SIMULAZIONE DELLA PROVA DI TRAZIONE

Si effettuerà di seguito una serie di simulazioni della prova di trazione di un provino di forma rettangolare ritagliato da una lastra più grande che riporta il tipo di microforellatura in questione, secondo varie angolature, allo scopo di determinare l’andamento delle funzioni E(θ) e ν(θ).

In particolare l’asse del provino verrà orientato secondo valori dell’angolo θ variabili da 0° a 45° con step di 5°.

La simulazione è stata condotta tramite il software ad elementi finiti ANSYS con il quale sono sorti alcuni problemi che hanno influito sulla scelta delle dimensioni del provino.

Nel corso di essa infatti ci si è resi conto che il programma rileva dei conflitti quando la superficie di taglio del provino cade entro una certa distanza, comunque molto piccola, dal bordo di un foro. A parità di angolo θ, affinchè le prove siano il più possibile indipendenti dalla posizione in cui il provino viene ritagliato dalla lastra microforellata, è necessario che le sue dimensioni siano sufficientemente grandi, in modo che la presenza in più o in meno di un foro (o di parte di esso) abbia una influenza in percentuale irrilevante. E’ chiaro infatti che a seconda di dove si inizi a ritagliare il provino, la percentuale di “vuoti” (e quindi di zone di indebolimento) cambi e questo influisce sul valore delle proprietà elastiche rilevate. E’ altresì chiaro che maggiori sono le dimensioni del provino, minore è la variazione della percentuale dei “vuoti” al variare della posizione di inizio intaglio.

72 Di contro, aumentando le dimensioni del provino, aumentano le probabilità che una delle 4 linee di taglio che ne definiscono il contorno, cada molto vicino al bordo di un foro (al limite tangente) e che quindi il programma possa non fornire la risposta.

Si è quindi trovato una soluzione di compromesso che consenta di trattare provini di dimensioni non troppo grosse e, a parità di angolo θ, effettuando la medesima prova con diverse posizioni di inizio ritaglio, considerando infine come risposta ultima della proprietà elastica ricercata, la media aritmetica della risposta ottenuta per ciascun posizionamento di inizio intaglio.

La lunghezza del provino è stata scelta 100 µm, la larghezza è invece 25 µm ovvero circa 6 volte il passo, mentre lo spessore è quello del gripper cioè 100 µm.

La distribuzione di fori all’interno del provino dipenderà dalla posizione di inizio intaglio all’interno di una cella elementare costituita dall’area campita compresa fra i centri di 4 microfori rappresentata in Fig. 2.8.3.

Si è quindi discretizzata la superficie della cella in 16 punti disposti come illustrato nella medesima figura e numerati da 1 a 16, che costituiscono, per ogni valore dell’angolo θ, i punti da cui si comincerà ad intagliare il provino dalla lastra di partenza.

Fig. 2.8.3: Cella elementare con numerati i 16 punti di inizio intaglio del provino

Una volta ottenuto il provino che presenta una certa orientazione θ rispetto alle DPF, si sono effettuate le prove per determinare il modulo di elasticità normale e il coefficiente di Poisson variando il punto di inizio intaglio per tutte le 16 origini di Fig. 2.8.3. Il valore definitivo delle proprietà elastiche relativamente ad una data orientazione θ è stato calcolato, come già accennato, facendo la media aritmetica di quei 16 valori precedentemente trovati.

In realtà, tutte le volte in cui il contorno del provino passa entro una certa distanza dal bordo di un foro, il programma non fornisce la risposta, quindi i valori da mediare sono stati alla fine inferiori a 16.

La prova consiste nell’imporre al provino lungo la sua dimensione maggiore una certa deformazione estensionale e andare a misurare le tensioni nella direzione della deformazione imposta, in modo che il rapporto delle due fornisca il modulo di Young in quella direzione (E = σ / ε); misurando poi la deformazione nella direzione perpendicolare alla direzione dello spostamento imposto (contrazione laterale), si può calcolare il coefficiente di Poisson facendone il

73 valore assoluto del rapporto con la deformazione imposta. In particolare imponendo nella direzione della lunghezza del provino una deformazione del 100%, valendo in questo caso σ = E, la misura della tensione longitudinale fornisce direttamente il modulo elastico, mentre il valore assoluto della deformazione nella direzione della larghezza fornisce direttamente il coefficiente di Poisson poiché è ν = |εlaterale|.

