Sistemi di equazioni differenziali lineari

Programma 6.4 Crank-Nicolson

6.4 Sistemi di equazioni differenziali lineari

In questo paragrafo estenderemo i metodi introdotti per un’equazione del primo ordine a un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti.

Il problema che consideriamo è il seguente. Data una funzione b= b t

( )

^!Rⁿ^{e una}

matrice quadrata A= a

( )

ij ^{, i, j}= 1,2,...,n , si cerca la funzione ^u= u t

( )

^!Rⁿ^{tale che}

dt = Au + b t

( )

du₁

dt = a₁₁u₁+ a₁₂u₂ + ...+ a_1nu_n + b₁

( )

t du₂

dt = a₂₁u₁+ a₂₂u₂ + ...+ a_2nu_n+ b₂

( )

t ...

du_n

dt = a_n1u₁+ a_n2u₂+ ...+ a_1nu_n + b_n

( )

(6.176)

con

u t

(

= t₀

)

^{= u}⁰ ^!

u₁

(

t= t₀

)

^{= u}¹^{( )}⁰

u₂

(

t= t₀

)

^{= u}²^{( )}⁰

...

u_n

(

t = t₀

)

^{= u}ⁿ^{( )}⁰^.

(6.177)

Il sistema di equazioni (6.176) con le condizioni iniziali (6.177) ammette sempre una ed una sola soluzione, [6.1]. Nel prossimo paragrafo analizzeremo la situazione più generale di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine tempo varianti e/o non lineari.

Esempio 6.16

Si consideri il circuito dinamico lineare illustrato in Figura 6.9. Esso contiene due condensatori.

Figura 6.9 Un circuito lineare del secondo ordine.

Le equazioni caratteristiche dei condensatori sono C₁dv₁

dt = i₁, (6.178)

C₂dv₂

dt = i₂. (6.179)

Ora bisogna esprimere le due intensità di corrente i₁, i₂ in funzione delle due tensioni v₁, v₂ attraverso la parte resistiva del circuito. Per ispezione diretta del circuito si ottiene:

i₁ = e t

( )

^{! v}¹

R₁ ! i₂, (6.180)

i₂ = v₁! v2

R₂ . (6.181)

Combinando le (6.178)-(6.181) otteniamo dv₁

dt = ! 1

R₁C₁ + 1 R₂C₁

&'v₁+ v₂

R₂C₁ + e t

( )

R₁C₁, dv₂

dt = v₁

R₂C₂ ! v₂

R₂C₂. (

)

(6.182)

Questo sistema deve essere risolto con assegnate condizioni iniziali per v₁ e v₂.

♦ La soluzione generale del sistema (6.176) è data dalla sovrapposizione della soluzione generale dell’equazione omogenea associata e di una soluzione particolare che dipende dal forzamento b= b t

( )

Si supponga (solo per semplicità) che gli autovalori !₁,!₂,...,!_n della matrice _A siano tutti distinti. Indichiamo con w1, w₂,..., w_n i corrispondenti autovettori,

Aw^k =!kw_k per k= 1,2,...,n . (6.183) La soluzione generale dell’equazione omogenea associata è data da

u t

( )

⁼ ^ckw_ke^!^k^t

k=1

"

n ^(6.184)

dove c₁, c₂,..., c_n sono n costanti arbitrarie. Gli autovalori della matrice _A sono reali e/o complessi coniugati. A ciascun autovalore reale !k ="k corrisponde un modo di evoluzione naturale di tipo esponenziale

c_kw_ke^!^k^t, (6.185)

mentre a ciascuna coppia di autovalori complessi coniugati !_k ="_k ± i#_k corrisponde un modo di evoluzione naturale di tipo oscillante,

c_ke^!^k^tRe w

(

_ke^i"^k^t

)

^. ^(6.186)

Se Re

{ }

!k ^{> 0} il modo naturale corrispondente è instabile, se Re

{ }

!k ^{= 0} il modo naturale corrispondente è stabile, se Re

{ }

!_k ^{< 0} il modo naturale corrispondente è asintoticamente stabile.

