Sottomodello di misura e analisi fattoriale

Il sottomodello di misura permette di analizzare le relazioni tra le variabili latenti e le rispettive variabili osservate, occupandosi quindi della parte di “misura”

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del modello. Se la relazioni tra variabili osservate e latenti è riferito alle variabili endogene, l’equazione che in forma matriciale rappresenta questo modello è:

y = Λy η + ε

ovvero la seconda equazione del modello SEM generale. Quest’equazione è composta dalle variabili:

y à vettore (px1) delle variabili osservate endogene; η (eta) à vettore (mx1) delle variabili latenti endogene; dall’errore:

ε (epsilon) à vettore (px1) dell’errore stocastico delle variabili y; dai coefficienti strutturali:

Λy (lambda-y) à matrice (pxm) di coefficienti fra le variabili η e y.

Inoltre è compresa la matrice di varianza-covarianza:

Θε (theta-epsilon) à matrice (pxp) di varianza-covarianza tra gli errori ε, cioè E(ε

ε′),

Se, invece, consideriamo il modello di misura riferito alle variabili esogene l’equazione che in forma matriciale rappresenta tale modello è:

x = Λx ξ + δ

ovvero la terza e ultima equazione del modello SEM completo. E’ composto dalle variabili:

x à vettore (q33

x1) di variabili osservate esogene;

ξ (ksi) à vettore (nx1) di variabili osservate esogene. dall’errore:

δ (delta) à vettore (qx1) l’errore stocastico delle variabili x dai coefficienti strutturali:

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Λx (lambda-x) à matrice (qxn) di coefficienti fra le variabili ξ e x.

Inoltre è compresa la matrice di varianza-covarianza:

Θδ (theta-delta) à matrice (qxq) di varianza-covarianza tra gli errori δ, cioè E(δ δ′). Sia che si consideri il modello di misura per variabili esogene o che si consideri quello per variabili endogene, tale modello viene solitamente utilizzato per l’analisi fattoriale sia esplorativa che confermativa. L’analisi fattoriale serve per individuare un numero, relativamente piccolo, di costrutti fattoriali (o latenti) che possono servire per sostituire adeguatamente un numero più ampio di indicatori (variabili osservate). Come anticipato, l’analisi fattoriale può essere esplorativa o confermativa: la differenza sostanziale riguarda la conoscenza o meno, da parte del ricercatore, delle informazioni a priori circa le variabili osservate e le relative variabili latenti coinvolte; nel caso di un’analisi fattoriale esplorativa lo studioso non conosce nulla circa il fenomeno che desidera studiare, e per questo, non pone alcun vincolo nelle relazioni tra variabili osservate e variabili latenti, al fine di far emergere le relazioni significative. Nel caso di un’analisi fattoriale confermativa, al contrario, lo studioso possiede già delle informazioni circa il fenomeno ed è quindi in grado di porre dei vincoli (ad esempio di nullità o uguaglianza) nelle variabili osservate e/o latenti, in questo caso l’analisi gli serve proprio per verificare le informazioni che possiede. Nel caso di utilizzo di variabili latenti, non essendo per loro natura osservabili, è importante definire un’origine e un’unità di misura;. In quanto all’origine, poiché nei modelli SEM non vengono imposte alcune restrizioni sulle medie delle variabili considerate, e poiché le variabili osservate vengono considerate come scarti dalla media si assume che anche le variabili latenti abbiano media nulla. L’unità di misura dei fattori, invece, può essere definita con modalità differenti: le due maggiormente utilizzate consistono nel fissare pari ad uno la varianza delle variabili latenti o nel porre la varianza delle variabili latenti uguale a quella delle variabili osservate; si può fissare la varianza delle variabili latenti pari ad uno solo per le variabili ξ, in quanto la matrice di varianza-covarianza delle variabili latenti endogene non è compresa nel modello, mentre per fissare la varianza delle variabili latenti esogene η si può uguagliare al vettore unitario la diagonale della matrice di varianza-covarianza del termine d’errore dell’equazioni Ψ. Se invece si vuole porre la varianza delle variabili

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latenti uguale a quella delle variabili osservate bisogna assegnare il valore uno al parametro λ che lega la variabile osservata prescelta e la latente.

Anche nei modelli di analisi fattoriale l’identificazione è un aspetto importante da non sottovalutare: come detto precedentemente, verificare l’identificabilità di un modello significa assicurarsi che tutti i parametri possano essere univocamente determinati a partire dai dati. Nel caso di un analisi fattoriale esplorativa affinché il modello sia univocamente identificato è necessario imporre k2 restrizioni indipendenti, dove k è il numero di fattori misurati. ½ k (k + 1) restrizioni vengono soddisfatte imponendo Φ = I, mentre le rimanenti restrizioni vengono soddisfatte elaborando il modello con ½ k (k - 1) elementi nulli nella matrice Λ (solitamente in righe e colonne diverse). Una volta poste tali restrizioni la condizione d’identificazione (necessaria e sufficiente) diventa ½ [(p – k)2 – (p + k)] ≥ 0, dove k è il numero di fattori misurati e p è il numero di variabili osservate. In un modello di analisi fattoriale confermativa, invece, vi sono altre tecniche per stabilire se un modello è identificato o meno; una condizione necessaria ma non sufficiente è che t

≤ ½ p (p + 1) dove t è il numero di parametri liberi in Φ; questa condizione, chiamata “t-Rules”, afferma semplicemente che il numero di parametri da stimare deve essere minore delle equazioni del modello ed è valida anche per i modelli SEM in generale. Una condizione sufficiente, ma non necessaria per identificare il modello si ha quando è verificato quanto detto dalla regola dei tre indicatori; secondo la quale un modello è identificato se vengono rispettate contemporaneamente le seguenti condizioni: numero di fattori maggiore o uguale ad 1, per ogni fattori esistono 3 o più indicatori, in ogni riga di Λ vi è almeno un elemento non nullo e Θ è diagonale. Nel caso di modelli con un numero di fattori strettamente maggiore di uno si può far riferimento ad una regola, simile alla regola dei tre indicatori, che richiede due indicatori e che ogni riga di Φ presenti almeno un elemento al di fuori della diagonale non nullo. Anche per la regola dei due indicatori, la sua verifica è una condizione sufficiente ma non necessaria. Queste appena esposte sono alcune regole che non coprono tutte le possibili definizioni di un modello di analisi (esplorativo o confermativo); in casi in cui non vengono rispettate le condizioni poste dalle regole fin qui esaminate vi sono delle procedure empiriche che permettono di stabilire se un

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modello è identificato o meno. Nella tabella 3.3 vengono riassunte le regole fin qui viste.

Tabella 3.3 Regole d'identificazione per un modello di analisi fattoriale confermativa