Vista la modalità della prova, il campione è stato modellato con elementi piani in stato piano di deformazione e la logica porterebbe a bloccare il suo baricentro ed imporre alle sue estremità spostamenti pari alla metà della propria lunghezza in versi opposti in modo da realizzare una deformazione estensionale del 100% come mostrato in Fig. 2.8.4.

Fig. 2.8.4: Schema della prova, spostamenti imposti e bloccaggio del baricentro del provino. Campito in celeste il provino in deformato, campito in viola il provino a seguito della deformazione

Il problema principale è però che il baricentro potrebbe venirsi a trovare in corrispondenza di un vuoto per cui si è proceduto secondo il seguente metodo alternativo equivalente ai fini pratici. Una volta realizzata la mesh, si sono vincolati i nodi all’estremità in basso del provino in direzione y (vedi Fig. 2.8.5) e i nodi sul bordo sinistro lungo x, mentre ai nodi dell’estremità libera si sono imposti spostamenti pari alla lunghezza totale del provino.

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Fig. 2.8.5: Vincoli, spostamenti imposti, e assi di riferimento di un provino con θ = 0

La Fig. 2.8.6 mostra la lastra microforellata da cui si ritagliano i provini.

75 La Fig. 2.8.7 mostra invece un provino durante il processo di ritaglio, mentre la Fig. 2.8.8 mostra il particolare del punto di inizio intaglio.

Fig. 2.8.7: Formazione del provino ritagliato dalla lastra iniziale microforellata

76 La Fig. 2.8.8 mostra in particolare, numerati da 21 a 36, i 16 sistemi di riferimento ausiliari utilizzati per poter variare la posizione di inizio intaglio fra i 16 punti della Fig. 2.8.3; la loro orientazione invece consente di costruire il provino con la desiderata angolatura θ. In questo esempio il punto di inizio intaglio è il numero 6 di Fig. 2.8.3 (cui corrisponde il sistema di riferimento 26 in ANSYS in Fig. 2.8.8), mentre l’angolo θ vale 20°.

La Fig. 2.8.9 infine mostra il provino realizzato con elementi, vincoli e spostamenti imposti, orientati secondo l’angolo θ = 20° rispetto alle DPF che coincidono con il sistema di riferimento globale in basso a sinistra.

Fig. 2.8.9: Provino realizzato

Quello che si vuol fare è “trasformare” il provino forellato in un provino fittizio delle stesse dimensioni, senza forellatura e costituito da un diverso materiale (più cedevole), equivalente al primo dal punto di vista della risposta elastica. Il provino fittizio in altre parole ha due sostanziali differenze rispetto a quello reale: non presenta forellatura, il che tende ad aumentare la rigidezza rispetto al primo, ed è costituito da un materiale più cedevole, il che tende a diminuire la rigidezza rispetto al primo.

Le proprietà elastiche del materiale di cui è costituito il provino fittizio sono tali da bilanciare esattamente l’aumento di rigidezza dovuto alla maggior sezione resistente con la sua diminuzione dovuta alla maggior cedevolezza del materiale, facendo si, quindi, che i due provini sottoposti ad una eguale sollecitazione longitudinale rispondano con una eguale deformazione estensionale e contrazione laterale.

La Fig. 2.8.10 mostra i 2 provini; sulla sinistra il provino micro lavorato e sulla destra quello fittizio.

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Fig. 2.8.10: Provino micro lavorato sulla sinistra e provino fittizio sulla destra

Sui provini (di medesime dimensioni lun x lar x spes) viene applicato il medesimo carico F che produce in quello di sinistra una deformazione εp (fornita dal programma ad elementi finiti relativamente al carico F), la quale dovrà risultare anche sul provino di destra le cui caratteristiche sono indicate con un asterisco in apice:

ε* = εp = F / (A* · E*) dove A* è la sezione resistente del provino fittizio:

A* = lar · spes quindi:

E* = F / ( A* · εp).

In particolare imponendo al provino micro lavorato una deformazione longitudinale unitaria si ha: E* = F(εp=1) / A*

dove adesso è F che deve essere fornito dal programma.

