Sistema di trasmissione

51

Figura 3.3.3.1 – Funzionamento ideale del motore BLDC senza carico in campo continuo e in campo discreto (sinistra) e relativo scostamento tra gli andamenti (destra).

Frequenza di campionamento pari a 25·fn e 150·fn.

La Figura 3.3.3.1 (sinistra) mostra la risposta al gradino del motore a un duty cycle completamente positivo sia in campo continuo che in campo discreto con un tempo di campionamento Ts = 0.033 secondi e Ts = 0.0055 secondi. È possibile notare che con una frequenza di campionamento pari a 25·fn (Ts = 0.033 s) l’andamento discreto discosta rispetto a quello continuo: la velocità angolare si assesta a 0.0140 secondi (andamento continuo) e a 0.297 secondi (andamento discreto) alla velocità di 160 rpm.

Aumentando la frequenza di campionamento a un valore pari a 150·fn (Ts = 0.0055 s), si può osservare un netto miglioramento nella sovrapposizione dell’andamento discreto rispetto a quello continuo eccetto che per il secondo campionamento che presenta uno scostamento pari a 56 rpm.

52

Figura 3.4.1 – Configurazione con una sola cinghia di distribuzione [25]. I numeri individuano i rami della cinghia.

Tabella 3.4.1 – Spostamento del carrello in diverse condizioni di moto.

Rotazione del motore Spostamento del carrello

Motore 1 Motore 2 X Y

Orario Orario - 0

Orario - - -

Orario Antiorario 0 -

- Orario - +

- Antiorario + -

Antiorario Orario 0 +

Antiorario - + +

Antiorario Antiorario + 0

In Figura 3.4.2 viene proposto uno schema delle forze e dei componenti che contribuiscono al movimento (non sono state disegnate le inerzie delle porzioni di cinghia).

53

Figura 3.4.2 – Schema delle dinamiche del layout [7].

I simboli mostrati rappresentano:

• x, y: spostamento dei carrelli in orizzontale e verticale;

• θ, φ: spostamenti angolari del motore 1 e del motore 2;

• α: spostamento angolare delle pulegge folli;

• Iw1, Iw2: momenti di inerzia delle pulegge e delle pulegge folli;

• mw1, mw2: masse delle pulegge e delle pulegge folli;

• rw1, rw2: raggi delle pulegge e delle pulegge folli;

• Im: momento di inerzia del motore (parametro dato dal costruttore);

• mx, my: masse dei carrelli X e Y;

• M1, M2: coppie motrici erogate da motore 1 e motore 2;

• Lx, Ly: distanza tra i centri delle pulegge;

• lx, ly: distanza tra i centri delle pulegge folli.

È possibile scrivere le equazioni del moto in funzione di x e y utilizzando l’approccio Lagrangiano.

0

k k

d L L

dt q q

  −  =

  

  (3.42)

L T V= − (3.43)

{ , , } { , , }

p

p

q x y q x y





=

= (3.44)

L’energia cinetica T e potenziale V possono essere scritte nel seguente modo:

54

.

Xcarrello Ycarrello motori pulegge p folli cinghia pendolo

pendolo

T T T T T T T T

V V

= + + + + + +

= (3.45)

Dove:

2 2

2

2 2

2 2

1 2

. 2

2 2 2 2 2

1 2

2 2 2

1 ( )

2 1 2

1 ( )

2

( )

2

2 (2 ) 2 ( ) 2

1 1

( )

2 2

Xcarrello x

Ycarrello y

motori m

pulegge w

p folli w

cinghia x y y b b

pendolo G p p p

pendolo

T m x y

T m y

T I

T I

T I

T l x L l y I I

T J m x y z

V mgl

 

 



    



= +

=

= +

= +

=

= + − + + +

= + + +

= − cos_p

(3.46)

I termini non ancora specificati nelle equazioni (3.46) sono:

• m: massa del pendolo;

• JG: momento di inerzia di massa del pendolo rispetto al suo centro di massa;

• l: distanza tra fulcro e centro di massa;

• θp: posizione angolare del pendolo;

• μ: coefficiente di attrito delle guide;

• g: accelerazione gravitazionale;

• ρ: peso per unità di lunghezza della cinghia di distribuzione;

