La sincronizzazione, come abbiamo già visto nel primo capitolo, è un processo dove alcuni sistemi (equivalenti o non equivalenti), modificano il loro comportamento sia a causa di una successiva di- versa configurazione di accoppiamento, sia a causa di un forzamento esterno. L’ origine di tale parola deriva dal greco , e significa “condividere il tempo”. Inizialmente l’attenzione degli studiosi è stata rivolta essenzialmente ai sistemi periodici, mentre recentemente si è spostata sui sistemi caotici. Quando questi sono accoppiati, possono avere luogo diversi tipi di sincronizzazione30:
1) Sincronizzazione completa o identica, è la più semplice forma di sincronizzazione e consiste in un perfetto aggancio delle traiettorie di sistemi caotici identici nel corso del tempo. 2) Sincronizzazione di fase, si ha quando coppie di oscillatori non identici a regime raggiun-
gono la sincronizzazione della fase, anche senza la sincronizzazione dell’ampiezza.
3) Sincronizzazione ritardata, implica un ritardo tra l’output di un sistema e l’output di un al- tro.
4) Sincronizzazione generalizzata, considera sistemi differenti ed associa l’uscita di un siste- ma all’output di un altro sistema.
5) Ritardo intermittente, cioè il fenomeno della sincronizzazione ritardata può essere inter- rotto per brevi periodi.
6) Sincronizzazione imperfetta di fase, quando la sincronizzazione di fase viene interrotta per brevi periodi.
7) Altri tipi.
Gli studi più recenti hanno riguardato i sistemi estesi nello spazio o di dimensioni infinite, per stu- diare meccanismi che riguardano la desincronizzazione e per definire un approccio formale uni- forme, che si possa applicare a differenti tipi di sincronizzazione; a tale riguardo è stato studiato il comportamento di reti complesse con diverse topologie di accoppiamento, in particolare di tipo small-world e scale-free. Il metodo chiamato Master Stability Function (vedi cap. 2 par. 2.2) , ini- zialmente introdotto per reti di oscillatori accoppiati, è stato più tardi esteso al caso di reti com- plesse di sistemi dinamici, accoppiate con topologie arbitrarie. Ricordando che la MSF nella termi- nologia dei sistemi dinamici, rappresenta il più grande esponente di Lyapunov, e viene valutata graficamente in funzione del parametro λ2 dove c è la costante di accoppiamento, condizione
necessaria per ottenere la sincronizzazione è che la MSF sia negativa al crescere del parametro k. Si possono distinguere tre tipologie di MSF, in cui per k=0 la MSF assume valori positivi:
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S. Boccaletti, V. Latorab, Y. Moreno, e M. Chavez , D.-U. Hwanga , Complex networks: Structure and dynamics, Phys-
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1) La MSF è monotonicamente crescente ed inizialmente positiva.
2) La MSF è monotonicamente decrescente, inizialmente positiva e diventa negativa in corri- spondenza di un determinato valore di k.
3) La MSF è inizialmente positiva, diventa negativa in corrispondenza di un determinato valore ka per poi ridiventare positiva per un determinato valore kb, con kb>ka.
E’ evidente che per gli ultimi due casi la soluzione è banale, cioè si ha sincronizzazione nel secondo caso a partire da un valore di k per cui la funzione si annulla e nel terzo caso per k ,ka ,kb]. Una so-
luzione non banale nel secondo caso, che è il più ricorrente, si ha quando la funzione F(x) è perio- dica, ed è periodico l’intervallo [ka,kb] in cui la MSF si annulla, per cui la condizione di stabilità31 sa-
rà sempre soddisfatta ogniqualvolta λN/ λ2 <kb/ka..essendo, come già noto, λ2 il maggiore autova-
lore della matrice di connessione, escluso lo zero, e λN il minore (e viceversa, se si considerano i
valori assoluti dei due autovalori). Nel primo caso,invece,si deve dire che non si avrà mai una sin- cronizzazione stabile. Si vuole inoltre distinguere il caso dell’accoppiamento simmetrico, in cui la matrice di connessione Ac ha solamente autovalori reali, che possono essere ordinati come
0 λ1≥ λ2≥ ………≥ λN, da una configurazione in cui la matrice di connessione è asimmetrica e dia-
gonalizzabile, nella quale alcuni autovalori possono essere complessi coniugati a coppie.