Introduciamo i campioni

u^{( )}⁰ = u t

( )

0 ^,^u^{( )}¹ ^{= u t}

( )

¹ ^{, …,}^u^{( )}^k ^{= u t}

( )

^k ^{, …} ^(6.187)

b^{( )}⁰ = b t

( )

₀ ^,^b^{( )}¹ ^{= b t}

( )

¹ ^{, …,}^b^{( )}^k ^{= b t}

( )

^k ^{, … .} ^(6.188)

La soluzione numerica del sistema (6.176) con la condizione iniziale (6.177) può essere ottenuta adottando le stesse tecniche di approssimazione usate per risolvere una singola equazione differenziale del primo ordine. Ora illustreremo i metodi di Eulero e il metodo di Crank-Nicolson per il sistema (6.176). L’ordine e la consistenza sono una proprietà intrinseche del metodo impiegato per approssimare l’operatore di derivata prima e per interpolare la funzione a secondo membro dell’equazione, quindi non cambiano se al posto di funzioni scalari si considerano funzioni vettoriali. Di conseguenza, per l’ordine e la consistenza valgono tutte le proprietà già illustrate per una singola equazione differenziale del primo ordine.

6.4.1 Metodo di Eulero esplicito

Operando come nel § 6.2 otteniamo per la derivata di u t

( )

all’istante tk

dt ^t=t^k = u⁽^k+1⁾! u^{( )}^k

"t + O "t

( )

^. ^(6.189)

Combinando le equazioni (6.176), (6.189) e ignorando i termini O !t

( )

² otteniamo la formula di Eulero esplicito per il sistema (6.176)

u⁽^k+1⁾ ! I + "tA

( )

^u^{( )}^k ^{+ "tb}k (6.190) dove _I è la matrice identità n! n . Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.190).

6.4.1.1 Il problema della stabilità numerica

Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Posto

!u^{( )}^k = !u^{( )}^k " u^{( )}^k , (6.191) dove u^{( )}¹, u^{( )}² ,..., u^{( )}^k ,... e !u^{( )}¹,!u^{( )}² ,...,!u^{( )}^k ,... sono le sequenze generate a partire dalle condizioni iniziali u^{( )}⁰ e !u^{( )}⁰ , rispettivamente, si ha immediatamente che

!u⁽^k+1⁾ = "!u^{( )}^k per k = 0,1,... (6.192) dove

! = I + "tA. (6.193)

Indichiamo con W^A la matrice le cui colonne sono gli autovettori della matrice _A,

W^A = w1 w₂ ... w_n . (6.194)

Essendo, per ipotesi, gli autovalori di _A distinti, gli autovettori di _A sono linearmente indipendenti, quindi la matrice W^A è invertibile. Per definizione di W^A abbiamo

W^A^!1AW_A = D_A, (6.195)

dove

D^A = diag

(

!1, !2,...,!n

)

^(6.196)

è la matrice diagonale degli autovalori di _A. Utilizzando la (6.195) la matrice ! può essere così riscritta,

! = W^A

(

I+ "tD_A

)

^W^A^#1^. ^(6.197)

Sostituendo la (6.197) otteniamo

W^A^!1"u⁽^k+1⁾ = I + #tD

(

)

^W^A^!1^"^u^{( )}^k ^. ^(6.198)

Posto

!y^{( )}^k " W_A^#1!u^{( )}^k , (6.199)

la (6.198) può essere così riscritta

!y⁽^k+1⁾ = I + "tD

(

)

^!^y^{( )}^k ^. ^(6.200)

Essendo

!u^{( )}^k = W_A!y^{( )}^k , (6.201)

e det W

( )

^A ^{! 0}, le proprietà di stabilità della sequenza !u^{( )}⁰,!u^{( )}¹,... coincidono con quelle della sequenza !y^{( )}⁰,!y^{( )}¹,..., e viceversa.

Figura 6.10 Diagramma di stabilità per il metodo di Eulero esplicito.