Con riferimento alla Fig. 2.8.9 ai nodi in alto è stato imposto uno spostamento uguale alla lunghezza del provino (deformazione del 100%), quindi una volta risolto il problema con il programma ad elementi finiti, si sono selezionati i nodi con spostamento imposto nullo in basso e si è cercata la risultante delle forze esterne ad essi applicata F. Il rapporto F/ lar · spes fornisce direttamente il modulo elastico fittizio E* che è funzione dell’angolo θ.

Per quanto riguarda il coefficiente di Poisson fittizio si ha : ν* = | εlat / εp | = | εlat | dove εlat è la deformazione laterale:

εlat = ux / lar

con ux spostamento dei nodi situati a destra del provino di Fig. 2.8.9 e fornito dal programma di calcolo.

La conoscenza dei valori fittizi delle proprietà elastiche consente per quel che riguarda deformazioni e spostamenti di poter elaborare modelli macroscopici con quelle proprietà elastiche di strutture costituite da materiale microforellato trattandolo come un materiale omogeneo.

La tabella seguente mostra le prove effettuate allo scopo di definire le funzioni E*(θ) e ν*(θ) (o più semplicemente E(θ) e ν(θ)). La colonna di sinistra mostra il numero del sistema di riferimento ausiliario corrispondente al punto di inizio intaglio secondo la Fig. 2.8.8.

78 Modulo di Young [MPa]

0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 21 - - - - - 22 84 520 80 430 77 972 - 75 500 73 476 71 653 67 489 - 65 680 23 - - 79 975 77 772 75 410 71 868 - - 66 758 68 479 24 - 81 443 - - 75 600 - 70 909 - - - 25 83 824 80 218 74 969 - 75 454 73 573 - - - - 26 - 81 854 80 143 - 72 866 73 261 71 526 - - 67 817 27 - - 77 686 77 647 73 349 - 71 224 68 451 68 460 70 531 28 - - 79 372 76 638 72 792 - 68 878 68 434 66 707 70 400 29 - 80 344 79 342 76 278 72 412 - - - - 68 207 30 84 696 81 376 74 735 - - - - 70 030 68 328 - 31 - - 78 055 - 72 057 72 927 68 430 69 586 68 685 70 030 32 - 79 650 79 456 75 666 71 976 67 002 - - 69 295 66 902 33 - 77 480 79 623 - 75 577 69 083 - 69 725 69 385 70.441 34 - 81 496 - 77 901 - 71 196 71 559 - 67 382 70 429 35 - - 80 063 76 046 - 72 649 71 652 69 813 - - 36 - 79 080 - - 75 657 - 71 234 70 420 - 67 631 MEDIA 84346.7 80 337.1 78 449.2 76 849.7 74 054.2 71 670.5 70 785 69 243.5 68 125 68 777

Tabella 2.8.1: Modulo di Young espresso in MPa nell’intervallo [0°-45°]

Coefficiente di Poisson 0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 21 - - - - - 22 0.246 0.26 0.264 - 0.296 0.309 0.342 0.370 - 0.356 23 - - 0.247 0.269 0.291 0.324 - - 0.352 0.338 24 - 0.245 - - 0.288 - 0.328 - - - 25 0.234 0.244 0.237 - 0.263 0.326 - - - - 26 - 0.244 0.243 - 0.294 0.313 0.352 - - 0.336 27 - - 0.257 0.247 0.302 - 0.346 0.354 0.379 0.388 28 - - 0.261 0.26 0.3 - 0.311 0.363 0.388 0.375 29 - 0.242 0.248 0.262 0.308 - - 0.362 - 0.340 30 0.246 0.256 0.257 - - - 0.372 - 31 - - 0.243 - 0.275 0.329 0.328 0.362 0.356 0.376 32 - 0.243 0.253 0.252 0.272 0.316 - - 0.35 0.357 33 - 0.244 0.259 - 0.302 0.323 - 0.363 0.384 0.390 34 - 0.241 - 0.275 - 0.317 0.34 - 0.372 0.375 35 - - 0.251 0.268 - 0.317 0.337 0.376 - - 36 - 0.248 - - 0.283 - 0.328 0.357 - 0.334 MEDIA 0.242 0.247 0.252 0.262 0.289 0.319 0.334 0.363 0.369 0.36

Tabella 2.8.2: Coefficiente di Poisson nell’intervallo [0°-45°]

Le Fig. 2.8.11 e Fig. 2.8.12 riportano gli andamenti rispettivamente del modulo di Young e del coefficiente di Poisson con interpolazione lineare dei valori medi ottenuti (ultima riga delle due tabelle precedenti).

