Spazi di funzioni integrabili

1. Spazi L^p. Disuguaglianze di H¨older e Minkowski

Sia (X,A , µ) uno spazio di misura e indichiamo con M (X) lo spazio vettoriale (reale) delle funzioni f : X → [−∞, ∞] che sono µ-misurabili ed f (x) ∈ R per µ-q.o. x ∈ X.

Per 1 ≤ p < ∞, si definisce l’insieme di funzioni

(4.1) L^p(X) =

n

f ∈M (X) :Z

X

|f (x)|^pdµ < ∞ o

.

Vedremo che si tratta di uno spazio vettoriale reale. E ben definita la funzione` k · k_p : L^p(X) → [0, ∞)

(4.2) kf k_p =Z

X

|f (x)|^pdµ¹_p .

Quando p = 2 questa seminorma nasce da un prodotto scalare. Date f, g ∈ L² si definisce

hf, gi_L²_(X) = Z

X

f (x)g(x) dµ.

Vedremo fra breve che l’integrale converge.

Estendiamo la definizione al caso p = ∞. L’estremo superiore essenziale di una funzione f ∈ M (X) `e

kf k∞ = infM ≥ 0 : |f (x)| ≤ M per µ-q.o. x ∈ X .

Se l’insieme di cui si prende l’estremo inferiore `e vuoto, si pone kf k∞= ∞. Possiamo dunque definire l’insieme delle funzioni essenzialmente limitate

(4.3) L^∞(X) =f ∈M (X) : kfk∞< ∞ .

Diciamo che due esponenti 1 ≤ p, q ≤ ∞ sono H¨older-coniugati se si ha 1

p +1 q = 1,

dove usiamo le convenzioni 1/∞ = 0 e 1/0 = ∞. L’esponente p = 2 coincide col suo coniugato.

Proposizione 4.1 (Disuguaglianza di H¨older). Siano 1 ≤ p, q ≤ ∞ esponenti di H¨older coniugati. Se f ∈ L^p(X) e g ∈ L^q(X) allora f g ∈ L¹(X) e

(4.4)

Z

X

|f (x)g(x)| dµ ≤ kf k_pkgk_q.

Inoltre, nel caso 1 < p, q < ∞, se si ha uguaglianza e kf k_p 6= 0, allora esiste λ > 0 tale che |g(x)| = λ|f (x)|^p−1 per µ-q.o. x ∈ X.

45

46 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Dim. Il caso limite p = 1 e q = ∞ `e chiaro, perch`e Z

X

|f (x)g(x)|dµ ≤ kgk_∞ Z

X

|f (x)| dµ.

Se c’`e uguaglianza dovra essere |g(x)| = kgk∞ per µ-q.o. x ∈ {|f | > 0}.

Passiamo al caso 1 < p < ∞ e quindi q = _p−1^p . Ricordiamo la disuguaglianza di Young. Se x, y ≥ 0 sono numeri reali, allora

(4.5) xy ≤ x^p

p + y^q q .

Dividendo per y^q6= 0, e ponendo t = x/y^p−11 ≥ 0 si ottiene la disuguaglianza equiva-lente

t ≤ t^p

p + 1 − 1

p, t ≥ 0,

la cui validit`a pu`o essere verificata facilmente con uno studio di funzione. Si ha uguaglianza se e solo se t = 1, e quindi in (4.5) si ha uguaglianza se e solo se y = x^p−1. Passando alla disuguaglianza di H¨older, usando la disuguaglianza di Young pun-tualmente dentro l’integrale si trova

Z

X

|f | kf kp

|g|

kgkq

dµ ≤ Z

X

 |f |^p pkf k^pp

+ |g|^q qkgk^qq

 dµ

= 1 p

1 kf k^pp

Z

X

|f |^pdµ + 1 q

1 kgk^qq

Z

X

|g|^qdµ

= 1 p +1

q = 1,

e quindi si ottiene la (4.4). Se si ha uguaglianza in (4.4), allora deve esserci uguaglianza q.o. nella disuguaglianza dentro l’integrale. Quindi deve essere

|g|

kgk_q = |f |^p−1 kf k^p−1p

, µ-q.o. su X.