Dato che D^A è una matrice diagonale, la (6.200) si riduce a n equazioni alle differenze per i modi naturali non accoppiate,

!y_h⁽^k+1⁾ ="_h!y_h^{( )}^k per h= 1,2,...,n . (6.202) dove

!i = 1+ "t#i. (6.203)

Si consideri il numero complesso

r_h^{( )}^e =!h + 1

"t =!h # # 1

$%& '

() (6.204)

sul piano delle frequenze naturali !h (piano di Gauss) del sistema di equazioni (6.176).

Questo numero è la differenza tra la frequenza naturale !h e

(

!1 / "t

)

. Utilizziamo la rappresentazione vettoriale per i numeri complessi per rappresentare il numero complesso r_h^{( )}^e . Esso è il vettore che si ottiene dalla differenza tra il vettore !_h e il vettore

(

!1 / "t

)

è uguale al vettore che ha l’origine coincidente con la punta del vettore

(

!1 / "t

)

^{e la}

punta coincidente con la punta del vettore !h, Figura 6.10a. Per assegnato !t, le frequenze naturali !_h per cui

r_h^{( )}^e = !h + 1

"t = 1

"t (6.205)

appartengono alla circonferenza C_!t centrata nel punto P! "1 / #t,0

( )

del piano complesso e di raggio 1 /!t, Figura 6.10b. Per queste frequenze naturali si ha !_h = 1; per le frequenze naturali che si trovano all’interno della circonferenza C_!t si ha r_h^{( )}^e < 1 / !t , quindi !h < 1; infine, per le frequenze naturali che si trovano all’esterno della circonferenza C_!t si ha !_h > 1 / "t, quindi !_h > 1.

Abbiamo trovato un criterio estremamente semplice ed elegante per determinare le proprietà di stabilità della soluzione numerica del sistema (6.176) ottenuta attraverso il metodo di Eulero esplicito. Per un assegnato !t, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali all’interno della circonferenza C_!t sono asintoticamente stabili, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali sulla circonferenza C_!t sono stabili e le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali esterne alla circonferenza C_!t sono instabili. E’ evidente, allora, che il metodo di Eulero esplicito preserva la stabilità numerica dei modi instabili per ogni !t > 0. Questo metodo non è in grado di preservare la stabilità numerica dei modi stabili, Re

{ }

!_h ^{= 0} comunque si scelga !t > 0; può preservare la stabilità dei modi asintoticamente stabili, Re

{ }

!h ^{< 0}^,

scegliendo il passo !t in modo tale che la circonferenza C_!t li inglobi tutti al suo interno. Si osservi che per !t " 0 la circonferenza C_!t tende a ricoprire l’intero semipiano Re

{ }

!h ^{< 0}^.

6.4.2 Metodo di Eulero implicito

Operando come nel § 6.3 otteniamo per la derivata di u t

( )

all’istante tk

dt ^t=t^k+1 = u⁽^k+1⁾! u^{( )}^k

"t + O "t

( )

^. ^(6.206)

Combinando le equazioni (6.176), (6.206) e ignorando i termini O !t

( )

² otteniamo la formula di Eulero implicito per il sistema (6.176)

u⁽^k⁺¹⁾

(

I! "tA

)

^{# "tu}^{( )}^k ^{+ "tb}k+1. (6.207) Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.207). Osserviamo subito che a differenza del metodo di Eulero esplicito, nel metodo di Eulero implicito ad ogni passo temporale bisogna risolvere un sistema di equazioni lineari. Questa è indubbiamente una limitazione di questo metodo. Tuttavia, il

metodo di Eulero implicito ha proprietà di stabilità numerica molto più interessanti di quelle del metodo di Eulero esplicito.

