Se i vettori di un sistema S = {(Ai, ~ai)} sono tutti tra di loro paralleli (è un caso di grande importanza in quanto si applica, per esempio, al caso della forza peso per un corpo non troppo esteso), il risultante è necessariamente parallelo ai vettori stessi, mentre il momento risultante rispetto a un polo O qualunque è parallelo a un piano ortogonale alla direzione comune dei vettori, e quindi è perpendicolare al risultante. Ne segue che il trinomio invariante è nullo e che il sistema è riducibile al solo risultante (applicato sull’asse centrale) o a una coppia.
Supponiamo −→R 6= ~0 e applichiamolo su un punto A dell’asse centrale (necessariamente parallela ai vettori dati). Poichè il sistema è equivalente a (−→R , A), −M→O deve coincidere con il momento del solo risultante (attenzione: questa proprietà non è valida in generale!). Dunque
(2.26) −M→O =X−−→
Appunti di meccanica razionale 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli
Consideriamo un sistema di coordinate (O,~ı,~,~k), con l’asse z parallelo ai vettori e indichiamo con (xA, yA, zA) le coordinate di A, con (xi, yi, zi) quelle di Ai, con Rz e aiz le uniche componenti di −→R e ~ai rispettivamente.
Da (2.26) otteniamo ~ı ~ ~k xA yA zA 0 0 Rz =X ~ı ~ ~k xi yi zi 0 0 aiz . Ne segue xARz =X xiaiz , yARz=X yiaiz. L’equazione dell’asse centrale è allora
(2.27) x = 1 Rz X xiaiz , y = 1 Rz X yiaiz. Centro di un sistema di vettori applicati paralleli
Se introduciamo un versore ~e parallelo ai vettori ~ai avremo ~ai = ai~e (ai è la componente di ~ai secondo ~e). Scelto ad arbitrio un punto O, consideriamo il punto C dato da
(2.28) −−→OC = 1
R X
ai−→
OAi (−→R = R~e6= ~0) .
Se si fanno ruotare tutti i vettori ~ai di uno stesso angolo attorno ai loro punti di applicazione, le ai ed R non cambiano e dunque il punto C definito da (2.28) rimane lo stesso. Se poi si prende un sistema di assi cartesiani con l’asse z parallelo ed equiverso a ~e, allora R e ai coincidono con Rz e aiz di (2.27), dunque le coordinate di C soddisfano l’equazione dell’asse centrale o, detto in altri termini, C sta sull’asse centrale e, in base alla sua definizione si può pensare come il punto di intersezione tra l’asse centrale del sistemaS e quello di un sistema S0 ottenuto ruotando tutti i vettori come detto sopra. Dunque C non dipende da O, in quanto l’asse centrale è una caratteristica intrinseca di un sistema di vettori a risultante non nullo.
L’indipendenza di C da O ci autorizza a chiamare il punto C centro del sistema di vettori applicati paralleli.
Si noti, perché ci servirà in seguito, che in C si può pensare applicato il risultante dei vettori dati, essendo C sull’asse centrale.
Esempio
Consideriamo il caso di due soli vettori (A1, ~a1) e (A2, ~a2), distinguendo il caso che siano concordi o discordi.
~a1 e~a2 concordi. Scegliamo anche l’asse concorde con essi, così come il vettore ~e. Nella formula (2.28) allora R = a1+ a2. Se prendiamo una volta O coincidente con A1 e una volta con A2 otteniamo
−−→ A1C = a2 −−−→ A1A2 a1+ a2 , −−→A2C = a1 −−−→ A2A1 a1+ a2 .
Dunque −−→A1C e −−→A2C sono paralleli ed equiversi, rispettivamente, ad −−−→A1A2 e −−−→A2A1. C sta quindi sul segmento A1A2. Si ha inoltre
A1C A2C = a2
a1
,
2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale
ovvero la distanza di C da A1 e A2 è inversamente proporzionale ai moduli dei due vettori. ~a1 e ~a2 discordi (ma non costituenti coppia, altrimenti tutto il discorso cade, non esistendo più l’asse centrale). Si può procedere come nel caso precedente (e il lettore è invitato a farlo per esercizio) e provare che ora C è esterno al segmento A1A2 e situato dalla parte del vettore di modulo maggiore, e vale ancora la stessa proporzione di prima. Si può provare (e lo si lascia per esercizio) che se il rapporto dei due moduli tende a 1, allora C tende
all’infinito.
In coordinate cartesiane, tenendo conto che − →R =X ~ai =X ai~e =Xai~e, da cui R =X ai, si ottiene (2.29) xC = P aixi P ai , yC = P aiyi P ai , zC = P aizi P ai .