Nei paragrafi seguenti si tratterà della sincronizzazione di reti non omogenee, in particolare delle reti di tipo scale-free e di quelle di tipo random.
Sincronizzazione delle reti di tipo small-world
Si può costruire la matrice di connessione di un network dinamico con connessioni di tipo NW small-world (Wang & Cheng, 2001). Nella matrice di connessione nearest-neighbor Anc, se
Aij = Aji = 0 si pone Aij = Aji = 1 con probabilità p, poi si utilizza il solito metodo per gli elementi
della diagonale principale. Chiamiamo questa matrice ASW e sia λ2SW il suo autovalore maggiore e
diverso da zero, per cui se:
≥ | ̅ λ |
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S. Boccaletti, V. Latorab, Y. Moreno, e M. Chavez , D.-U. Hwanga , Complex networks: Structure and dynamics, Phys-
ics Reports 424 (2006), 175 – 308, pag. 240
K=cλ2
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la corrispondente rete small-world sarà sincronizzata (vedi figure 3.14 e 3.15)32.
Ricordiamo che mentre per le reti di tipo globally connected è sufficiente per ogni N che il coeffi- ciente di accoppiamento c sia maggiore di zero, per le altre reti esiste un fattore di accoppiamento di soglia | |>0 per cui la rete sarà sincronizzata se > ̅
Si può vedere che:
1)Per ogni valore di N λ2SW(p,N) decresce a -N per p che aumenta da 0 a 1
2) Per ogni valore di p (0,1+, λ2SW(p,N) decresce a -∞ per N → ∞
I risultati ottenuti implicano che per ogni tipo di accoppiamento c > 0
3) Per ogni N >| ̅| , esiste un valore critico, p̅ , tale che se p̅ ≤ p ≤ la rete dinamica di tipo small-world si sincronizzerà.
4) Per ogni p (0 - esiste un valore critico, N̅, tale che se N > N̅ la rete raggiunge la sincroniz- zazione.
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Figure tratte da Xiao Fan Wang, op.cit. fig.19 pag. 907
Figura3.14 Valori di λ2SW (p,N) come funzione della probabilità p: (a) N=200 ; (b) N=500
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Questi risultati implicano che la possibilità di raggiungere la sincronizzazione nella rete nearest- neighbor coupled si rafforza molto aggiungendo una minuscola frazione di connessioni a largo rag- gio, e questo spiega il vantaggio delle reti di tipo small-world per la sincronizzazione del caos.
Sincronizzazione delle reti di tipo scale-free
Se Asf (m̅ ,N) è la matrice di connessione di una rete dinamica con connessioni di tipo scale-free se-
condo l’algoritmo di arabasi, e m m m̅ , è stato ricavato33 che per un fissato valore di m̅ , il secondo maggiore autovalore della matrice di connessione, λ2sf(m̅ ,N), è una funzione decrescente
e limitata di N. D’altra parte
m
→ λ (m̅ N) λ̅ (m̅ ) < 0
Il che significa che il secondo autovalore decresce verso una costante negativa, con il tendere di N all’infinito. In particolare per m̅ 3 7 , si ha rispettivamente λ̂ (m̅ ) ≈ -0.94 , -0.97 , -0.98 .
Questo implica che l’aggiunta di nuovi nodi in uno scale-free network non può ridurre la sincroniz- zabilità della rete.
A causa del processo di auto-organizzazione di una rete scale-free, la possibilità di sincronizzare ta- li networks con un gran numero di nodi rimane quasi invariata aggiungendone nuovi.
Ricordando che λ2sc = -1 per uno star-coupled network, la sincronizzabilità di una rete di tipo sca-
le-free è quasi la stessa di quella di una rete a stella. Questo può essere dovuto alla distribuzione di connettività estremamente disomogenea dello scale-free, nel quale pochi nodi hub si compor- tano come un singolo centro dello star-network.
Per un numero sufficientemente grande di nodi la sincronizzazione può essere raggiunta se : ≥ |
λ |
per esempio34 per m̅ 3 7 la sincronizzazione può essere raggiunta, rispettivamente, con c > 1.35 , c > 1.31 , c > 1.30, con a=1,27.