79 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6x 10 4 Theta [gradi] M odul o di Y oun g [ M P a ]

Fig. 2.8.11: Interpolazione lineare del modulo di Young secondo i dati riportati nell’ultima riga della Tabella 2.8.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 Theta [gradi] C o ef fi c ien te di P o is s o n

80 Come è lecito aspettarsi il modulo di Young (coefficiente di Poisson) tendenzialmente decresce (cresce) all’aumentare dell’angolo θ.

Ciò succede almeno fino all’angolo θ = 40° dopodiché il modulo di Young risale per θ = 45° mentre il coefficiente di Poisson diminuisce.

Questo comportamento risulta alquanto anomalo perché significa che, con riferimento al modulo di elasticità, tra 40° e 45° c’è un punto di minimo che non era previsto almeno dal punto di vista teorico.

Si deve quindi andare ad indagare meglio che cosa succede alle proprietà elastiche fra 40° e 45° e per questo si sono stilate le ulteriori due tabelle di seguito riportate che operano un infittimento in tale intervallo. Modulo di Young [40°-45°] 40° 41° 42° 43° 44° 45° 21 - - 65235.2 65443.9 - - 22 - 69001.4 65525 67105.1 63694.7 65 680 23 66 758 69492 68701.9 68643.2 70179.9 68 479 24 - 67040 68602.6 67943.9 - - 25 - - 69231 68744.3 - - 26 - 67626.6 65120.5 66652.5 70025.9 67 817 27 68 460 68139.4 66208.8 67395.9 - 70 531 28 66 707 67311.6 68640.4 69240.1 67430.2 70 400 29 - 69196.7 68723.8 66991.3 70401.4 68 207 30 68 328 66624.2 69156.8 68858.7 67555.7 - 31 68 685 66587.2 65758.2 67239.7 - 70 030 32 69 295 65620.5 64338.3 62951.8 63956.7 66 902 33 69 385 68974 65581.8 63388.7 64742.6 70.441 34 67 382 68885 68443.5 66029.4 - 70 429 35 - 67098 68780.6 - - - 36 - 67776 68906 67913.3 70033.7 67 631 MEDIA 68 125 67812.3 67309.6 66969.4 67557.9 68 777

Tabella 2.8.3: Modulo di Young nell’intervallo [40°-45°]

Coefficiente di Poisson [40°-45°] 40° 41° 42° 43° 44° 45° 21 - - 0.382 0.379 - - 22 - 0.369 0.373 0.376 0.379 0.356 23 0.352 0.37 0.374 0.376 0.373 0.338 24 - 0.389 0.374 0.39 - - 25 - - 0.372 0.371 - - 26 - 0.384 0.369 0.381 0.382 0.336 27 0.379 0.393 0.364 0.374 - 0.388 28 0.388 0.395 0.381 0.373 0.356 0.375 29 - 0.368 0.373 0.38 0.379 0.340 30 0.372 0.37 0.374 0.374 0.376 - 31 0.356 0.385 0.377 0.378 - 0.376 32 0.35 0.382 0.375 0.373 0.376 0.357 33 0.384 0.379 0.371 0.368 0.379 0.390 34 0.372 0.376 0.38 0.371 - 0.375 35 - 0.377 0.377 - - - 36 - 0.376 0.369 0.383 0.377 0.334 MEDIA 0.369 0.379 0.374 0.376 0.375 0.36

Tabella 2.8.4: Coefficiente di Poisson nell’intervallo [40°-45°]

Poiché, quando il contorno del provino è orientato secondo direzioni vicine a 45° rispetto alle DPF, le probabilità di tangenza al bordo di un foro aumentano notevolmente, per avere comunque un

81 consistente numero di risultati si è introdotta la costante “shift” (vedi Appendice E), di valore molto basso, che aggiunta o sottratta alle coordinate dell’origine dei singoli sistemi di riferimento ausiliari di Fig. 2.8.8, provoca uno scostamento (“shift”) di bassissima entità ai punti di inizio intaglio, da utilizzarsi quando il programma con un determinato punto di origine non riesce a fornire la soluzione perché il contorno si trova troppo vicino ad un foro. Imponendo allora uno “shift” al sistema di riferimento che crea problemi, si provoca un piccolo spostamento del punto di inizio intaglio con la speranza che adesso il programma abbia meno difficoltà nel distinguere il contorno del provino.

