Per contenere il materiale esotico entro una superficie sferica di raggio r = RSrichiediamo
per prima cosa che, all’interno della sfera, la soluzione sia senza forze mareali (cio´e dello stesso tipo di quella illustrata nella sez. 3.1). Quindi:
b = b0(r/b0)1−η, con 0 < η = costante < 1
Φ = Φ0 = costante, per b0 ≤ r < RS (3.15)
Ora che abbiamo deciso la forma delle funzioni b(r) e Φ(r), il tensore energia-impulso interno ad RS si ottiene da (2.19)-(2.21) come:
ρ(r) = (1 − η)b(r) 8πGc−2r3 (3.16) τ (r) = ρc 2 1 − η (3.17) p(r) = ηρc 2 2(1 − η) (3.18)
Mentre la funzione di esoticit`a (2.58) risulta
ζ(r) = η
1 − η (3.19)
Questa parte interna della soluzione soddisfa tutti i vincoli del wormhole attraversabile: vi `e una gola in r = b0 (infatti r = b(r) per r = b0), non ci sono orizzonti in quanto Φ
`
e costante ovunque (vedi eq. (2.35)) e il diagramma di embedding si appiattisce verso l’esterno in quanto il materiale `e esotico (0 < η < 1). Forse il lettore si sar`a accorto che questa soluzione interna ad RS altro non `e che una versione generale della soluzione
presentata nella sezione precedente, dove η = 1/2 e Φ0 = 0. Per semplicit`a d’ora in
avanti considereremo solo il caso η = 1/2, di modo che le equazioni (3.16)-(3.18) del materiale si riconducano alle (3.2)-(3.4) e la (3.19) si riconduca alla (3.6).
Per quanto detto nella sez. 2.3.4, le equazioni di campo di Einstein permettono discontinuit`a in ρ(r) e p(r) ma vincolano τ (r) ad essere continua. Quindi τ va portata a zero vicino alla superficie di raggio RS, e per farlo ci conviene introdurre uno strato
di transizione fra la regione interna alla superficie e quella esterna di vuoto, da RS ad
RS+ ∆R. Scegliamo, per questo strato di transizione, il seguente materiale
ρ(r) = [τ (RS)/c2](RS/∆R), (3.20a)
Il materiale di transizione `e quindi caratterizzato da una densit`a costante e da una tensione radiale che, linearmente, va a 0 come richiesto dalle equazioni di campo; inoltre, calcolando τ − ρc2 si pu`o notare come questa quantit`a sia sempre negativa, segno che lo
strato `e costituito da materiale non esotico. A questo punto, dalle equazioni (2.16), (2.17) e (2.21) si ottiene: b(r) = 8 3πGc −4 (r3− R 3 S ) RSτ (RS) ∆R + b(RS) (3.20c) Φ0(r) = −8πGc −4τ (r)r3− b(r) 2r[r − b(r)] (3.20d) p(r) = r 2[(ρc 2 − τ )Φ0− τ0 ] − τ (3.20e)
Consideriamo, per semplicit`a, che lo spessore dello strato di transizione sia ∆R = b(RS), ed assumiamo inoltre che la regione in cui `e racchiusa la materia esotica sia molto
grande, RS b0; segue, da (3.15), che ∆R = b(RS) RS. Per le equazioni (3.20) si
ha allora che, a meno di errori dell’ordine di ∆R/RS 1, le funzioni b, Φ0 e τ variano
linearmente nello strato mentre ρ e p sono costanti:
b(r) = b(RS) + [(r − RS)/∆R] b(RS), quindi B = b(RS+ ∆R) = 2b(RS), (3.21a) Φ0(r) = [(r − RS)/∆R](B/2RS2), quindi Φ0(RS+ ∆R) = B/2RS2, (3.21b) τ (r) = τ (RS) − [(r − RS)/∆R]τ (RS), quindi τ (RS+ ∆R) = 0, (3.21c) p(r) = (RS/2∆R)τ (RS), (3.21d) ρ(r) = (RS/∆R)[τ (RS)/c2]. (3.21e)
Le equazioni (3.21a) e (3.21b) garantiscono la compatibilit`a con la soluzione esterna alla superficie, che altro non `e che la soluzione di Schwarzschild nel vuoto data dalle equazioni (2.22)-(2.23). Le equazioni (3.21c) e (3.21d) ci dicono invece che nello strato di transizione vi `e una pressione laterale molto intensa (RS/∆R 1) per controbilanciare
equilibrio, la forza gravitazionale sullo strato `e trascurabile. Le equazioni di stato del materiale dello strato risultano:
p = ρc2/2, ρ indipendente da τ (3.22) Posizioniamo le stazioni spaziali al bordo della regione esterna di Schwarzschild (r1 = r2 = RS + ∆R) e richiediamo che il viaggiatore sia in grado di fermarsi (v = 0)
presso di esse senza venire schiacciato dalla gravit`a. Il vincolo (2.49) diventa: |Φ0(RS+ ∆R)| = B/2RS2 ≤ (0.97 a.l.)
