1.3 Teoria dei Fibrati
1.3.3 Sollevamento orizzontale e trasporto parallelo
Sia ora γ(t) una curva in M
[0, 1] 3 t → γ(t) ∈ M (1.3.42) Si dir`a che ˜γ(t), curva in E, `e un sollevamento di γ se π ◦ ˜γ(t) = γ(t), cio`e se γ `e la proiezione in M della curva ˜γ in E. E’ chiaro che ad ogni γ si possono associare diversi sollevamenti. Un sollevamento orizzontale di γ sar`a un sollevamento in cui il vettore tangente a ˜γ(t) appartiene allo spazio Hγ(t)˜ E. Il sollevamento pertanto risolve
la richiesta di poter associare a una curva in M una curva in E in modo univoco (Fig. 1.3). Sia ˜X il vettore tangente a ˜γ. Allora si avr`a ω( ˜X) = 0 per definizione di vettore orizzontale. Questa sar`a un’equazione differenziale ordinaria la cui soluzione, data la condizione iniziale, esister`a e sar`a unica.
Teorema 1.3.14. Data una curva γ : [0, 1] 3 t → γ(t) ∈ M e p0 = π−1(γ(0)). Allora
esister`a un unico sollevamento orizzontale ˜γ tale che ˜γ(0) = p0. La dimostrazione si
trova in [19].
Sia Ui un aperto di M che contiene γ e su cui si definisce la sezione σi. Il sollevamento
orizzontale si potr`a scrivere come ˜γ(t) = (σi◦γ(t))gi(t) con gi(t) ∈ G e tale che σ(γ(0)) =
˜
γ(0). Quindi gi(0) = e. Sia ora X il vettore tangente a γ in γ(0). Allora si avr`a che
˜
X = ˜γ∗X `e tangente a ˜γ in ˜γ(0). Per definizione si avr`a che ω( ˜X) = 0 pertanto
riprendendo la (1.3.27) si ottiene ˜ X = gi(t)−1σi∗Xgi(t) + [gi(t)−1dgi(X)]] (1.3.43) Applicando ω 0 = ω( ˜X) = gi(t)−1ω(σi∗X)gi(t) + gi(t)−1 dgi(t) dt (1.3.44)
Figura 1.3: Rappresentazione di sollevamenti di γ. La curva ˜γ0 `e un sollevamento non
orizzontale mentre ˜γ1 `e orizzontale.
Moltiplicando a sinistra per gi(t) si ottiene
dgi(t)
dt = −ω(σi∗X)gi(t) (1.3.45) La soluzione di tale equazione differenziale, data la condizione iniziale gi(0) = e, esiste
ed `e unica. Ora, sapendo che ω(σi∗X) = σi∗ω(X) = Ai si pu`o scrivere
dgi(t)
dt = −Aigi(t) (1.3.46) La connessione locale a valori nell’algebra di Lie si pu`o scrivere in componenti, con xi coordinate in M :
Ai = −iAi(xi)dxi, Ai(xi) ∈ R (1.3.47)
Pertanto la soluzione formale di (1.3.46) `e
gi(γ(t)) = exp − Z γ(t) γ(0) Ai = = exp i Z t 0 Aiµ dxµ dt dt = = exp i Z γ(t) γ(0) Aiµdxµ (1.3.48)
Proposizione 1.3.15. Sia ˜γ0 un altro sollevamento orizzontale di γ tale che ˜γ0(0) = γ(0) · g. Allora ˜γ0(t) = ˜γ(t) · g. La dimostrazione in [19].
Pertanto abbiamo costruito il sollevamento orizzontale che sar`a dato da ˜γ(t) = (σi ◦ γ(t))gi(t). Vediamo ora come la connessione ω permette di definire il concetto
di trasporto parallelo sulla variet`a E. Essa permette di legare matematicamente, quindi in un certo senso di trasportare, vettori appartenenti a diverse fibre del fibrato. Definire un modo per trasportare punti o vettori lungo una curva in una variet`a diventa necessario
in quanto gli spazi vettoriali tangenti in ogni punto della variet`a sono distinti e diversi cosicch`e risulta difficile confrontare due vettori in due punti diversi per vedere se sono paralleli.10 La Connessione definir`a una regola per trasportare parallelamente la fibra F lungo γ.