Lo “shift” può essere introdotto indipendentemente per le coordinate x e y delle origini dei riferimenti ausiliari in direzione positiva o negativa lungo i propri assi, quindi consente per ognuno di essi di modificare in vari modi i punti di inizio intaglio e molto spesso questo ha portato benefici; i valori riportati in rosso nelle tabelle sono stati ottenuti ,infatti, proprio mediante la tecnica dello “shift”, mentre i dati relativi ad angoli θ di 40° e 45° sono stati riportati semplicemente dalle tabelle precedenti.

Guardando la riga in basso dei valori medi e facendo riferimento alla proprietà elastica modulo di elasticità normale, si nota che la diminuzione prosegue fino a 43° dopodiché risale in maniera piuttosto repentina per 44° e 45°.

Osservando i vari provini generati con θ = 45° (ultima colonna), si può notare che quando i fori generano intagli molto profondi sul contorno come nel caso di Fig. 2.8.13, il relativo modulo di Young tende ad essere basso, quando invece i fori sul contorno rappresentano intagli di modesta entità o addirittura sono assenti, il modulo di Young tende a divenire grande.

Fig. 2.8.13: Provino a 45° con modulo di Young basso. Sul lato lungo a destra i fori costituiscono intagli molto profondi

Inoltre essendo 45° una direzione di simmetria della cella elementare, gli intagli si estendono allo stesso modo per tutta la lunghezza del contorno.

82 Queste ultime considerazioni fanno nascere il sospetto che il valore del modulo di Young sia influenzato dalla cedevolezza dei bordi soprattutto per un provino di così piccole dimensioni rispetto al diametro dei fori.

C’è, in altre parole, il sospetto che un basso valore del modulo di Young sia dovuto alla elevata cedevolezza del bordo che ha un peso percentuale non trascurabile viste le ridotte dimensioni in larghezza del provino.

A sostegno di questa tesi si può condurre una ulteriore prova di simulazione sfruttando il fatto che la direzione a 45° è una direzione di simmetria della cella elementare e che quindi è facile assicurarsi che i contorni dei provini risultino non tangenti al bordo dei fori, per cui possono essere creati provini di dimensioni molto più grandi.

Lo script “Provino a 45°”riportato in Appendice E consente di creare provini con θ = 45° di qualsiasi dimensione sia in lunghezza ma soprattutto in larghezza che è ciò che interessa; la Fig. 2.8.14 ne mostra un esempio in cui è rappresentata la direzione di tiraggio con frecce rosse.

Fig. 2.8.14: Provino di grandi dimensioni con matrice disposta a 45° rispetto alla direzione di tiraggio

La costante “shift” consente in questo caso di aumentare o diminuire la profondità degli intagli che si formano lateralmente a causa della microforatura.

Il provino di Fig. 2.8.14 è stato ottenuto con un valore nullo dello shift, per cui essendo il raggio dei fori 1 µm, con uno “shift” pari a 0.9 µm positivo sul lato destro e negativo sul sinistro si ottengono intagli di grande profondità (1.9 µm).

L’intenzione è quella di realizzare tre provini di larghezze piccola (simile ai provini utilizzati finora), media e grande con intagli della suddetta profondità e di determinare per ciascuno di essi il modulo di Young procedendo sostanzialmente in modo analogo a quanto fatto finora.

La Fig. 2.8.15 mostra il provino più piccolo con intagli laterali molto profondi e con righe di circa 6 fori.

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Fig. 2.8.15: Provino piccolo con intagli laterali profondi

Il provino medio è stato realizzato con righe di circa 12 fori, mentre il provino grande con righe di circa 20 fori. I risultati riguardanti i 3 provini sono riassunti nella tabella seguente:

Modulo di Young [MPa]

Provino piccolo 64894

Provino medio 66807

Provino grande 67596

L’esperimento conferma che per provini di piccole dimensioni con θ = 45°, il modulo di Young viene influenzato dalla cedevolezza del contorno e che aumentandone la larghezza ciò influisce percentualmente in misura sempre minore. Tutto fa pensare che aumentando ancora la larghezza oltre quella del “provino grande”, il modulo di Young continui ad aumentare con comportamento asintotico al tendere della larghezza all’infinito.