−1 ∼
= (9.2 · 1015m)−1 (3.23) per via delle equazioni (2.37) e (3.21b). In virt`u di (3.21a) e (3.15) con η = 1/2, questo corrisponde a richiedere che
RS > 1 · 1011m (b0/10 m)1/3 ∼= 0.6 u.a. (b0/10 m)1/3 (3.24)
quindi il valore del raggio di confinamento RS dev’essere quindi molto grande per far
s`ı che l’accelerazione di gravit`a nelle stazioni sia piccola. Questo grande valore di RS
implica
B ≡ b(RS+ ∆R) = 2b(RS) ∼= 1.9 · 106m (b0/10 m)2/3 (3.25)
Ricordando ora che la soluzione di Schwarzschild nel vuoto `e
b(r) = B e Φ(r) = 12ln(1 − B/r) per r ≥ RS+ ∆R (3.26)
se ora integriamo la (3.21b) da r = RS ad r = RS+ ∆R otteniamo, a meno di correzioni
dell’ordine di ∆R/RS 1, che il valore costante assunto dalla funzione di redshift entro
la superficie risulta esprimibile come
Φ0 = 12ln(1 − B/RS) (3.27)
Da (3.25) e (3.26) notiamo che e2Φ0 = (1−B/R
S) differisce dall’unit`a di poco, quindi nella
regione interna ad RS il tempo misurato da un osservatore statico `e approssimativamente
uguale alla coordinata temporale Minkowskiana t. Questo ci dice che l’analisi della velocit`a di attraversamento del wormhole fatta in sez. 3.1 rimane valida, e in particolare v . 60 m/s (b0/10 m) nella gola.
Nella scorsa sezione ci siamo potuti permettere di lasciare v piccola per tutta la durata del viaggio, un po’ come se il vincolo alla gola fosse da imporre ovunque; questo perch´e trascuravamo l’accelerazione, vista la vicinanza delle stazioni alla gola. Ora per`o le stazioni si trovano circa 106 volte pi`u lontane di prima dalla gola (se fossero pi`u vicine
richiedere a chi viaggia di muoversi ad una velocit`a variabile che soddisfi il vincolo (2.56) sull’accelerazione mareale laterale, che per γ ≈ 1, η = 1/2 risulta
v c ≤ 2r 108m r b0 1/4 , ovvero v . (60 m/s) b0 10 m r b0 5/4 (3.28)
La velocit`a non `e vincolata solo da (2.56), ma anche dalla condizione sull’accelerazione radiale (2.49); poich´e γ ≈ 1, Φ = cost2 e, per (3.27), v ≈ dl/dt, il vincolo si traduce in
a = dv dt = d2l dt2 . g ⊕ (3.29)
Ipotizziamo ora un andamento per l’accelerazione radiale, di modo da poter dare una stima del tempo necessario ad attraversare il wormhole: richiediamo che il viaggiatore acceleri costantemente di d2l/dt2 = +g⊕ dalla stazione inferiore sino a RS/2 (≈ a met`a
strada fra la stazione inferiore e la gola perch´e RS b0) ed in seguito deceleri costan-
temente di d2l/dt2 = −g
⊕ da RS/2 sino alla gola, giungendovi quindi a riposo; da qui,
imponiamo che il viaggiatore acceleri costantemente di d2l/dt2 = +g⊕ sino a RS/2 per
poi decelerare costantemente di d2l/dt2 = −g