Questo termina la dimostrazione. Abbiamo usato l’ipotesi f ∈ L^p(X) e g ∈ L^q(X) per poter dividere per le norme di f e g all’inizio dell’argomento.  Proposizione 4.2 (Disuguaglianza di Minkowski). Per ogni 1 ≤ p ≤ ∞ e per ogni f, g ∈ L^p(X) si ha

(4.6) kf + gkp ≤ kf kp+ kgkp.

Dim. Il caso p = ∞ `e elementare e la verifica `e lasciata come esercizio.

Ricordiamo innanzi tutto che per ogni 1 ≤ p < ∞ esiste una costante C_p > 0 tale che per ogni coppia di numeri reali x, y ≥ 0 si ha

(4.7) (x + y)^p ≤ Cp(x^p+ y^p).

Da tale disuguaglianza segue che f + g ∈ L^p(X).

2. INCLUSIONI FRA SPAZI L^p 47

Sia ora 1 < q ≤ ∞ l’esponende di H¨older coniugato di p. Usando la disuguaglianza di H¨older si trova

kf + gk^p_p = perch`e questa quantit`a `e finita e possiamo anche supporla diversa da zero. Se fosse kf + gkp = 0 non ci sarebbe infatti nulla da dimostrare. Ma kf + gk^p_pk|f + g|^p−1k⁻¹_q = disuguaglianza di Minkowski e per il teorema della convergenza monotona, si ha

Z

Dunque si ha f ∈ L^p([0, 1]) ed in particolare la serie che definisce la funzione f converge ad un valore finito per q.o. x ∈ [0, 1].

2. Inclusioni fra spazi L^p

In questa sezione esaminiamo alcune relazioni di inclusione fra spazi L^p(X).

1. Supponiamo che X sia di misura finita, µ(X) < ∞, e siano 1 ≤ p < q ≤ ∞. dove (q/p)⁰ indica l’esponente di H¨older coniugato di q/p.

2. Se una funzione sta in due diversi spazi di Lebesgue, sta anche in tutti quelli intermedi, independentemente dalla misura di X. Siano 1 ≤ p < q < ∞, e supponi-amo che f ∈ L^p(X) ∩ L^q(X), allora f ∈ L^r(X) per ogni p < r < q. Infatti, si ha

48 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

r = tp + (1 − t)q per un certo t ∈ (0, 1), e dalla disuguaglianza di H¨older segue che Z

X

|f |^rdµ ≤Z

X

|f |^pdµtZ

X

|f |^qdµ1−t

< ∞.

3. Se una funzione sta in tutti gli spazi L^p (sufficientemente elevati) con norma uniformemente limitata, allora sta anche in L^∞. Precisamente, supponiamo che f ∈ L^p(X) con kf k_p ≤ M < ∞ per ogni 1 ≤ p < ∞. Allora kf k∞ ≤ M .

Dim. Fissiamo ε > 0 e proviamo che l’insieme

A_ε = {x ∈ X : |f (x)| ≥ M + ε}

ha misura nulla. Infatti µ(A_ε) =

Z

Aε

dµ ≤ 1

(M + ε)^p Z

X

|f (x)|^pdµ ≤ M M + ε

p

→ 0

per p → ∞. Poich`e ε > 0 `e arbitrario segue che kf k∞≤ M . 

Esempio 4.4. Sia X = [0, 1] con la misura di Lebsgue e si consideri la funzione f (x) = | log x|, x ∈ [0, 1]. Per ogni 1 ≤ p < ∞ esiste una costante C_p > 0 tale che

√x| log x|^p ≤ C_p, x ∈ (0, 1].

Siccome 1/√

x ∈ L¹([0, 1]) segue che f ∈ L^p([0, 1]) per ogni p ≥ 1. Tuttavia f /∈ L^∞([0, 1]).