Aumentando ulteriormente la larghezza dei provini aumentano notevolmente i tempi di calcolo del software ad elementi finiti, ma il valore asintotico può essere fatto coincidere con il valore assunto dal modulo di Young di un provino di dimensioni finite con θ = 45° senza intagli laterali (visto che questi sono sempre meno influenti al crescere della larghezza) come quello di Fig. 2.8.16 che è stato ottenuto con il solito programma con cui è stata effettuata l’ultima simulazione, utilizzando uno “shift” pari a 0.0011 positivo sul lato sinistro e negativo sul destro.

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Fig. 2.8.16: Provino asintotico

Il valore asintotico del modulo di Young vale 69660 MPa e questo può essere assunto come valore medio del modulo di elasticità per θ = 45° al posto del valore riportato in Tabella 2.8.3. Valori superiori al valore asintotico presenti nella medesima tabella si spiegano considerando che piccoli intagli laterali aumentano la sezione resistente senza introdurre sostanziali debolezze sul contorno. Il provino con θ = 44° con molta probabilità ha lunghezza troppo ridotta per mettere in evidenza scostamenti fra i bordi e una linea a 45° e si comporta in sostanza come il provino con θ = 45° dando luogo ad un valore medio del modulo di elasticità superiore a quello calcolato per θ = 43° e inferiore a quello relativo a θ = 45°.

In definitiva l’andamento presunto del modulo di Young in funzione dell’angolo θ è una funzione monotona decrescente per l’intervallo [0°;45°[ con una discontinuità in 45° in cui la funzione si può considerare assumere il valore E(θ=45°) = 69660 MPa che è quello ottenuto con il provino asintotico.

Analogamente l’andamento presunto del coefficiente di Poisson in funzione dell’angolo θ è una funzione monotona crescente per l’intervallo [0°;45°[ con una discontinuità in 45° in cui si può considerare assumere il valore ν(θ=45°) = 0.349, ottenuto con il provino asintotico.

La cedevolezza dei bordi si fa sentire meno sui provini con angoli θ differenti da 45° perché lontano dalle direzioni di simmetria, a tratti molto cedevoli sul contorno si alternano tratti molto rigidi e i due effetti statisticamente tendono a compensarsi.

Una cosa analoga a quanto avviene lungo la direzione θ = 45° probabilmente avviene anche lungo la direzione θ = 0° (altra direzione di simmetria della cella elementare) dove in effetti dalla Fig. 2.8.11 si nota una notevole impennata nel modulo di Young procedendo nella direzione da θ = 5° all’indietro fino a θ = 0°, anche se qui l’effetto è meno marcato perché comunque la funzione non subisce variazioni di monotonicità.

E’ necessario dunque andare a fare un infittimento anche nell’intervallo [0° ; 5°], utilizzando dove necessario la tecnica dello “shift”.

Le seguenti due tabelle riportano nell’intervallo suddetto i valori assunti dal modulo di Young e dal coefficiente di Poisson per i diversi punti di inizio intaglio esattamente come precedentemente fatto. Anche qui i valori riportati in rosso sono quelli ottenuti grazie alla tecnica dello “shift”.

85 Modulo di Young[0°-5°] 0° 1° 2° 3° 4° 5° 21 - - 80921.3 78537.2 81174.6 - 22 84 520 77923.4 79881 81094.9 78947.2 80 430 23 - 77419.7 - 77929.5 82027.2 - 24 - - 78251.9 79955.6 79724.8 81 443 25 83 824 - 81721.7 81452.2 80893.8 80 218 26 - 83507.7 81635.5 81214 80353.2 81 854 27 - - 82073.7 80797.7 82392.7 - 28 - 79263.9 81922.9 80025.4 80346.9 - 29 - - 81866.7 80468.4 79361 80 344 30 84 696 83852.8 80781.5 80.929.9 80439 81 376 31 - 83982.2 82340.5 80226.4 79513.3 - 32 - 80133.2 81927.6 79480.8 78492.2 79 650 33 - 76522.6 78158.1 78147.2 77936.7 77 480 34 - 80902.3 78779.2 77300.4 79759 81 496 35 - 78735.5 80563.6 79036.1 80869.2 - 36 - - 80551.6 76175.2 80053.9 79 080 MEDIA 84346.7 80224.3 80758.5 79548.2 80142.4 80 337.1

