.63) si comporta sul vertice appena scritto come: P(N =4) γ₁(N =4) = 1 2 I ⊗ ˜I + (N =4)₁₁ γ5Γ7⊗ ˜γ5Γ˜7 1 2(I + γ5Γ33∗) ⊗ 1 2 ˜I + ˜γ5Γ˜33∗ (4.66) 7

dove il Γ7 `e quello della spinoriale di un altro SO(6) (cos`ı Γ33∗).

Il risultato è analogo a quello ottenuto per la N = 4 nel settore universale di Ramond-Ramond, (4.53)-(4.54), e quindi ci sono 8 vettori massless aggiuntivi, che provengono da 8 ulteriori multipletti vettoriali di materia, questa volta twistati. In totale, la troncazione N = 8 → N = 4 dà origine ad una supergravità N = 4 accoppiata a 14 multipletti vettoriali N = 4; il manifold degli scalari corrispondente è chiaramente:

MN =4 (completo) = SL(2, R) SO(2) ⊗ SO(6, 14) SO(6) ⊗ SO(14) (4.67)

Conclusioni

Siamo finalmente pronti a rileggere tutti i risultati ottenuti per la teoria N = 6, D = 4 dal punto di vista della proiezione di Tits-Satake (la cui tecnologia `e stata introdotta alla fine del primo capitolo), con l’intenzione di vedere come essa agisce, almeno a livello massless.

Siccome tale proiezione, come accennato, preserva le strutture geometriche delle teorie N = 2, è conveniente scomporre il supermultipletto della N = 6 in rappresentazioni irriducibili (supermultipletti) della superalgebra di Poincaré (N = 2)-estesa; infatti, il supermultipletto gravitazionale della N = 6 è una rappresentazione irriducibile della superalgebra N = 6, ma è riducibile per la N = 2 ! A livello dei gruppi di automorfismi delle due teorie, la scomposizione rilevante è:

SU (6) −→ SU (4) ⊗ SU (2)

dove SU (6) è il gruppo di automorfismi della superalgebra N = 6, SU (2) quello della superalgebra N = 2 (cioè, in un dato supermultipletto N = 6[2] ci sono diverse rappresentazioni irriducibili di SU (6)[SU (2)]). L’SU (4) residuo, invece, commuta con la supersimmetria N = 2 e quindi ogni supermultipletto N = 2 è anche una rappresentazione irriducibile di questo SU (4). Quali di queste rappresentazioni compaiano sarà chiaro dal seguente ragionamento, che procede per passi, dallo spin 2 allo spin 0, schematizzato cos`ı:

N = 6 N = 2

Spin R.I. SU (6) gravitone gravitino vettoriale ipermultipletti supermult. N = 2

2 1 1 3/2 6 2 1 1 15 ⊕ 1 1 2 1 1/2 20 ⊕ 6 1 2 2 0 15 ⊕ 15 1 ⊕ 1 2 ⊕ 2 1 4 1 ⊕ 6 4 R.I. SU (4) `

E chiaro che, per esserci un gravitone, ci deve essere esattamente un multipletto gravitazionale N = 2 (singoletto di SU (4)); per ottenere gli altri 4 gravitini, ricorriamo a 4 multipletti di gravitino N = 2 (fondamentale di SU (4)); per far tornare i 15 vettori (escluso il gravifotone), dobbiamo introdurre 7 multipletti vettoriali N = 2, ed infine il conteggio degli spin 1/2 ci di- ce esattamente quanti ipermultipletti inserire: essi sono 4 e trasformano nella fondamentale di SU (4). L’assegnazione delle rappresentazioni irriducibili di SU (4) ai supermultipletti di N = 2 `e chiara dalla seguente scomposizione delle rappresentazioni di SU (6) in rappresentazioni di SU (4) ⊗ SU (2):

1/2 20 ⊕ 6 −→ (6, 2) ⊕ (1, 2) ⊕ (4, 1) ⊕ (4, 2)

L’ultima riga la si pu`o ottenere con facilit`a ricorrendo ai tableaux di Young:

20 ≡ −→ • • X ⊕ • X X ⊕ • • • ∼ • 6 ≡ −→ X ⊕ • • −→ SU (4) X −→ SU (2)

Le due fondamentali di SU (4), • , si uniscono in un doppietto di SU (2). Abbiamo perci`o capito che gli ipermultipletti sono nella fondamentale di SU (4) e i vettoriali nella 1 ⊕ 6 di SU (4). Ma andiamo a vedere il branching degli scalari:

