Simulazioni SwitcherCad del circuito di Chua

Sono state effettuate le simulazioni SwitcherCad del circuito usando i reali valori dei componenti e dei parametri con i quali è stato realizzato, comparando i risultati delle simulazioni numeriche con i risultati sperimentali ottenuti in laboratorio.

Le simulazioni mostrano un ottimo accordo, qualitativo e quantitativo con le dinamiche misurate.

In figura 5.1 è riportato lo schema circuitale del circuito di Chua

84 L’induttore realizzato in modo virtuale ed il “Diodo di Chua” sono

implementati a parte

85 Figura 5.3. diodo di Chua

I vari modi di funzionamento legati a questo particolare tipo di circuito ci consentono di apprezzare come cambia la dinamica del sistema al variare di uno dei suoi parametri. Infatti variando R variano conseguentemente anche i punti di equilibrio delle regioni esterne della caratteristica non lineare.

86 Per R sufficientemente grande si ha che i punti di equilibrio delle regioni esterne sono stabili, mentre l’origine è un punto instabile. Il sistema si porterà, a seconda del suo stato iniziale, su uno dei punti di equilibrio stabile per rimanervi indefinitamente.

Esponiamo i risultati, presentando prima quelli numerici, seguiti da quelli reali, prelevati dal circuito fisico.

Questo è il primo caso che analizziamo: 1. Valore R=2100 Ohm

Figura 5.4. andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2, ottenuto con SwitcherCad

87 Figura 5.5. spazio di stato, ottenuto con SwitcherCad

Siamo di fronte ad un cosiddetto “Punto Fisso”, come si puo’ notare da quanto evidenziato dall’oscilloscopio (Fig.5.6):

88 Diminuendo R la parte negativa degli autovalori complessi delle regioni esterne diminuisce e crescerà il tempo necessario all’orbita per portarsi in uno dei punti di equilibrio stabile. Diminuendo ulteriormente R la traiettoria passa dalle regioni esterne a quella interna e da questa nuovamente in quella esterna di partenza, dando così origine ad un’orbita periodica che esegue un solo giro intorno al punto di equilibrio instabile, questo viene detto “Ciclo limite 1”, Figura 5.9

Questo è il secondo caso che analizziamo: 2. Valore R = 1955 Ohm

Figura 5.7. andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2 ottenuto con SwitcherCad

89 Figura 5.8. spazio di stato, ottenuto con SwitcherCad

90 Diminuendo ancora si arriva da un valore di R per cui si ottiene la biforcazione, in corrispondenza del quale i punti di equilibrio delle regioni esterne perdono la loro stabilità e i punti instabili del sistema passano da uno a tre.

La biforcazione consente all’orbita di eseguire due giri attorno all’instabilità, questo cliclo viene detto “Ciclo limite 2”, Figura 5.10

Figura 5.10.andamento temporale delle tensioni e spazio di stato reali .

91 Questo è il terzo caso che analizziamo:

3. Valore R = 1937 Ohm

Figura 5.11 andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2 ottenuto con SwitcherCad

92 I cicli diventeranno 4,8,16,32 e così via fino a raggiungere ,al limite, infiniti cicli dell’orbita. Questa situazione corrisponde ad uno strano attrattore detto “Strano attrattore a spirale di Chua”, Figura 5.13

93 Questo è il quarto caso che analizziamo:

4. Valore R = 1906 Ohm

Figura 5.14. andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2 ottenuto con SwitcherCad

94 il comportamento delle regioni esterne, non altera quello della regione interna. L’orbita nelle regioni esterne segue sempre un andamento a spirale con centro il punto di equilibrio instabile , ma ora esegue una espansione e dunque ritorna nella regione interna dopo un periodo più o meno lungo

Diminuendo ancora R appaiono diversi attrattori di questo tipo separati uno dall’altro attraverso zone ambigue. L’orbita esegue un fissato numero di giri attorno al suo punto instabile poi passa nella zona interna della linearità dell’elemento non lineare dove compie, a sua volta, una spirale attorno alla sua instabilità per poi tornare nella zona di partenza, Figura 5.16.

Questa situazione corrisponde ad uno strano attrattore detto “Finestra nel caos”.

95 Questo è il quinto caso che analizziamo:

5. Valore R = 1845 Ohm “finestra nel caos”

Figura 5.17. andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2, ottenuto con SwitcherCad

96 Le due spirali si uniranno nel formare questo nuovo tipo di attrattore Chiamato “Attrattore Double Scroll”, Figura 5.19

Figura 5.19. andamento temporale delle tensioni e spazio di stato reali Questo è il sesto caso che analizziamo:

6. Valore R = 1810 Ohm

97 Figura 5.21. spazio di stato, ottenuto con SwitcherCad

Attraverso le simulazioni numeriche successivamente si osserva un largo ciclo limite per il quale si ottiene il limite critico in cui un’ulteriore diminuzione del valore di R provocherebbe una instabilità generale del sistema, che porterebbe l’orbita ad una divergenza a spirale verso l’infinito, Figura 5.23., ma a tale valore non è possibile arrivare col nostro circuito di Chua reale, per cui tale risultato deve essere preso come un ipotetico limite inferiore per il parametro R.

98 Questo è l’ipotetico settimo caso che analizziamo:

7. Valore R = 1485 Ohm

Figura 5.22. andamento temporale delle tensioni ai capi di C1 e C2, ottenuto con SwitcherCad

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