• yp: posizione della massa concentrata del pendolo in direzione Y (eq. (3.47));

• zp: posizione della massa concentrata del pendolo in direzione Z (eq. (3.48));

• Ib1, Ib2: momenti di inerzia di massa della porzione di cinghia avvolta attorno alle pulegge e alle pulegge folli (eqs. (3.49)).

sin cos

p p

p p p

y y l y y l



 

= +

= + (3.47)

cos sin

p p

p p p

z l

z l



 

= −

= + (3.48)

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

1 ( )

16

1 ( )

16

b p p w

b p p w

I r r r

I r r r





= −

= −

(3.49)

55

L’eq. (3.45) è convertita in coordinate Cartesiane osservando che:

1

1

1

( )

( )

w

w

w

x y r x y

r x r







= − −

= − +

= +

(3.50)

Le equazioni (3.51) rappresentano i risultati ottenuti seguendo l’approccio Lagrangiano sopra descritto.

,

, 2

0 0

( ) 0

eq Y p Y

eq X X

G p p

M y cy ml F

M x F

J ml mly mgl



 

+ + − =

− =

+ + + =

(3.51)

Dove:

2 2

, 2 1 1 2

1 2

, 2 1 1

1

4( )

( ) 4 ( 2 ) 2

2

( ) 4 ( 2 ) 4 (2 )

2

m w b

eq X x w b x

w w

m

eq Y x y w b y y

w

I I I

M m m I I l

r r

M m m m I I I L l

r





= + + + + + + +

= + + + + + + −

(3.52)

Tramite opportuni accorgimenti cinematici è possibile modificare l’eq. (3.51) sostituendo alle forze applicate ai carrelli Fx e Fy le coppie motrici fornite dai due motori tramite il sistema di trasmissione (eqs. (3.53)).

1 1

2 1

1( ( 2( )) )

1( )

x y y x w

x y y w

M F F m m m g r

M F F m g r

 

 

= − − − + +

= − + +

(3.53)

Dove:

• η è l’efficienza meccanica considerata pari a 93% a causa dell’inestensibilità della cinghia di distribuzione;

• Fx è la forza applicata al carrello in direzione X;

• Fy è la forza applicata al carrello in direzione Y;

• c: coefficiente di smorzamento viscoso del carrello;

• l’ultimo termine della prima e seconda equazione (eqs. (3.53)) rappresenta la coppia resistente dovuta all’attrito statico tra guide carrelli e carrelli e viene considerata nulla per semplificare lo studio.

56

L’eq. (3.53) non considera le masse e le inerzie dei componenti collegati al motore poiché sono già state considerate all’interno delle equazioni (3.51).

A questo punto è possibile modificare la funzione di trasferimento del motore (eq. (3.39)) andando ad aggiungere alla sua inerzia Im = J (parametro dato dal costruttore) le inerzie dei componenti collegati al motore stesso in modo da valutare il suo comportamento sotto determinate condizioni di carico.

( ) ( )

t

e t eff

K s

V s K K RJ s

 =

+ (3.54)

Dove:

2 1

1

eff eq w

J M r

= (3.55)

Viene comunemente applicata la seguente equazione per ottenere la costante di tempo:

eff m

e t

RJ

 = K K (3.56)

La valutazione dell’inerzia efficace al motore consta dell’effetto di tutte le componenti che subiscono variazione di velocità nel sistema (carrello Y, carrello X, rotori dei motori, pulegge, pulegge folli (idlers) e tratti di cinghia). In Tabella 3.4.2 sono riportate le percentuali delle inerzie dei singoli componenti calcolate rispetto all’inerzia totale in modo da valutare quali possono essere trascurati nel calcolo dell’inerzia efficace.

Tabella 3.4.2 – Apporto percentuale sull’inerzia agente sul sistema dei singoli componenti rispetto all’inerzia totale.

Componenti %

Carrello Y 52.40

Carrello X 27.33

Inerzia motori 11.01

Pulegge 1.81

Pulegge folli 0.76

Tratti di cinghia 6.69

È quindi possibile ignorare gli effetti causati da pulegge e pulegge folli.

Ora, è possibile modificare la costante di tempo meccanica del motore in modo da considerare l'inerzia aggiuntiva dei carrelli e delle masse collegate al motore stesso.

