Soluzione dell’analisi armonica

L’analisi armonica ha lo scopo di calcolare il comportamento dinamico di una struttura quando viene sottoposta ad una vibrazione sinusoidale. Nel caso in esame tale grandezza variabile nel tempo è stata l’accelerazione imposta alla base delle travi, sfruttando il metodo precedentemente descritto come LMM. Le varie grandezze di interesse in uscita sono state così calcolate e diagrammate in un grafico in funzione della frequenza. Nello specifico l’accelerazione, di modulo sempre costante, ha una frequenza variabile tra due valori limite che comprendono nel loro intervallo la frequenza di risonanza fondamentale. Questa procedura è stata poi ripetuta per ciascuno dei valori della resistenza esterna applicata. A questo scopo si è costruito un programma in linguaggio APDL di Ansys Mechanical™, che risolvesse

in maniera automatica le varie simulazioni del modello per ciascuna resistenza. I dati ottenuti sia in formato testo (.txt) che di risultati (.rst), venivano salvati in delle cartelle appositamente create in automatico. Una successiva elaborazione con Matlab™ andava poi a creare dei grafici, che venivano infine direttamente visualizzati in Excel™, vedi schema di (Fig. 2.14).

Fig. 2.14 Schema del processo di calcolo numerico per la trave trapezoidale diretta

Prendendo come riferimento la trave trapezoidale diretta a pari volume, sono di seguito illustrate due grandezze in funzione della frequenza relativa all’accelerazione imposta alla base. In (Fig. 2.15) si nota l’andamento del modulo della risposta in frequenza tra lo spostamento dell’estremità e quello della base al variare della frequenza. Dalla curva del modulo si può determinare sia il suo valore di picco |FT|_max che la corrispondente frequenza di risonanza f_{r |FT|}. Le curve di riferimento sono la prima in alto a sinistra per una condizione tendente al cortocircuito (R→0) e la prima in alto a destra per la condizione tendente al circuito aperto (R→∞). Le curve si sviluppano in senso antiorario all’aumentare del valore della resistenza esterna applicata. Inoltre, si nota principalmente che la frequenza di risonanza cresce al crescere della resistenza applicata. Anche il valore dello smorzamento, deducibile dalla forma più o meno pronunciata del picco della curva, parte da un valore alto alle basse resistenze e raggiunge un valore minimo alle medie resistenze per poi aumentare nuovamente alle alte resistenze.

In figura (Fig. 2.16) si nota l’andamento delle curve di voltaggio generato dal piezoelettrico u_max al variare della frequenza per ogni valore di resistenza esterna applicata. Le curve di riferimento sono la più bassa per una condizione tendente al cortocircuito (R→0) e la più alta per la condizione tendente al circuito aperto (R→∞). Anche da questo grafico si nota principalmente che la frequenza di risonanza, corrispondente al punto di massimo relativo della curva d’interesse, cresce al crescere della resistenza applicata. Inoltre anche il valore dello smorzamento segue il comportamento precedentemente citato.

Elaborando i dati, risulta possibile determinare i valori di grandezze caratteristiche per ogni trave ad una data resistenza, ovvero: voltaggio massimo generato dal piezoelettrico umax, spostamento massimo dell’estremità alla risonanza νmax, valore

Fig. 2.15 Andamento delle curve del modulo della funzione di trasferimento

dello spostamento estremo-base per valori di resistenza crescente calcolate al FEM per la trave trapezoidale diretta

Fig. 2.16 Andamento delle curve di voltaggio in funzione della frequenza per valori

di resistenza crescente calcolato al FEM per la trave trapezoidale diretta

4,6 kΩ

775 kΩ

massimo del modulo della funzione di trasferimento dello spostamento estremità-base |FT|_max e frequenza di risonanza f_{r |FT|}, potenza elettrica P_max e potenza elettrica specifica volumica PS max massime generate. Per quanto riguarda il calcolo della potenza elettrica generata sulla resistenza R, si è usata la formula seguente:

] [ 10 2 6 2 max max W R u P     ^(2.3)

Nel calcolo invece della potenza elettrica specifica volumica, si è diviso il valore della potenza calcolata con la formula precedente per il volume totale di materiale piezoelettrico. Il valore del volume è di 140 mm³ nel caso di travi rettangolare e trapezoidali a pari volume, mentre per le travi a pari ingombro laterale si è usato 87,7 mm³ per la trapezoidale diretta e 57,9 mm³ per l’inversa.

Fig. 2.17 Esempio di curve di caratterizzazione FEM di voltaggio e frequenza

di risonanza ricavate per la trave trapezoidale diretta

In figura (Fig. 2.17) sono visibili le curve del voltaggio del piezoelettrico e della frequenza di risonanza, le quali sono caratterizzate da un andamento parabolico. Si osserva che la curva del voltaggio ha un andamento crescente dalle basse alle alte resistenze, partendo da un valore nullo e tendendo ad un asintoto quando la resistenza va all’infinito. Questo si spiega dal fatto che il circuito segue il principio della legge di Ohm. La frequenza di risonanza invece tende a crescere da un dato valore in cortocircuito ad un valore di poco superiore a circuito aperto. Il fenomeno che si viene ad instaurare è un incremento della rigidezza del materiale piezoelettrico

Fig. 2.18 Esempio di curve di caratterizzazione FEM del modulo della funzione

di trasferimento dello spostamento estremo-base ricavate per la trave trapezoidale diretta

Fig. 2.19 Esempio di curve di caratterizzazione FEM di potenza

dovuto all’effetto di accumulo al suo interno delle cariche elettriche per effetto elettromeccanico. In figura (Fig. 2.18) è visibile la curva del modulo della funzione di trasferimento dello spostamento estremo-base, caratterizzata da un andamento che presenta un punto di minimo relativo. Si osserva che la curva parte da un valore di picco alle basse resistenze e tende ad un valore asintotico quasi dimezzato alle alte resistenze. Anche in questo caso entra in gioco l’effetto della variazione di rigidezza del materiale piezoelettrico per effetto elettromeccanico.

In figura (Fig. 2.19) sono visibili le curve della potenza elettrica e della potenza elettrica specifica volumica, ove entrambe sono caratterizzate da un andamento che partendo da un valore nullo presenta un picco nell’intorno delle basse resistenze, dopodiché tendono ad avere un punto di minimo relativo per poi ricrescere alle alte resistenze ad un valore superiore quasi pari al punto di massimo relativo precedente. Il punto di massimo relativo viene a trovarsi in corrispondenza del valore di resistenza pari alla resistenza elettrica interna del materiale piezoelettrico.

2.5 Confronto tra le curve di caratterizzazione FEM al