3. Teorema di completezza

Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che L^p(X) `e chiuso per somma di fun-zioni, e dunque `e uno spazio vettoriale. Per ogni 1 ≤ p ≤ ∞, la semininorma k · k_p : L^p(X) → [0, ∞) verifica le seguenti propriet`a:

i) kf k_p ≥ 0 per ogni f ∈ L^p(X) ed kf k_p = 0 implica che f = 0 µ-q.o.;

ii) kλf kp = |λ|kf kp per ogni λ ∈ R e per ogni f ∈ L^p(X);

iii) kf + gkp ≤ kf kp+ kgkp per ogni f, g ∈ L^p(X).

Per avere uno spazio normato (invece che solo seminormato) occorre identificare le funzioni che sono uguali quasi ovunque. Sia ∼ la relazione di equivalenza su L^p(X)

f ∼ g ⇔ µ({x ∈ X : f (x) 6= g(x)}) = 0.

Indichiamo con L^p(X) = L^p(X)/ ∼ il quoziente munito della norma k · k_p, che non dipende dai rappresentanti delle classi di equivalenza. Ora (L^p(X), k · k_p) `e uno spazio normato.

Teorema 4.5 (Completezza). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura. Per ogni 1 ≤ p ≤ ∞, L^p(X) `e uno spazio di Banach. In particolare, L<sup>2</sup>(X) `e uno spazio di Hilbert.

Dim. Abbiamo gi`a osservato cheL<sup>p</sup>(X) `e uno spazio vettoriale normato. Dobbi-amo provare che `e uno spazio metrico completo per la distanza indotta dalla norma.

Vediamo la prova nel caso 1 ≤ p < ∞. Scegliamo a nostro piacere rappresentanti nelle classi di equivalenza. Sia f_n∈ L^p(X), n ∈ N, una successione di Cauchy. Esiste

3. TEOREMA DI COMPLETEZZA 49

una sottosuccessione (f_ni)_i∈N tale che kf_ni+1− f_nik_p ≤ ₂¹i per ogni i ∈ N. La funzione g : X → [−∞, ∞]

g(x) =

∞

X

i=1

|fni+1(x) − fni(x)|, x ∈ X,

`

e misurabile ed `e finita in µ-q.o. punto x ∈ X. Infatti, per la disuguaglianza di Minkowski generalizzata al caso di somme numerabili si ha

kgk_p ≤

∞

X

i=1

kf_ni+1− f_nik_p ≤

∞

X

i=1

1 2ⁱ ≤ 1.

Dunque, `e definita per µ-q.o. punto x ∈ X anche la funzione f : X → R f (x) = f_n1(x) +

∞

X

i=1

(f_ni+1(x) − f_ni(x)) = lim

i→∞f_ni(x), per q.o. x ∈ X.

Proviamo che la funzione f `e il limite della successione (f_n)_n∈N nella distanza indotta dalla norma k · k_p. Precisamente, affermiamo che

n→∞lim Z

X

|f_n(x) − f (x)|^pdµ = 0.

Infatti, fissato ε > 0 usando il Lemma di Fatou e la condizione di Cauchy si vede che esiste ¯n ∈ N tale che

Z

X

|fn(x) − f (x)|^pdµ = Z

X

i→∞lim |fn(x) − fni(x)|^pdµ

≤ lim inf

i→∞

Z

X

|f_n(x) − f_ni(x)|^pdµ ≤ ε, pur di prendere n ≥ ¯n. Dalla disuguaglianza (4.7) si trova

Z

X

|f (x)|^pdµ ≤ C_p Z

X

(|f (x) − f_n(x)|^p+ |f_n(x)|^p)dµ, e dunque f ∈ L^p(X).

Consideriamo il caso p = ∞. Sia (f_n)_n∈N una successione di Cauchy in L^∞(X) e definiamo per ogni m, n, k ∈ N gli insiemi

A_mn = {x ∈ X : |f_m(x) − f_n(x)| > kf_m− f_nk∞}, B_k = {x ∈ X : |f_k(x)| > kf_kk∞}.

Tutti questi insiemi hanno misura nulla, e dunque anche l’insieme E = [

k∈N

B_k∪ [

m,n∈N

A_mn,

ha misura nulla, µ(E) = 0. Sul complementare X \ E, la successione di funzioni (f_n)_n∈N`e uniformemente di Cauchy e dunque converge uniformemente ad una funzione

limitata f . 