57

È necessario distinguere 3 differenti configurazioni di moto che corrispondono a diverse condizioni di carico:

• movimento X, affetto principalmente dalla sola inerzia del carrello X (valore piccolo) e richiede la rotazione di entrambi i motori;

• movimento Y, affetto principalmente dalle inerzie di entrambi i carrelli e richiede la rotazione di entrambi i motori;

• movimento XY, affetto dalle inerzie di entrambi i carrelli e richiede la rotazione di un solo motore.

In base alle configurazioni di moto è possibile modificare il valore di Meq, e di conseguenza il valore di Jeff, in modo da considerare le differenti condizioni di carico. In Tabella 3.4.3 e Tabella 3.4.4 sono riportate le formulazioni della massa equivalente al motore Meq e della coppia resistente Cr per ogni motore e per ogni configurazione di moto.

Tabella 3.4.3 – Meq e Cr del motore 1 nelle 3 differenti configurazioni di moto.

Configurazioni di

moto Meq Cr

X Meq,X 1

1( ( m_x m g r) ) _w

 +

Y Meq,Y 1

1( ( m_x m m g r_y) ) _w

 + +

XY Meq,X + Meq,Y 1

1( (2( m_x m) m g r_y) )_w

 + +

Tabella 3.4.4 – Meq e Cr del motore 2 nelle 3 differenti configurazioni di moto.

Configurazioni di

moto Meq Cr

X Meq,X 1

1( ( m_x m g r) ) _w

 +

Y Meq,Y 1

1( ( m_x m m g r_y) ) _w

 + +

XY Meq,X + Meq,Y 1

1(m g r_y ) _w



Per semplicità, sarà analizzato solamente il caso in cui il carrello si sposta lungo la direzione Y all’interno del banco prova (Figura 3.4.1), ovvero il caso in cui entrambi i motori forniscono al sistema una coppia uguale in modulo ma diversa in direzione (se un motore ruota in senso orario, l’altro ruoterà in senso antiorario e viceversa).

In Tabella 3.4.5 e in Figura 3.4.3 sono riportati i risultati e questi sono confrontati con quelli precedenti.

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Tabella 3.4.5 – Calcolo della costante di tempo meccanica.

Caratteristica Proprietà Valore

Proprietà del carico

Meq;Y, Massa equivalente al motore [kg] 4.588 rw1, Raggio della puleggia [m] 0.016 Jeff, Momento di inerzia di massa effettivo [kg·m²] 0.0013 Costanti τm, costante di tempo meccanica con carico [s] 0.0888 τm, costante di tempo meccanica senza carico [s] 0.0036

Figure 3.4.3 – Funzionamento ideale del motore BLDC con carico e senza carico.

Figure 3.4.4 – Funzionamento ideale con carico del motore BLDC in campo continuo e in campo discreto (sinistra) e relativo scostamento tra gli andamenti (destra). Frequenza

di campionamento pari a 25·fn e 150·fn.

Il comportamento transitorio soffre drammaticamente l'aggiunta dell’inerzia del carrello e il tempo di assestamento, conseguentemente, aumenta a 0.347 secondi.

Il confronto tra la Figura 3.3.3.1 (sinistra) e la Figura 3.4.4 (sinistra) permette di osservare un netto miglioramento della sovrapposizione dell’andamento discreto rispetto a quello continuo con un tempo di campionamento Ts = 0.033 secondi. Tuttavia, come detto in precedenza, si è deciso di utilizzare una fcamp = 150·fn (Ts = 0.0055 secondi) per evitare problemi nell’acquisizione dei segnali.

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Lo scostamento tra andamento continuo e discreto diminuisce all’aumentare della frequenza di campionamento (Figura 3.4.4 – destra)

Quindi, da una prima analisi, si può affermare che il tempo di campionamento scelto Ts = 0.0055 secondi è ottimale anche per la discretizzazione della funzione di trasferimento che collega la tensione applicata al motore alla velocità angolare (o coppia motrice) in uscita.

Nel documento Progettazione e realizzazione di un banco prova per il controllo del pendolo piano = Design and construction of a test rig for plane-pendulum control (pagine 52-60)