6.4.2.1 Il problema della stabilità numerica

Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Proseguendo come per il metodo di Eulero esplicito abbiamo per !u^{( )}^k l’equazione alle differenze

!"u⁽^k+1⁾ ="u^{( )}^k per k = 0,1,... (6.208) dove

! = I " #tA

( )

^. ^(6.209)

Utilizzando la (6.195) la matrice ! può essere così riscritta,

! = W^A

(

I" #tD_A

)

^W^A^"1^. ^(6.210)

Sostituendo la (6.210) nella (6.208) otteniamo

I ! "tD

(

)

^#^y⁽^k+1⁾ ⁼^#^y^{( )}^k ^(6.211)

dove !y^{( )}^k è legato a !u^{( )}^k attraverso la (6.201). Come nell’analisi della stabilità del metodo di Eulero esplicito, le proprietà di stabilità della sequenza !u^{( )}⁰,!u^{( )}¹,...

coincidono con quelle della sequenza !y^{( )}⁰,!y^{( )}¹,..., e viceversa.

Dato che D^A è una matrice diagonale, la (6.211) si riduce alla n equazioni alle differenze non accoppiate per i modi naturali,

!y_h⁽^k+1⁾ ="h!y_h^{( )}^k per h= 1,2,...,n . (6.212) dove in questo caso

!h = 1

1" #t$_h . (6.213)

Si consideri, ora, il numero complesso

r_h^{( )}ⁱ =!h" 1

#t (6.214)

sul piano delle frequenze naturali !h del sistema di equazioni (6.176). Questo numero è la differenza tra la frequenza naturale !h e 1 /!t. Il vettore r_h^{( )}ⁱ si ottiene dalla differenza tra il vettore !h e il vettore 1 /!t: esso è uguale al vettore che ha l’origine coincidente

con la punta del vettore 1 /!t e la punta coincidente con la punta del vettore !_i, Figura 6.11a. Per assegnato !t, le frequenze naturali !h per cui

r_h^{( )}ⁱ = !_h + 1

"t = 1

"t (6.215)

appartengono alla circonferenza C_!t^{( )}ⁱ centrata nel punto P! 1 / "t,0

( )

del piano complesso e di raggio 1 /!t, Figura 6.11b. Pertanto, per le frequenze naturali che si trovano sulla circonferenza C_!t^{( )}ⁱ si ha !h = 1; per le frequenze naturali che si trovano all’interno della circonferenza C_!t^{( )}ⁱ si ha r_h^{( )}ⁱ < 1 / !t , quindi !_h > 1; infine, per le frequenze naturali che si trovano all’esterno della circonferenza C_!t si ha !i > 1 / "t, quindi !i < 1.

Figura 6.11 Diagramma di stabilità per il metodo di Eulero implicito.

Abbiamo trovato un criterio analogo a quello enunciato per il metodo di Eulero implicito per determinare le proprietà di stabilità delle soluzioni numeriche. Per un assegnato !t, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali all’interno della circonferenza C_!t sono instabili, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali sulla circonferenza C_!t sono stabili e le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali esterne alla circonferenza C_!t sono asintoticamente stabili. E’

evidente, allora, che il metodo di Eulero implicito preserva la stabilità numerica dei modi asintoticamente stabili, Re

{ }

!i ^{< 0}, per ogni !t > 0; non è in grado di preservare la stabilità numerica dei modi stabili, Re

{ }

!i ^{= 0} comunque si scelga !t > 0; può preservare l’instabilità dei modi instabili, Re

{ }

!i ^{> 0}, scegliendo il passo !t in modo

tale che la circonferenza C_!t^{( )}ⁱ li inglobi tutti al suo interno. Si osservi che per !t " 0 la circonferenza C_!t tende a ricoprire l’intero semipiano Re

{ }

!i ^{> 0}. In conclusione, le proprietà di stabilità del metodo di Eulero implicito sono complementari a quelle del metodo di Eulero esplicito.