⊕ da RS/2 sino ad arrivare, a riposo, alla
stazione superiore. Seguendo queste direttive di viaggio, la velocit`a massima raggiunta dalla navicella sar`a:
vmax = 12g⊕RS
1/2
= 7 · 105m/s (RS/1011m)1/2 (3.30)
Questa velocit`a `e non relativistica (γ ≈ 1, come abbiamo assunto sino ad ora) fintanto che
RS 1016m (3.31)
Il profilo di velocit`a v(r) soddisfa molto bene il vincolo mareale (3.28) per ogni r; tenendo a mente che b0 RS, il tempo necessario per spostarsi dalla prima stazione alla seconda
risulta
∆t ≈ ∆τv ≈ (32 RS/g⊕)1/2∼= (7 giorni)(RS/1011m)1/2 (3.32)
Quindi anche questa soluzione di wormhole attraversabile potrebbe essere impiegata per il viaggio interstellare se il materiale esotico esistesse.
2In questo tipo di soluzione il viaggio fra le stazioni avviene praticamente solo nella regione interna
r r z b0 r1 = r2 = RS+ ∆R ∆R RS +l2 −l1 0
Figura 3.2: Profilo di embedding di un wormhole in cui la materia esotica `e a densit`a di energia positiva (rappresentata in rosso) si estende sino ad una superficie di raggio RS
b0; `e presente anche materia non esotica nello strato di transizione ∆R, rappresentato in
giallo. Un rapido confronto con la fig. 3.1 ci mostra che, a causa del maggior confinamento della materia esotica, in quest’ultimo caso la superficie si appiattisce pi`u lentamente con la distanza; questo ci costringe a porre le stazioni ad una maggior distanza dalla gola, il che aumenta il tempo necessario per attraversare il wormhole.
3.3
Soluzione con massimo confinamento del mate-
riale esotico
Non potendo garantire l’esistenza del materiale esotico, dovremmo cercare di minimiz- zarne l’impiego; visto che la gola del wormhole `e l’unica zona in cui la presenza di questo materiale `e davvero indispensabile, minimizzare l’utilizzo della materia esotica equivale a richiedere che essa sia confinabile in un intorno piccolo di b0.
Sappiamo che, affinch´e un wormhole possa essere considerato attraversabile, la sua funzione di embedding z(r) deve appiattirsi man mano che r → ∞; tanto pi`u `e rapido questo appiattimento, tanto pi`u il wormhole `e adatto al viaggio interstellare (vedi figu- re 3.1, 3.2). Assumiamo che la materia esotica sia racchiusa entro un raggio rc= b0+ ∆r
r r z b0 rc 0
Figura 3.3: Profilo di embedding di un wormhole ottenuto confinando materia esotica a densit`a positiva (rappresentata in rosso) entro un raggio piccolo rc≈ b0dalla gola. Come
si pu`o vedere, l’appiattimento si ottiene molto lentamente con r, e per questa ragione le stazioni sono talmente lontane dalla gola da non essere rappresentabili.
