Software di simulazione Comsol Multiphysics ®

Comsol Multiphysics è un programma di simulazione basato sull’analisi agli elementi finiti [114]. Dopo aver discretizzato il dominio di simulazione in molteplici elementi (mesh), in ognuno di essi, tramite metodi numerici, vengono risolti i sistemi di equazioni alle derivate parziali (PDE) che regolano il comportamento fisico del sistema da studiare. Il risultato rappresenta un’approssimazione della reale soluzione analitica delle PDE ed è tanto più preciso quanto più piccoli sono gli elementi di suddivisione poiché, in questo modo, la soluzione diventa sempre più puntuale. Utilizzando specifici pacchetti di simulazione, questo strumento risulta molto utile per studiare alcuni aspetti riguardanti l’emissione per effetto di campo come: il fattore β di intensificazione, la schermatura elettrostatica esercitata fra i nanotubi, e l’effetto di carica spaziale. Le fasi salienti che portano alla realizzazione di un modello di simulazione sono ben distinte e prevedono:

1. Scelta della fisica da studiare (elettrostatica, fluidodinamica, acustica, ecc..) ; 2. Selezione dello spazio dimensionale e realizzazione della geometria;

3. Assegnazione delle proprietà dei materiali; 4. Definizione delle condizioni al contorno; 5. Creazione della mesh;

6. Scelta dello studio da effettuare (stazionario, dinamico, transiente ecc…);

Per questioni di praticità, senza addentrarsi troppo nel caso particolare, i precedenti punti dell’elenco vengono descritti prendendo come riferimento il primo modello di simulazione realizzato in questo lavoro, ovvero il calcolo del fattore di intensificazione β di nanotubi con estremità semisferica. Il primo passo riguarda la scelta della fisica da studiare,

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che in questo caso corrisponde all’elettrostatica (Electrostatic, modulo ACDC [115]). Una volta definita la fisica, il software implementa tutti gli strumenti analitici necessari per modellizzare il sistema fisico, nel modo più opportuno. Durante la seconda fase è invece necessario disegnare il sistema fisico da simulare. Per completare questo passo, bisogna decidere la dimensione del dominio di simulazione. Tra le opzioni vi sono 1D, 2D, 2D assialsimmetrico e 3D. E’ buona norma ridurre la dimensionalità del problema in modo da contenere il peso computazionale del modello. Siccome però, il modello 2D sottostima il valore del fattore β calcolato, laddove possibile tutti i modelli realizzati in questo lavoro risultano 2D assialsimmetrici, la cui soluzione è invece in accordo con quella ricavata simulando uno spazio tridimensionale (l’equivalenza è stata verificata su problemi con risoluzione nota). Un modello di questo tipo è realizzabile quando la geometria da studiare presenta simmetria rispetto ad un’asse, come nel caso di un nanotubo con superficie semisferica posto di fronte ad un anodo planare (fig. 3-1). Riferendosi alla figura 3-1, si vede come in questo caso sia necessario disegnare solo il profilo geometrico (in un sistema di riferimento che fa uso di coordinate cilindriche) da cui ricavare successivamente l’intero modello 3D mediante una rotazione attorno all’asse di simmetria, che nel caso in esame è l’asse del nanotubo.

Anche la scelta delle proprietà materiali è uno step imprescindibile. E’ importante definire le proprietà fisiche degli elementi presenti nel dominio geometrico, necessarie per una corretta simulazione. In questo caso basta attribuire allo spazio compreso fra anodo e Figura 3-1. (Sinistra) Realizzazione del modello 2D assialsimmetrico con la relativa scelta delle condizioni al contorno

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catodo una permittività elettrica relativa pari ad 1 per simulare una condizione di vuoto. Il quarto momento fondamentale della simulazione riguarda la definizione delle condizioni al contorno. Un errore in questa fase pregiudica ovviamente la validità del risultato. Sempre in figura 3-1 sono indicate le scelta effettuate per il primo problema di simulazione. La boundary (verde) che delimita il corpo cilindrico del nanotubo, la sua estremità semisferica e la superficie piana su cui è posto il nanotubo, sono collegati a massa (V = 0). In questo modo gli elementi appena designati si comportano come perfetti conduttori. La parte superiore del dominio di simulazione (rosso) rappresenta l’anodo a cui è fissata una tensione V = Va . Per annullare la carica (q = 0) presente sul lato destro del dominio (blu) è stata

imposta una condizione esprimibile nel seguente modo: n∙D = 0 (dove n è il versore normale alla boundary e D è il vettore di induzione elettrica). In più, lo stesso elemento laterale è stato posto ad una certa distanza dal nanotubo per minimizzare l’effetto di bordo. Il lato sinistro invece è definito come asse rotazionale di simmetria e oltre ciò, non stata aggiunta alcuna ulteriore condizione.