Corollario 4.6. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e sia 1 ≤ p ≤ ∞. Sia fn∈ L^p(X), n ∈ N, una successione di funzioni convergente in norma ad una funzione f ∈ L^p(X). Allora esiste una sottosuccessione (f_nk)_k∈N convergente puntualmente ad f µ-q.o.

50 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Dim. Poich`e (f<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub> `e di Cauchy, l’affermazione segue dalla dimostrazione del

teorema di completezza. 

4. Convergenza forte, debole, in misura e q.o.

Sia (X,A , µ) uno spazio di misura. Introduciamo e confrontiamo fra alcune nozioni di convergenza per successioni di funzioni (convergenza sequenziale). In gen-erale, (f_n)_n∈N sar`a una successione di funzioni misurabili su X a valori in [−∞, ∞]

ed f sar`a una candidata funzione limite.

4.1. Convergenza forte. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Diremo che f_n → f fortemente in L^p(X) se f_n, f ∈ L^p(X) e

n→∞lim kf_n− f k_p = 0.

Sappiamo che in questo caso esiste una sottosuccessione (f_ni)_i∈N che converge q.o. ad f .

Esempio 4.1. In generale la convergenza forte non implica che fn(x) → f (x) per q.o. x ∈ X. Si consideri X = [0, 1] con la misura di Lebesgue e la successione di funzioni definita in questo modo:

f₁ = χ_[0,1],

f₂ = χ_[0,1/2], f₃ = χ_[1/2,1],

f₄ = χ_[0,1/4], f₅ = χ_[1/4,1/2], f₆ = χ_[1/2,3/4], f₇ = χ_[3/4,1]

f₈ = χ_[0,1/8], . . . Chiaramente, per ogni x ∈ [0, 1] si ha

lim inf

n→∞ f_n(x) = 0, lim sup

n→∞

f_n(x) = 1, mentre kfnkp → 0 per ogni 1 ≤ p < ∞ (ma non per p = ∞).

4.2. Convergenza debole. La nozione di convergenza debole nasce dalla nozione di topologia debole su L^p(X) e dal teorema di dualit`a fra spazi L^p(X). Ne diamo qui una presentazione autosufficiente ed equivalente.

Sia 1 ≤ p < ∞. Diremo che la successione (f_n)_n∈N converge debolmente ad f in L^p(X) se fn, f ∈ L^p(X) e per ogni g ∈ L^q(X), con 1 < q ≤ ∞ esponente di H¨older coniugato di p, si ha

n→∞lim Z

X

f_n(x)g(x)dµ = Z

X

f (x)g(x)dµ.

La convergenza debole si indica talvolta in questo modo f_n* f in L^p.

La convergenza forte implica quella debole. Questo segue dalla disuguaglianza di H¨older:

  

Z

X

fng dµ − Z

X

f g dµ   ≤

Z

X

|fn− f ||g|dµ ≤ kfn− f kpkgkq.

Questa considerazione ha senso anche quando p = ∞. Ma per p = ∞ quella data sopra non sarebbe la definizione corretta di convergenza debole ed abbiamo per tale motivo escluso questo caso.

In alcuni casi `e sufficiente verificare il test di convergenza debole per una classe ristretta di funzioni.

4. CONVERGENZA FORTE, DEBOLE, IN MISURA E Q.O. 51

Dim. Proviamo l’implicazione non banale. Data g ∈ L^q(A), per ogni ε > 0 esiste una funzione ϕ ∈ C_c^∞(A) tale che kg − ϕk_q < ε. La dimostrazione di questo fatto `e nel Teorema 4.5. Dunque, con la disuguaglianza di H¨older si trova

 per una costante 0 ≤ C < ∞ indipendente da k, e quindi

lim sup

con ε > 0 arbitrario. La tesi segue. 

Esempio 4.2. La convergenza debole non implica quella forte. Si consideri X = (0, π) con la misura di Lebesgue e sia f_n(x) = sin(nx) ∈ L^p(0, π), n ∈ N e 1 < p < ∞.