Si noti l’analogia con le definizione di centro di massa di un sistema di punti Pi, di masse mi: (2.30) xCM = P mixi P mi , yCM = P miyi P mi , zCM = P mizi P mi . Baricentro
Il caso di vettori applicati paralleli è particolarmente importante quando si considera un sistema, “non troppo esteso”, di punti soggetti alla forza peso. In questo caso i vettori ~ai
sono le forze peso (parallele appunto se il corpo non è troppo esteso) e il punto C prende il nome di baricentro e si indica abitualmente con G (centro di gravità).
Si noti che il baricentro non esiste se le forze peso non possono essere considerate parallele. Si noti altresì che, invece, il concetto di centro di massa ha sempre senso. Se poi esistono entrambi, allora i due punti coincidono. Per provarlo si può osservare che se, in un sistema di vettori applicati paralleli, ogni vettore viene moltiplicato per un fattore k, il centro C non cambia. Si ha infatti:
−−→ OC = P ai−→OA i P ai = P kai−→OA i P kai .
Per passare dal baricentro al centro di massa si può osservare che nel primo caso ai= mig, nel secondo ai = mi.
Proprietà del baricentro
Per l’importanza che ha nelle applicazioni future occupiamoci subito un po’ più in dettaglio del baricentro di un sistema di punti, facendo dunque l’ipotesi che le forze peso siano parallele (ovvero che il sistema di punti non sia troppo esteso).
Richiamiamo, per comodità, la definizione di baricentro (che coincide con quella di centro di massa nelle ipotesi in cui ci siamo posti):
(2.31) −−→OG = P mi−−→OP
i
P mi
Appunti di meccanica razionale 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli
Segnaliamo, perché ci sarà utile in seguito, che dalla formula (2.31) si deduce la seguente
(2.32) X
mi−−→ GPi = ~0 .
Per il baricentro valgono alcune proprietà che qui riassumiamo brevemente.
Proprietà distributiva. SeS = S1∪ S2 e S1 ha baricentro G1 e risultante −→R1, mentre S2
ha baricentro G2 e risultante −→R2, allora il baricentro G di S si trova come baricentro dei due vettori −→R1 ed −→R2, applicati in G1 e G2.
Proprietà di simmetria materiale. Un sistema S ha un piano diametrale π, coniugato a una direzione s, non parallela al piano, quando a ogni punto di S ne fa riscontro un altro, di ugual massa, situato sulla parallela a s passante per il primo punto e alla stessa distanza da π, ma da banda opposta. Si veda un esempio nella figura 2.18che segue.
π
s
Figura 2.18. Piano diametrale coniugato a una direzione
Nel caso di sistemi piani si può parlare di retta diametrale coniugata a una direzione s. A volte si usano i nomi “piano (o retta) di simmetria materiale”.
Agli effetti del calcolo del baricentro si può affermare che se un sistema ha un piano di simmetria materiale, allora il baricentro vi appartiene.
Proprietà dell’involucro convesso. Il baricentro appartiene sempre all’involucro convesso del corpo.
Esempio
Baricentro di una lamina triangolare omogenea.
b A b B b C b MAC
Figura 2.19. Ricerca del baricentro di una lamina triangolare omogenea
Le mediane sono assi di simmetria materiale coniugate ai rispettivi lati: G coincide con il baricentro geometrico del triangolo.
2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale
Esempio
Baricentro di una lamina omogenea a forma di quadrilatero convesso.
Usando le due diagonali possiamo dividere il quadrilatero in due triangoli in due modi diversi, ottenendo i baricentri G1, G2, G3, e G4, facilmente determinabili. Per la propreità distributiva il baricentro G del quadrilatero deve stare sull’intersezione tra G1G2 e G3G4. Come esercizio si generalizzi l’esempio precedente a un poligono di n lati: basterà decomporlo, in due modi diversi, in un poligono di n − 1 lati e un traingolo, e poi. . .
b A b B b C b D b A b B b C b D bG1 bG2 bG3 bG4
Figura 2.20. Baricentro di un quadrilatero omogeneo
Esempio
Baricentro di un tetraedro omogeneo ABCD.
b A b B b C b D b M b G2 b G1 bG
Figura 2.21. Determinazione del baricentro di un tetraedro omogeneo
I piani per uno spigolo e il punto medio del lato opposto sono palesemente piani di simmetria materiale (come il piano ADM della figura 2.21), coniugati alla direzione dello spigolo che tagliano a metà. Pertanto G appartiene all’intersezione di questi piani. Per ogni vertice, per esempio A, ne passano 3. Essi contengono, ciascuno, una delle mediane della faccia opposta, per esempio BCD. Dunque tutti tre passano per il baricentro della faccia opposta (in questo caso G1) e quindi contengono la retta dal vertice a questo baricentro. Dunque G sta su AG1, e analogamente su DG2: questo consente di trovarlo immediatamente.