6.4.3 Metodo di Crank-Nicolson

Operando come nel § 6.2.3 otteniamo per la derivata di u t

( )

all’istante t_k du

dt ^t^=t^k+1/2 = u⁽^k⁺¹⁾ ! u^{( )}^k

"t + O "t

( )

² ^(6.216)

dove t_k+1/2 = tk + !t / 2 . Dall’equazione (6.176) abbiamo che du

dt ^t^=t^k+1/2 = Au⁽^k+1/2⁾ + b⁽^k+1/2⁾. (6.217)

Operando come nel §6.2.3 possiamo esprimere il secondo termine della (6.217) in funzione di u⁽^k⁺¹⁾ e u^{( )}^k ,

Au⁽^k^+1/2⁾+ b⁽^k^+1/2⁾ = 1

2^!"

(

Au⁽^k⁺¹⁾ + b⁽^k⁺¹⁾

)

^{+ Au}

(

^{( )}^k ^{+ b}^{( )}^k

)

#$ + O %t

( )

² ^. ^(6.218)

Combinando le equazioni (6.216)-(6.218) e ignorando i termini O !t

( )

² otteniamo la formula di Crank-Nicolson per il sistema (6.176)

I! "t 2 A

#$% &

'(u⁽^k+1⁾ ) I +"t 2 A

#$% &

'(u^{( )}^k +"t

(

b_k + b_k+1

)

^. ^(6.219)

Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.219). Come nel metodo di Eulero implicito anche in questo caso bisogna ad ogni passo temporale risolvere un sistema di equazioni lineari. Anche il metodo di Crank-Nicolson è un metodo implicito.

6.4.3.1 Il problema della stabilità numerica

Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Proseguendo come per i metodi di Eulero abbiamo per !u^{( )}^k l’equazione alle differenze

!!"u⁽^k+1⁾ = !#"u^{( )}^k per k= 0,1,... (6.220) dove

!! = I " #t 2 A

$%& '

(), (6.221)

!! = I + "t 2 A

#$% &

'(. (6.222)

Utilizzando la (6.195) le matrici !! e !! possono essere così riscritte,

!! = W_A I" #t 2 D_A

$%& '

()W_A^"1, (6.223)

!! = W_A I +"t 2 D_A

#$% &

'(W_A⁾¹. (6.224)

Sostituendo le (6.223) e (6.224) nella (6.208) otteniamo I!"t

2 D_A

#$% &

'( )y⁽^k⁺¹⁾ = I +"t 2 D_A

#$% &

'( )y^{( )}^k (6.225)

dove !y^{( )}^k è legato a !u^{( )}^k attraverso la (6.201). Come nell’analisi della stabilità dei metodi di Eulero, le proprietà di stabilità della sequenza !u^{( )}⁰,!u^{( )}¹,... coincidono con quelle della sequenza !y^{( )}⁰,!y^{( )}¹,..., e viceversa.

Dato che D^A è una matrice diagonale, la (6.225) si riduce a n equazioni alle differenze non accoppiate per i modi naturali,

!y_h⁽^k⁺¹⁾ ="h!y_h^{( )}^k per h= 1,2,...,n . (6.226) dove in questo caso

!_h =1+ "t

2 #h

( )

A 1$ "t

2 #h

( )

A ^. ^(6.227)

Si considerino i numeri complessi

r_h^{( )}^! ="_h ! 2

#t (6.228)

r_h^{( )}⁺ =!h + 2

"t (6.229)

sul piano delle frequenze naturali !h del sistema di equazioni (6.176). Il numero r_h^{( )}^! è la differenza tra la frequenza naturale !_h e 2 /!t, invece il numero r_h^{( )}⁺ è la differenza tra la frequenza naturale !h e !2 / "t. Il vettore r_h^{( )}^! si ottiene dalla differenza tra il vettore

!h e il vettore 2 /!t: esso è uguale al vettore che ha l’origine coincidente con la punta del vettore 2 /!t e la punta coincidente con la punta del vettore !_i, Figura 6.12a. Il vettore r_h^{( )}⁺ si ottiene dalla differenza tra il vettore !h e il vettore !2 / "t: esso è uguale al vettore che ha l’origine coincidente con la punta del vettore !2 / "t e la punta coincidente con la punta del vettore !i, Figura 6.13a. Dalla Figura 6.12b è evidente che per ogni !t > 0

!k = r_k⁺

r_k^" > 1 se Re

{ }

!n ^{> 0}^, ^(6.230)

!n = r_n⁺

r_n^" = 1 se Re

{ }

!n ^{= 0}^, ^(6.231)

!m = r_m⁺

r_m^" < 1 se Re

{ }

!m ^{< 0}^. ^(6.232)

Figura 6.12 Diagramma di stabilità per il metodo di Crank-Nicolson.