La successione `e anche in L¹ ed L^∞, ma non consideriamo questi casi. Affermiamo che

f_n* 0 debolmente in L^p(0, π).

Per il Lemma 4.1, e sufficiente verificare che

n→∞lim segue. In ultima analisi, la convergenza debole a 0 `e prodotta dalle oscillazioni della successione, che diventano sempre pi`u frequenti.

D’altra parte, si ha Z π e quindi la successione non converge fortemente a 0 in L^p(0, π).

52 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Esempio 4.3. La convergenza puntuale non implica quella debole. Ad esempio, la successione f_n= nχ_(0,1/n] ∈ L¹(R), n ∈ N, converge a 0 in ogni punto, tuttavia

n→∞lim Z

R

f_n(x)ϕ(x)dx = ϕ(0)

per ogni funzione continua ϕ ∈ C(R). Quindi non c’`e convergenza a 0 in L¹(R)-debole.

Esercizio 4.4. La convergenza debole non implica quella puntuale, nemmeno per opportune sottosuccesioni. Cercare di provare questa affermazione costruendo un esempio.

4.3. Convergenza in misura. Sia (X,A , µ) uno spazio di misura, e siano f, f_n ∈ M (X) funzioni misurabili, n ∈ N. Si dice che la successione di funzioni (f_n)_n∈N converge in misura ad f (e scriveremo “f_n→ f in misura”) se per ogni ε > 0 si ha

n→∞lim µ {x ∈ X : |f_n(x) − f (x)| ≥ ε}
= 0.

Prima di descrivere il legame fra convergenza in misura, convergenza quasi ovunque e convergenza in L¹ premettiamo alcuni fatti generali.

Definizione 4.1. I limiti inferiore e superiore di una successione di insiemi En⊂ X, n ∈ N, si definiscono nel seguente modo

lim inf

n→∞ En =

∞

[

n=1

∞

\

k=n

Ek e lim sup

n→∞

En =

∞

\

n=1

∞

[

k=n

Ek.

Lemma 4.2 (Borel-Cantelli). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e sia (En)_n∈N una successione di insiemi misurabili in X. Allora:

∞

X

n=1

µ(E_n) < ∞ ⇒ µ lim sup

n→∞

E_n
= 0.

Dim. `E sufficiente osservare che µ\^∞

n=1

∞

[

k=n

E_k

≤ µ[^∞

k=n

E_k

≤

∞

X

k=n

µ(E_k)

per ogni n ∈ N. L’espressione a destra converge a zero in quanto resto di una serie

convergente. 

Nella seguente proposizione descriviamo il legame fra convergenza in misura e quasi ovunque.

Teorema 4.3. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura, e siano f, fn∈M (X) funzioni misurabili, n ∈ N. Allora:

i) Se µ(X) < ∞ ed f_n(x) → f (x) per µ-q.o. allora f_n → f in misura.

ii) Se f_n → f in misura, allora esiste una sottosuccessione (f_nk)_k∈N tale che fn_k(x) → f (x) per µ-q.o. x ∈ X.

Dim. Proviamo la i). Dato η > 0, per il teorema di Egorov esiste un insieme misurabile X_η ⊂ X tale che µ(X \ X_η) ≤ η ed f_n → f uniformemente su X_η. Dunque, fissato ε > 0 si ha

µ({x ∈ X : |f_n(x) − f (x)| ≥ ε}) ≤ η + µ({x ∈ X_η : |f_n(x) − f (x)| ≥ ε}).

4. CONVERGENZA FORTE, DEBOLE, IN MISURA E Q.O. 53

e la tesi segue.

Proviamo la ii). Dalla definizione di convergenza in misura segue che per ogni k ∈ N esiste nk ∈ N tale che e per il lemma di Borel-Cantelli

µ

e la tesi segue. La costruzione di un controesempio `e lasciata come esercizio.  Teorema 4.5. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura finito, µ(X) < ∞, e siano f, fn∈M (X) funzioni misurabili, n ∈ N. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

A) f_n→ f in misura.