Il quinto passo necessario per effettuare la simulazione è la scelta del tipo di mesh. Con questo termine s’intende l’insieme di “maglie”, ovvero di elementi geometrici, usati per “ricoprire” il dominio di simulazione, come se fosse una rete. In ogni maglia vengono risolte le equazioni alle derivate parziali che governano il comportamento fisico del sistema. La forma di questi sottodomini può essere di diversi tipi ed opportunamente scelta a seconda della geometria e della soluzione che ci si aspetta di ottenere. Oltre alla forma, anche la dimensione di questi elementi è importante. In linea di principio minore è la loro estensione e maggiore sarà l’accuratezza del risultato. Con questa però, aumenta anche il dispendio di risorse computazionali dovendo risolvere le PDE in un maggior numero di elementi. Comsol mette a disposizione diversi gradi automatici per la generazione della mesh, che vanno da un infittimento basso (coarse) ad uno molto fine (extra-fine). Se si ha una conoscenza del sistema fisico tale da ipotizzare l’andamento qualitativo della soluzione nei vari punti del dominio, è possibile ottimizzare in modo manuale la selezione della mesh per ottenere una buona precisione e contenere il tempo di simulazione. Ad esempio, nel caso in esame, si ci aspetta una variazione rapida della soluzione (campo elettrico) intorno alla punta semisferica. Per questo motivo si è deciso di realizzare una mesh che si adattasse al problema in esame: più fine sulla punta e meno fitta nel resto della geometria, utilizzando degli elementi di forma triangolare. A partire dal bordo geometrico che delimita la superficie del nanotubo, l’elemento di mesh più piccolo risulta inferiore o al massimo uguale ad un decimo

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del raggio di curvatura della punta del nanotubo. Allontanandosi dal nanotubo invece, gli elementi di mesh, ingrandendosi gradualmente, vanno a ricoprire l’intero dominio ma con un limite superiore per la loro dimensione fissato su un valore dmax = D∙10-3, dove D è la

distanza anodo-catodo. Per capire quanto sia adeguata la scelta della mesh esistono diversi approcci. Il primo analizza in base a dei criteri suggeriti dal software, la qualità della mesh. Con questa s’intende il suo grado di deformazione: più il singolo elemento è simile ad un triangolo isoscele tanto maggiore è la sua qualità. Al di sopra di un valore di riferimento pari a 0.6, la mesh è considerata di buona qualità. Questo parametro però, da solo non è sufficiente per rendersi conto della bontà della mesh. Un altro fattore importante è capire se il numero di elementi e quindi, l’infittimento della mesh, è adeguato per ottenere una soluzione accurata. A tal proposito è possibile effettuare un test di convergenza che consiste nell’analizzare i risultati ottenuti, infittendo gradualmente la mesh. Quando il risultato non cambia più in modo significativo, vuol dire che si è raggiunto un buon grado di discretizzazione. La mesh adottata per questo problema soddisfa il test di convergenza e allo stesso tempo evidenzia una buona qualità. Inoltre, è possibile generare un istogramma e capire la frequenza di elementi in corrispondenza dei vari livelli di qualità. Dopo aver osservato che il valore minimo è di circa 0.7, con la fig. 3-2 si riporta un’immagine che illustra graficamente queste informazioni statistiche in prossimità della punta del nanotubo. Come si vede la maggior parte di elementi in questa area critica ha una qualità vicina ad uno e solo pochi elementi hanno un valore inferiore ma comunque superiore alla soglia di 0.6.

L’ultimo step riguarda la scelta del tipo di studio da effettuare. Tra i diversi disponibili, in questa tesi ne saranno impiegati due in particolare: (1) studio stazionario; (2) Figura 3-2. (Sinistra) Ingrandimento sulla mesh intorno alla punta del nanotubo. (Destra) Grafico della qualità degli

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studio tempo-dipendente Bidirectionally coupled particle tracing (BCPT) [116]. I risultati del primo studio saranno presentati a breve e derivano dalla soluzione delle PDE fondamentali di elettrostatica. Il secondo sarà meglio descritto nel paragrafo 3.4 quando verrà introdotto per studiare l’effetto di carica spaziale.