15 ⊕ 15 = (1, 1) ⊕ (1, 1) ⊕ (4, 2) ⊕ (4, 2) proiettati via (6, 1) ⊕ (6, 1) preservati Ora, la proiezione di Tits-Satake agisce cos`ı sul coset-manifold degli scalari:

SO?(12) SU (6) ⊗ U (1)

−→ Sp(6, R) SU (3) ⊗ U (1)

Ciò che adesso ci interessa di più è che tale proiezione, come ben vediamo, manda una varietà special Kähler in una dello stesso tipo! Inoltre, come è ovvio, siccome preserva le strutture geometriche della N = 2, essa commuta con SU (4), cioè butta via e tiene intere sue rappresentazioni irriducibili (oppure interi supermultipletti N = 2): in particolare, per forza di cose, saranno eliminati gli scalari che parametrizzano manifold quaternionici8, vale a dire quelli presenti negli ipermultipletti (in tutto 16); gli altri due scalari proiettati via sono quelli del singoletto vettoriale di SU (4).

Per quanto riguarda i vettori, analogamente, vengono proiettati via l’ottetto (4 doppietti di SU (2)) del multipletto del gravitino e quello del singoletto vettoriale; in tutto rimaniamo con 7 vettori (6 + gravifotone), le cui field strength si sistemano, insieme alle duali, come gi`a accennato, nella 14 di Sp(6, R).

Come si reinterpreta tutto questo dal punto di vista microscopico, che invece distingue il settore di NS-NS da quello di R-R? Che natura hanno i gradi di libert`a che Tits-Satake proiettano via? Per capirlo, ricordiamoci dell’analisi fatta nel quarto capitolo grazie ai boundary vector. Scomponiamo il coset degli scalari della N = 6 secondo il gruppo di S-T-dualit`a, (4.43):

SO?(12) SU (6) ⊗ U (1) ∼ SL(2, R) SO(2) | {z } Bd µν+Φ ⊗ SO(2, 6) SO(2) ⊗ SO(6) | {z } 12 | {z } 14 N S−N S ⊕ (2, 8S) | {z } 16 R−R

dove il dilatone e l’assione dualizzato parametrizzano il coset di S-dualit`a e gli altri 12 scalari di NS-NS quello di T-dualit`a, mentre i campi di R-R sono in corrispondenza biunivoca con i pesi

Ricordiamo, per inciso, che una varietà quaternionica è una varietà 4m-dimensionale (con m, per esempio, il numero di ipermultipletti) con gruppo di olonomia contenuto in Sp(2) ⊗ Sp(2m) e con curvatura di Sp(2) non nulla.

della rappresentazione f ondamentale ⊗ spinoriale di SL(2, R) ⊗ SO(2, 6).

I vettori, d’altra parte, sono 16 = 8 (R-R) ⊕ 8 (NS-NS), i primi in corrispondenza con i pesi della 8S di SO(2, 6), i secondi con i pesi della 8V di SO(2, 6).

Ma focalizziamoci sugli scalari. Abbiamo visto che i campi scalari del settore di R-R (8 scalari carichi) parametrizzano il coset (4.55), sempre incluso nel coset originario, ma derivante da una diversa decomposizione di SO?(12) (o di SU (6)). Il (4.55) `e un manifold quaternionico (fa parte della serie dei manifold quaternionici), mentre

SL(2, R) SO(2) ⊗ SO(2, 6) SO(2) ⊗ SO(6) ' SU (1, 1) U (1) ⊗ SO(2, 6) SO(2) ⊗ SO(6)

grazie al primo fattore, è un manifold di special Kähler. È ovvio, perciò, che la proiezione, che genera ancora uno special Kähler, butti via tutti i 16 scalari del settore di R-R. Più difficile, invece, è capire quali sono gli altri due scalari eliminati. In ogni caso, possiamo essere certi che non sono i Bd_µν e Φ puri, perché altrimenti dovremmo trovare un embedding consistente di Sp(6, R) in SO(2, 6), che non esiste! Perciò, i due scalari che vanno via non possono che essere una mescolanza di B_µνd e Φ con gli altri 12 scalari di NS-NS, che parametrizzano il coset di T-dualità della superstringa N = 6 in 4 dimensioni. Questo deriva direttamente dal fatto che Sp(6, R) e SO(2, 6), come sottogruppi di SO?(12), non sono l’uno dentro l’altro, ma sono messi “storti” e hanno un’intersezione. La parte di SO(2, 6) che è fuori da tale intersezione è quella che ha in qualche modo a che fare con le combinazioni dei campi di NS-NS proiettate via.