Tabella 2.8.5: Modulo di Young nell’intervallo [0°-5°]

Coefficiente di Poisson [0°-5°] 0° 1° 2° 3° 4° 5° 21 - - 0.251 0.231 0.219 - 22 0.246 0.241 0.252 0.232 0.221 0.26 23 - 0.251 - 0.223 0.219 - 24 - - 0.256 0.216 0.221 0.245 25 0.234 - 0.248 0.23 0.231 0.244 26 - 233 0.22 0.234 0.238 0.244 27 - - 0.223 0.223 0.232 - 28 - 0.249 0.252 0.225 0.235 - 29 - - 0.247 0.243 0.228 0.242 30 0.246 0.226 0.254 0.228 0.244 0.256 31 - 0.242 0.244 0.231 0.241 - 32 - 0.245 0.252 0.229 0.251 0.243 33 - 0.252 0.257 0.23 0.245 0.244 34 - 0.227 0.247 0.239 0.235 0.241 35 - 0.247 0.227 0.23 0.238 - 36 - - 0.255 0.228 0.23 0.248 MEDIA 0.242 0.241 0.246 0.23 0.233 0.247

Tabella 2.8.6: Coefficiente di Poisson nell’intervallo [0°-5°]

I valori altalenanti nell’intervallo [0°-5°] stanno a significare non tanto fluttuazioni delle proprietà elastiche, ma piuttosto che la loro tangente tende ad essere orizzontale per θ che tende a 0°.

Anche in questo caso il valore assunto nel punto di discontinuità θ = 0°, può essere determinato simulando una prova di trazione, del tutto identica a quelle effettuate finora, su un provino rettangolare costruito senza intagli laterali e con i vertici opposti coincidenti con punti baricentrici di celle elementari. In definitiva il modulo di Young relativamente all’angolo θ = 0° può essere assunto E(θ=0°) = 82500 MPa, mentre il coefficiente di Poisson ν(θ=0°) = 0.23.

Tralasciando i valori singolari in θ = 0° e θ = 45° (che sono peraltro di scarso interesse), l’andamento delle proprietà elastiche determinate mediante interpolazione lineare sono quelli riportati nella Fig. 2.8.17 e Fig. 2.8.18, dove per θ = 0° e θ = 45° si è imposta la tangenza nulla.

86 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2x 10 4 Theta [gradi] M odu lo d i Y oun g [ M P a ]

Fig. 2.8.17:Modulo di Young con tangenza orizzontale per θ=0° e θ=45°

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 Theta [gradi] C oef fi c ient e di P o is s o n

87 I grafici sopra riportati adesso possono essere in buona misura approssimati con una funzione polinomiale piuttosto semplice (del 4° grado) poiché si tratta di funzioni monotone, regolari e con variazioni di gradiente dolci. La funzione approssimante del modulo di Young è:

E(θ) = -0.0026 · θ4 + 0.5013 · θ3 - 23.156 · θ2 - 38.805 · θ + 80837

dove l’angolo θ è espresso in gradi, il cui grafico è riportato in nero in Fig. 2.8.19, dove in rosso si è riportata la funzione interpolante lineare per un confronto diretto; per completezza si sono rappresentati anche i valori di discontinuità con stelline viola.

Fig. 2.8.19: Funzione approssimante del modulo di Young in nero e funzione interpolante in rosso

La funzione polinomiale approssimante del coefficiente di Poisson, anch’essa del 4° grado è data dall’espressione:

ν(θ) = -0.347 · 10-7 · θ4 - 0.2076 · 10-6 · θ3 + 0.156 · 10-3 · θ2 - 0.457 · 10-3 · θ + 0.243

dove l’angolo θ è espresso in gradi, il cui grafico è riportato in nero in Fig. 2.8.20 , dove in blu si è riportata la funzione interpolante lineare; per completezza si sono riportati anche i valori singolari rappresentati da stelline viola.

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