In conclusione, il metodo di Crank-Nicolson preserva naturalmente, indipendentemente dal valore di !t, le proprietà di stabilità dei modi instabili (6.230), dei modi stabili (6.231) e dei modi asintoticamente stabili (6.232).

Esempio 6.17

Risolviamo il circuito di Figura 6.9 con R₁= R2 = 1!, C1 = 1mF , C2 = 1µF e e = 1V . Utilizzando il comando di MATLAB “ eig

( )

! ” calcoliamo le frequenze naturali del

circuito: sono entrambi reali e negative, !₁= "1.001#10⁶s^"1, !₂ = "0.999 #10³s^"1. Il circuito ha due costanti di tempo, !₁ = 1 / "₁ e !₂ = 1 / "₂ .

Il circuito in esame ha un regime stazionario. Per raggiungere il regime la durata della simulazione deve essere molto più grande della costante di tempo più grande, quindi almeno 10!2, ad esempio 10ms .

Se si risolve il problema con il metodo di Eulero esplicito il passo di discretizzazione deve verificare la condizione !t < 2"1. In questo caso abbiamo bisogno almeno di 5!2/!1 passi per raggiungere il regime stazionario garantendo la stabilità numerica. E’

evidente allora che il costo computazionale risulta essere direttamente proporzionale al rapporto tra la costante di tempo più grande e quella più piccola; nel caso in esame c’è bisogno almeno di 5000 iterazioni. In Figura 6.13 è riportato l’andamento della tensione

v₁

( )

t ottenuta con il Programma 6.5 (descritto nel prossimo paragrafo).

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

t (s) v

₁

(t) (V)

Figura 6.13

Il problema che abbiamo appena risolto è un esempio molto semplice di “problema stiff”. Un sistema di equazioni differenziali si dice “stiff” se la costante di tempo più grande (in modulo) è molto più grande della costante di tempo più piccola (sempre in modulo). Risolvere un problema “stiff“ con il metodo di Eulero esplicito può essere molto oneroso. Ad esempio, se non siamo interessati a conoscere la soluzione sulla scala dei tempi della costante di tempo più piccola !1, non possiamo scegliere un passo di discretizzazione molto più grande di !1, altrimenti sarebbe violata la condizione di stabilità numerica. Questa è la limitazione del metodo di Eulero implicito.

Risolviamo ora il circuito con il metodo di Eulero implicito, Programma 6.6. In questo caso l’algoritmo è numericamente stabile per qualsiasi valore di !t. Eseguiamo, ad esempio, il Programma 6.6 con N = 600 , quasi un decimo del numero di iterazioni necessario per la stabilità numerica del metodo di Eulero esplicito. La soluzione è praticamente indistinguibile da quella ottenuta con il metodo di Eulero esplicito sulla scala dei tempi di !2. Con N = 100 c’è una lieve differenza.

Risolviamo, ora, il circuito con il metodo di Crank-Nicolson, Programma 6.8. La soluzione che si ottiene con N= 60 è praticamente indistinguibile da quella ottenuta con N = 6000 applicando il metodo di Eulero esplicito. Ciò è dovuto a due fatti: il metodo di Crank-Nicolson è incondizionatamente numericamente stabile ed è del secondo ordine.

♦ Esercizio 6.11

Risolvere il circuito studiato nel Esempio 6.17 con i tre metodi alle differenze finite che abbiamo illustrato.

♦

Nel documento 6. Equazioni differenziali a derivate ordinarie (pagine 45-58)