e sia sufficiente a piegare la superficie di embedding sensibilmente in tale punto, ad esempio dz(rc)/dr = 1; per (2.28), questo equivale a richiedere che:
rc
b(rc)
= b0+ ∆r b(b0+ ∆r)
= 2 (3.33)
Se ∆r fosse molto piccolo, di modo che ∆r b0 e conseguentemente rc ≈ b0, signi-
ficherebbe che la superficie di embedding si starebbe appiattendo notevolmente gi`a a breve distanza dalla gola, dando luogo ad un buon wormhole; ma la (3.33) in questa approssimazione pu`o essere riscritta come
2 = b0+ ∆r b(b0+ ∆r) ≈ b0+ ∆r b0+ ∆r b0(b0) ∼= 1 + ∆r/b0 1 + (∆r/b0)b0 ≈ 1 + ∆r b0 (1 − b0) (3.34) che risulta verificata solo per b0 < 0, vale a dire per ρ < 0 (vedi (2.19)). Questo significa che quando ρc2 `e vincolata ad essere positiva, la materia esotica non pu`o essere confinata
in una regione piccola (confrontabile con b0) attorno alla gola e contemporaneamente dar
luogo ad un buon appiattimento della superficie di embedding, richiesto per l’attraver- samento del wormhole in tempi utili (vedi fig. 3.3).
Nelle sezioni precedenti abbiamo ottenuto dei tempi di viaggio buoni per le nostre soluzioni, le quali erano entrambe originate da materia esotica con ρ > 0; tuttavia questo `
e avvenuto perch´e nel caso della soluzione senza forze mareali di sez. 3.1 il confinamento non `e proprio stato richiesto, mentre nel caso di sez. 3.2 il confinamento avveniva per un raggio RS b0, decisamente non confrontabile con le dimensioni della gola (si ve-
da (3.24)). Impiegando invece materia la cui densit`a di energia risulta negativa anche per un osservatore statico, ρc2 < 0, `e possibile confinare tale materiale esotico in una regione piccola a piacere attorno alla gola ed ottenere comunque un wormhole incredibilmente appiattito ed efficace, molto pi`u di quelli precedentemente analizzati con ρ > 0 (vedi fig. 3.4). Scegliamo ad esempio:
b(r) = b0 1 −r−b0 a0 2 per b0 ≤ r ≤ b0+ a0, 0 per r > b0+ a0. (3.35a) Φ(r) = 0 per r ≥ b0 (3.35b)
Applicando le equazioni di campo di Einstein (2.19)-(2.21) troviamo le caratteristiche che deve avere il nostro materiale per produrre il wormhole descritto sopra:
ρ(r) = − b0 4πGc−2r2a 0 1 − r − b0 a0 , < 0 (3.35c) τ (r) = b0 8πGc−4r3 1 − r − b0 a0 2 (3.35d) p(r) = b − b 0r 16πGc−4r3 = τ − ρc2 2 (3.35e)
per b0 ≤ r < b0+ a0 (cio´e intorno alla gola), mentre
ρ(r) = τ (r) = p(r) = 0 (3.35f) per r ≥ b0+ a0. Risulta quindi che il nostro materiale esotico `e confinato entro a0 dalla
gola (fuori abbiamo il vuoto per (3.35f)) ed ha densit`a negativa. Inoltre, questa soluzione appartiene alla classe delle soluzioni senza forze mareali in quanto Φ = cost = 0 ovunque: un viaggiatore che si muove nel wormhole a velocit`a v = cost non avverte forze che lo accelerano, mentre avverte forze mareali laterali che sono sopportabili fintanto che il vincolo (2.56) `e soddisfatto. Sostituendo le (3.35) nella (2.56) con γ ≈ 1 e a0 b0 (nulla
ce lo vieta a patto che a0 6= 0) otteniamo il vincolo sulla velocit`a per questa soluzione
delle equazioni di campo
Supponiamo ora che le due stazioni si trovino in r1 = r2 ≈ b0+ a0, quindi nei pressi del
confine con la regione di vuoto;3 approssimando la distanza propria ∆l fra di esse come
la semicirconferenza πa0 centrata in b0+ a0, il tempo necessario a viaggiare dalla stazione
inferiore a quella superiore, muovendosi a velocit`a costante e di modo da soddisfare (3.36), `
e
∆t ≈ ∆τv ≈ πa0/v & 1 sec
p
a0/b0 (3.37)
Quest’ultima equazione ci dice che, indipendentemente dal valore di b0, scegliendo una
distanza radiale a0 arbitrariamente piccola entro la quale confinare il materiale esotico il
tempo di percorrenza del wormhole pu`o essere reso picolo a piacere; conseguentemente, anche la distanza propria ∆l fra le stazioni viene resa arbitrariamente piccola e, poich´e esse devono essere poste in regioni dello spazio-tempo pressoch´e piatte (senn`o verrebbero accelerate verso il wormhole), se ∆l diminuisce al diminuire di a0significa che la superficie
di embedding del wormhole si appiattisce ad una distanza sempre pi`u piccola da b0.