Dim. A)⇒B) Non `e restrittivo supporre f = 0. Partiamo dall’identit`a Z

54 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

dove abbiamo posto

ϕ_n(t) = µn

x ∈ X : |f_n(x)| ≥ t 1 − t

o

. Se vale A), allora per ogni t ∈ (0, 1) esiste il limite puntuale

n→∞lim ϕ_n(t) = 0.

Dunque, per il Teorema della convergenza dominata si ottiene

n→∞lim Z

X

|f_n(x)|

1 + |fn(x)|dx = Z 1

0

n→∞lim ϕ_n(t)dt = 0.

La prova dell’implicazione inversa `e lasciata come esercizio.



5. Regolarizzazioni

In questa sezione introduciamo la teoria delle regolarizzazioni di funzioni in Rⁿ, su cui fissiamo la misura di Lebesgue.

5.1. Nucleo di regolarizzazione. Sia χ : Rⁿ→ [0, ∞) la funzione

χ(x) =







c₀exp 1

|x|²− 1



, |x| < 1

0 |x| ≥ 1.

Chiaramente si ha χ ∈ C^∞(Rⁿ). La costante c₀ > 0 `e fissata in modo tale che Z

Rⁿ

χ(x)dx = 1.

Per ogni ε > 0, definiamo le funzioni χ_ε : Rⁿ → [0, ∞) χ_ε(x) = 1

εⁿχx ε



, x ∈ Rⁿ. Queste funzioni verificano le seguenti propriet`a:

i) χ_ε ∈ C^∞(Rⁿ);

ii) χ_ε ≥ 0 e χ_ε(x) > 0 se e solo se |x| < ε;

iii) Per le propriet`a di invarianza della misura di Lebesgue rispetto alle di-latazioni si ha

(4.8)

Z

Rⁿ

χ_ε(x)dx = 1 εⁿ

Z

Rⁿ

χx ε

 dx =

Z

Rⁿ

χ(y)dy = 1.

Dunque, per ε → 0 l’integrale si concentra in x = 0. La famiglia di funzioni (χ_ε)_ε>0 si dice nucleo di regolarizzazione o anche approssimazione dell’unit`a.

5. REGOLARIZZAZIONI 55

5.2. Regolarizzazione di funzioni localmente integrabili. Una funzione Lⁿ-misurabile f : Rⁿ → [−∞, ∞] si dice localmente integrabile, e scriveremo f ∈ L¹_loc(Rⁿ), se per ogni compatto K ⊂ Rⁿ si ha f ∈ L¹(K).

Definizione 4.1. Data una funzione f ∈ L¹_loc(Rⁿ), per ogni ε > 0 definiamo la funzione f_ε: Rⁿ → R

f_ε(x) = Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)f (y)dy = χ_ε∗ f (x), x ∈ Rⁿ.

Abbiamo usato la notazione ∗ per la convoluzione. L’integrale converge perch`e l’integrazione `e ristretta alla palla B_ε(x) = {y ∈ Rⁿ: |y − x| < ε}. Con il cambio di variabile x − y = z, fatto a x fissato, l’integrale pu`o essere trasformato nel seguente modo

f_ε(x) = Z

Rⁿ

f (x − y)χ_ε(y)dy = f ∗ χ_ε(x), x ∈ Rⁿ.

Ricordiamo che il supporto di una funzione f : Rⁿ → [−∞, ∞] `e l’insieme (chiuso) spt(f ) ={x ∈ Rⁿ : f (x) 6= 0}.

Teorema 4.2 (Propriet`a della regolarizzazione). Sia f ∈ L¹loc(Rⁿ).

i) Per ogni ε > 0 si ha f_ε ∈ C^∞(Rⁿ).

ii) Detto K = spt(f ) si ha spt(f_ε) ⊂ K_ε = {x ∈ Rⁿ: dist(x, K) ≤ ε}, per ogni ε > 0.

iii) Se f ∈ C(Rⁿ) `e continua, allora f_ε → f per ε → 0⁺ uniformemente sui compatti.

iv) Se f ∈ L^p(Rⁿ) con 1 ≤ p ≤ ∞ allora kf_εk_p ≤ kf k_p.