Questo conclude la nostra analisi della proiezione di Tits-Satake sul settore massless della superstringa di tipo II, N = 6, in 4 dimensioni. Sarebbe interessante andare a vedere come essa agisce, invece, sul settore massivo, in cui, come abbiamo visto, è possibile la nascita di stati twistati; capire, inoltre, quali gradi di libertà vengono proiettati via ed eventualmente qual è l’azione del gruppo di paint su tali stati (twistati e non). Tutto questo va nella direzione di una comprensione più profonda della teoria delle stringhe, perché, a differenza della solita analisi trasversale e perturbativa, che tronca lo spettro ai modi massless, consente un’indagine longitudinale dello spettro e di più ampio respiro.

Libri

[1] L.Castellani - R.D’Auria - P.Fr´e, Supergravity and Superstrings, A Geometric Perspective, Voll. 1-2-3, World Scientific, 1991

[2] J.Polchinski, String Theory, Voll. 1-2, Cambridge, 1998

[3] M.B.Green - J.H.Schwarz - E.Witten, Superstring Theory, Vol.1, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1987

[4] J.E.Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1972

[5] J.F.Cornwell, Group Theory in Physics, Voll. 1-2, Academic Press, 1984

[6] S.Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1, Cambridge University Press, 1995 [7] R.M.Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, 1984

[8] S.Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, American Mathematical Society, 1976

Articoli

[9] P.Fr´e, Gaugings and Other Supergravity Tools of p-Brane Physics, hep-th/0102114 (2001) [10] P.Fr´e - F.Gliozzi, Superstring Theory on Smooth Manifolds with a Non-Abelian Lie Group

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[11] R.D’Auria - P.Fr´e - F.Gliozzi - A.Pasquinucci, 4D Fermionic Superstrings from Thirteen Dimensions: Sigma-Model and Superconformal Properties, Nuclear Physics B334, 24-66 (1990)

[12] S.Ferrara - P.Fr´e, Type II Superstrings on Twisted Group-Manifolds and Their Heterotic Counterparts, DFTT 16/89 (1989)

[13] L.Dixon - J.A.Harvey - C.Vafa - E.Witten, Strings on Orbifolds, Nuclear Physics B261, 678-686 (1985)

[14] L.Dixon - J.A.Harvey - C.Vafa - E.Witten, Strings on Orbifolds (II), Nuclear Physics B274, 285-314 (1986)

[15] K.S.Narain - M.H.Sarmadi - C.Vafa, Asymmetric Orbifolds, Nuclear Physics B288, 551-577 (1987)

[16] K.S.Narain - M.H.Sarmadi - C.Vafa, Asymmetric Orbifolds: Path Integral and Operator Formulations, Nuclear Physics B356, 163-207 (1991)

[17] A.Giveon - M.Porrati - E.Rabinovici, Target Space Duality in String Theory, hep-th/9401139 (1994)

[18] E.Kiritsis, Introduction to Superstring Theory, hep-th/9709062 (1997) [19] R.J.Szabo, Bustepp Lectures on String Theory, hep-th/0207142 (2002)

[20] L.Andrianopoli - R.D’Auria - S.Ferrara - P.Fr´e - M.Trigiante, R-R Scalars, U-Duality and Solvable Lie Algebras, hep-th/96119014 (1997)

[21] L.Andrianopoli - R.D’Auria - S.Ferrara - P.Fr´e - R.Minasian - M.Trigiante, Solvable Lie Algebras in Type IIA, Type IIB and M Theories, hep-th/9612202 (1996)

[22] M.Bertolini - M.Trigiante, Regular R-R and NS-NS BPS Black Holes, hep-th/9910237 (2000)

[23] L.Andrianopoli - R.D’Auria - S.Ferrara - P.Fr´e - M.Trigiante, E7(7)Duality, BPS Black-Hole

Evolution and Fixed Scalars, hep-th/9707087 (1997)

[24] T.Damour - M.Henneaux - H.Nicolai, Cosmological Billiards, hep-th/0212256 (2002) [25] P.Fr´e - V.Gili - F.Gargiulo - A.Sorin - K.Rulik - M.Trigiante, Cosmological Backgrounds of

Superstring Theory and Solvable Algebras: Oxidation and Branes, hep-th/0309237 (2003) [26] P.Fr´e - F.Gargiulo - K.Rulik, Cosmic Billiards with Painted Walls in Non Maximal

Supergravities, hep-th/0507256 (2005)

[27] P.Fr´e - F.Gargiulo - J.Rosseel - K.Rulik - M.Trigiante - A.Van Proeyen, Tits-Satake Projections of Homogeneous Special Geometries, hep-th/0606173 (2006)

Nel documento Orbifold Asimmetrici e Corrispondenze Algebriche nelle Superstringhe di Tipo II (pagine 92-103)