r r z b0 a0 +l2 −l1 0
Figura 3.4: Profilo di embedding di un wormhole in cui la materia esotica a densit`a di energia negativa (rappresentata in verde per distinguerla da quella a densit`a positiva) si estende sino ad una distanza a0 piccola a piacere dalla gola. Se la densit`a di energia
della materia esotica `e negativa, pi`u essa viene confinata tanto migliore `e il womrhole che si ottiene.
3Nonostante a
0 b0, le stazioni possono essere poste in b0+ a0 o nelle immediate vicinanze senza
violare (2.38) perch´e per ρ < 0 si ottiene un appiattimento della superficie talmente importante che questa risulta gi`a piuttosto piana anche per distanze molto piccole da b0.
Capitolo 4
Conclusioni
Abbiamo aperto questa tesi domandandoci se sia possibile realizzare un viaggio inter- stellare per mezzo di topologie spazio-temporali non piatte; dopo aver escluso oggetti come i buchi neri e i wormholes di Schwarzschild siamo finiti a trattare estensivamente i wormholes di Morris-Thorne, prima in maniera generale (Cap. 2), poi presentando delle soluzioni specifiche (Cap. 3). La ragione per cui ci siamo rivolti a queste soluzioni `e che esse, a differenza delle altre sopra citate, sono state cercate proprio con l’obiettivo di rendere possibile il viaggio interstellare per gli esseri umani; la loro esattezza e semplicit`a sorpresero molto i teorici del tempo,1 riaccendendo l’interesse nei wormholes (pratica-
mente ignorati dai tempi di Einstein e Rosen) e nel viaggio interstellare.
Tuttavia, come purtroppo abbiamo potuto constatare nella sez. 2.7, i wormholes attraversabili di Morris e Thorne soffrono di diversi problemi; il pi`u pesante, che non ha niente a che vedere con la loro attraversabilit`a ma piuttosto con la loro realisticit`a, `
e che questi wormholes possono essere generati e tenuti aperti solo da una distribuzione sferica di energia che presenti, almeno sulla gola della curvatura, la propriet`a τ > ρc2.
Quest’ultima propriet`a dei materiali, come ribadito pi`u volte nel corso della tesi, non `e vietata da alcuna legge fisica, ma sino ad oggi non `e mai stato osservato nemmeno un solo caso in cui essa sia verificata. Inoltre un materiale con questa propriet`a, chiamato “esotico”, violerebbe entrambe le condizioni dell’energia in quanto presenterebbe una densit`a ρ negativa per un osservatore in moto a velocit`a prossime a quelle della luce; queste condizioni sono alla base di molti teoremi verificati di relativit`a generale, e ci`o non fa ben sperare per quanto riguarda la realisticit`a della materia esotica. Ogni speran- za che la materia esotica possa esistere si basa sulla teoria quantistica dei campi, teoria che in alcuni casi non rispetta le condizioni sull’energia; la futura scoperta di un campo esotico o di stati quantici esotici, cio´e stati quantici di campi gi`a noti ma che acquisiscono la propriet`a τ > ρc2 su scale di lunghezza macroscopiche, potrebbe cambiare le carte in
tavola e rendere il wormhole di Morris-Thorne un oggetto un po’ meno fantascientifico.