Definizione 1.3.16. Il trasporto parallelo `e una regola che a una curva [0, 1] 3 t → γ(t) ∈ M con γ(0) = x0 e γ(1) = x1 associa un’ applicazione
Tγ : Fx0 = π −1 (γ(0)) → Fx1 = π −1 (γ(1)) (1.3.49) con le condizioni
1. Tγ sia continua lungo γ
2. Tγ−1 = (Tγ)−1
3. Tγ1∗γ2 = Tγ1 ◦ Tγ2
Il trasporto parallelo dipende dalla scelta della curva pertanto non `e unico. Sia p0 ∈ Fx0 e sia ˜γ(t) un lift orizzontale di γ tale che ˜γ(0) = p0. La regola di trasporto
parallelo Tγ lungo γ si definisce come
π−1(x0) 3 p0 = ˜γ(0) → Tγ(p0) ≡ ˜γ(1) ≡ p1 ∈ Fx1 (1.3.50)
e rispetta le condizioni definite sopra. Sapendo che ˜γ(1) = p1 = σi(γ(1)) · gi(1) si ha che
˜ γ(1) = p1 = σi(γ(1))exp − Z 1 0 Aiµ dxµ(γ(t)) dt dt (1.3.51)
Il trasporto parallelo commuta con l’azione destra di G su P [19]: ˜
Rg◦ Tγ = Tγ◦ ˜Rg (1.3.52)
cio`e vale
p00 = p0· g =⇒ Tγ(p00) = Tγ(p0) · g (1.3.53)
Nel caso in cui γ sia una curva chiusa che inizia e finisce in x0 ∈ M il trasporto parallelo
Tγritorner`a sulla stessa fibra Fx0 ma non necessariamente nello stesso punto, ma l’azione
destra permette di muoversi verticalmente lungo la fibra. In questo caso il trasporto parallelo di p0 si pu`o trovare grazie alla (1.3.12) e risulta che
Tγ(p0) ≡ p0· Φ[˜γ] (1.3.54)
dove Φ[˜γ] `e un elemento del gruppo G del fibrato chiamato Olonomia della curva ˜γ data la connessione ω. L’insieme delle Φ[˜γ] forma il gruppo di Lie detto Gruppo di Olonomia, sottogruppo del gruppo del fibrato G.
Hol(p0) = {Φ[˜γ] ∈ G : γ(0) = γ(1) = x0, ˜γ(0) = p0 t.c. Tγ(p0) = ˜γ(1) = p0· Φ[˜γ]}
(1.3.55) In generale la curva ˜γ sar`a aperta nonostante γ sia chiusa.
10Ci`o non `e vero in Rn dove in ogni punto lo spazio tangente coincide con Rn stesso pertanto il
Figura 1.4: Fibrato per la fase di Berry.
Sia data una curva chiusa γ in U ⊂ M tale che γ(0) = γ(1). Scegliendo un gauge f : U → E possiamo sollevare la curva γ in una curva f (γ) che sar`a chiusa anch’essa: f (γ(0)) = f (γ(1)) = p0 ∈ E. Se invece si sceglie un lift orizzontale ˜γ si otterr`a che
˜
γ(1) = p0· Φ[˜γ] (1.3.56)
con ˜γ(0) = p0. Si domostra [10] [19] che l’olonomia Φ[˜γ] `e data da
Φ[˜γ] = exp I f (γ) ω = exp I γ A := Φf[˜γ] (1.3.57)
con A = f∗ω connessione nel gauge f . Tale definizione `e gauge dipendente, in quanto se si fa una trasformazione di gauge f0(x) = g(x)f (x) si ottiene
Φf0[˜γ] = g(x0)−1· Φf[˜γ] · g(x0) (1.3.58)
In realt`a l’olonomia (1.3.57) `e cos`ı definita per gruppi abeliani. Nel caso di gruppi non abeliani l’olonomia `e data dai cosiddetti integrali di Wilson [21][10][19]
Φ[˜γ] = P exp I f (γ) ω = P exp I γ A (1.3.59)
dove P sta a indicare un path-order integral che dice come ordinare le matrici A(x) non abeliane, componenti della 1-forma A, nell’espandere l’esponenziale. In particolare se x(t) `e una parametrizzazione della curva γ l’espansione `e data da
Φ[˜γ] = P exp I γ A(x) · ˙xdt = = 1 + Z 1 0 dtA(x) · ˙x + Z 1 0 dt Z t 0 dt0A(t) · ˙x(t)A(t0) · ˙x(t0) + . . . (1.3.60)
Nel nostro caso lo spazio base M rappresenter`a lo spazio dei parametri esterni di un sistema o lo spazio degli stati |Ψi hΨ|, la fibra rappresenter`a solitamente lo spazio dei
fattori di fase (gruppo U(1)) mentre E rappresenter`a lo spazio degli autostati del sistema |Ψi. Una variazione ciclica dei parametri nel tempo coincider`a con un percorso chiuso C in M e la connessione permetter`a di associare ad esso un percorso in E che rappresenter`a l’evoluzione degli autostati nel tempo e che inizier`a e finir`a nella stessa fibra ma che generalmente non sar`a chiuso. Dato che la curva in E inzia e finisce sulla stessa fibra `e possibile, attraverso il gruppo G, calcolare l’olonomia Φ[˜γ] tra i punti iniziali e finali di tale curva. Nel caso la fibra sia il gruppo U (1) l’olonomia corrispondente alla curva C sar`a una fase eiγ(C) . Tale sar`a il caso della fase di Berry.
Definizione geometrica di derivata covariante
Il concetto di derivata covariante pu`o essere definito anche geometricamente come limite di un certo rapporto incrementale definito dalla regola del trasporto parallelo [16]. Sia un fibrato π : E → M e sia γ : I ⊂ R → M una curva integrale in M di un certo campo vettoriale X. Siano date una sezione s : M → E e una regola di trasporto parallelo Tγ.
Allora si definisce la derivata covariante di una sezione nel punto γ(0) lungo la direzione X come 5X s(p) = lim t→0 T−1γ (s(γ(t))) − s(γ(0)) t ∈ π −1 (γ(0)) (1.3.61) dove p = γ(0).
Una sezione sar`a trasportata parallelamente lungo γ se 5Xs(p) = 0.