1Tanto che i due autori decisero di intitolare l’articolo in cui presentavano la loro soluzione
Anche ammettendo che la materia esotica esista, i wormholes che stiamo trattan- do presentano comunque problemi non da poco, per esempio l’enorme intensit`a τ0 ∼
5 · 1041 dyn/cm2(10 m/b
0)2 della tensione radiale esercitata dalla materia esotica nella
gola: a meno di impiegare materia o campi esotici in grado di interagire debolmente con il corpo umano, come ad esempio i neutrini o le onde gravitazionali nel caso della materia/energia tradizionale, non ci sarebbe speranza per qualcuno della nostra specie di sopravvivere ad una tensione del genere (che `e dell’ordine di quella che si trova nel centro delle stelle di neutroni pi`u massive mai osservate).
Un altro problema potrebbe essere legato alla stabilit`a del wormhole di Morris- Thorne rispetto alle perturbazioni, che abbiamo solo accennato in sez. 2.1 in quanto richiede un’analisi non statica della soluzione (lunga e superflua sino a che non si deter- miner`a se la materia esotica `e realistica o meno). La gola del wormhole infatti potrebbe non riuscire a mantenersi stabile durante il passaggio della navicella, restringendosi fino a chiudersi ed impedendoci cos`ı di raggiungere l’altra bocca del tunnel. Se, in qualche modo, una civililt`a molto pi`u avanzata della nostra riuscisse a monitorare e a tenere sotto controllo le eventuali instabilit`a queste non rappresenterebbero un grosso problema, ser- virebbe solo qualche accorgimento in pi`u; ovviamente per`o, non possiamo garantire che queste ipotetiche instabilit`a siano fisicamente gestibili, potrebbero essere troppo violente o agire troppo rapidamente.
Altre problematiche potrebbero risiedere nel fatto che cambio di topologia richiesto per la formazione del wormhole non sia quantisticamente permesso (a livello quantisti- co la gravit`a non `e ancora ben compresa), oppure la materia esotica presente in tutto l’universo potrebbe non essere sufficiente a formare anche un solo di questi wormhole, o magari essa `e sufficiente ma potrebbe essere sparpagliata un po’ ovunque, rendendo il tempo necessario per accumularla praticamente infinito se non esistono wormhole gi`a naturalmente formati nell’universo.
Per concludere, riassumiamo breve i risultati ottenuti dalle soluzioni mostrate nel terzo capitolo. Si vede piuttosto chiaramente dalle sezioni 3.1 e 3.2 che, se la densit`a della materia esotica `e positiva per gli osservatori statici, man mano che rimpiccioliamo la regione di confinamento dell’esoticit`a il wormhole peggiora rapidamente; per attra- versarlo a velocit`a non relativistiche, si passa da un tempo dell’ordine di un’ora se la materia esotica si estende indefinitivamente nello spazio-tempo, ad un tempo dell’ordine di 7 giorni se essa si estende per distanze dell’ordine dell’unit`a astronomica. Occorre- rebbe quindi una quantit`a davvero notevole di materia esotica per avere un wormhole efficace se la densit`a ρ fosse vincolata ad essere positiva. Se ammettiamo che la materia esotica possa presentare densit`a negativa anche per gli osservatori statici, aumentando quindi il grado di esoticit`a della stessa, si potrebbero ottenere wormholes incredibilmente efficenti (con tempi di percorrenza dell’ordine dei secondi!) con quantit`a davvero piccole di materiale (si veda la sezione 3.3); ovviamente, aumentare il grado di esoticit`a corri- sponde a peggiorare notevolmente la realisticit`a del materiale, la cui esistenza diventa ancora pi`u improbabile.
Il lettore potrebbe sentirsi piuttosto avvilito nel notare con quanti problemi e quan- te questioni in sospeso questa tesi sta per concludersi ma si tenga presente che, nonostante il successo solo parziale della soluzione di Morris e Thorne, essa `e stata cos`ı importante che ancora oggi rappresenta, ad ormai 30 anni di distanza, un punto di riferimento per qualunque fisico teorico che voglia affrontare il problema del viaggio interstellare, sia tramite la teoria delle stringhe che in maniera pi`u classica.
Bibliografia
[1] A. Einstein and N. Rosen, Phys. Rev. 48, 73 (1935)
[2] M. S. Morris and K. S. Thorne, Am. J. Phys. 56, 395 (1988)
[3] C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973)