Dim. i) Proviamo che fε `e una funzione continua in un generico punto x0 ∈ R<sup>n</sup>. Se |x − x0| ≤ 1 allora spt(χε(· − x)) ⊂ K = ¯B1+ε(x0). Siccome χε `e limitata ed f ∈ L¹(K), per il Teorema della convergenza dominata si pu`o portare il limite x → x₀ dentro l’integrale

x→xlim0

f_ε(x) = lim

x→x0

Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)f (y)dy

= Z

Rⁿ x→xlim0

χ_ε(x − y)f (y)dy

= Z

Rⁿ

χ_ε(x₀− y)f (y)dy = f_ε(x₀).

In modo analogo, essendo per ogni i = 1, . . . , n e per ogni x, y ∈ Rⁿ 

 

∂χ_ε(x − y)

∂x_i  

≤ k∇χ_εk∞,

`

e possibile derivare sotto segno di integrale

∂fε(x)

∂x_i = Z

Rⁿ

∂

∂x_iχ_ε(x − y)f (y)dy.

Come per la continuit`a di f_ε si dimostra che la funzione x 7→

Z

Rⁿ

∂

∂x_iχε(x − y)f (y)dy

56 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

`

e continua, e quindi f ∈ C¹(Rⁿ). Ora per induzione si prova che f ∈ C^∞(Rⁿ).

ii) Sia x ∈ Rⁿ tale che dist(x, K) > ε. Per continuit`a della funzione distanza, esiste δ > 0 tale che dist(z, K) > ε per ogni z ∈ B_δ(x). Se f (y) 6= 0 allora y ∈ K e dunque

|z − y| ≥ dist(z, K) > ε.

Quindi f (y) 6= 0 implica χ_ε(z − y) = 0 e questo prova che f_ε(z) = 0. Dunque, x `e un punto interno dell’insieme {f_ε = 0} e pertanto spt(f_ε) ⊂ K_ε.

iii) Se K ⊂ Rⁿ `e compatto allora anche l’insieme K1 = {x ∈ R : dist(x, K) ≤ 1}

`

e compatto, essendo chiuso e limitato. Essendo f continua su K₁, allora `e uniforme-mente continua: per ogni σ > 0 esiste ε > 0 tale che

x, y ∈ K₁ e |x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < σ.

Siano x ∈ K e 0 < ε < 1. Dalla propriet`a (4.8) del nucleo di regolarizzazione segue che

f_ε(x) − f (x) = Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)(f (y) − f (x))dy,

dove l’integrazione `e ristretta all’insieme B_ε(x) = {y ∈ Rⁿ : |x − y| < ε} ⊂ K₁. Di conseguenza, per ogni ε > 0 sufficientemente piccolo si ha |f (y) − f (x)| < σ per ogni x ∈ K e per ogni y tale che |x − y| < ε, e quindi

|f_ε(x) − f (x)| ≤ Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)|f (y) − f (x)|dy ≤ σ Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)dy = σ.

Abbiamo usato il fatto che χ_ε≥ 0. Questo prova la convergenza uniforme su K.

iv) Sia ora f ∈ L^p(Rⁿ) con 1 < p < ∞ e sia 1 < q < ∞ l’esponente di H¨older coniugato. I casi p = 1 e p = ∞ sono pi`u facili. Per la disuguaglianza di H¨older si ha

|f_ε(x)| ≤ Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)^1q+1p|f (y)|dy

≤Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)dy¹_qZ

Rⁿ

χ_ε(x − y)|f (y)|^pdy¹_p

=Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)|f (y)|^pdy¹_p .

Di conseguenza, usando il Teorema di Fubini-Tonelli sullo scambio dell’ordine di in-tegrazione si trova

Z

Rⁿ

|f_ε(x)|^pdx ≤ Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

χ_ε(x − y)|f (y)|^pdy dx

= Z

Rⁿ

|f (y)|^p Z

Rⁿ

χε(x − y)dx dy = Z

Rⁿ

|f (y)|^pdy.

Nella prossima sezione proveremo che f_ε → f in L^p-forte. 

6. LE FUNZIONI CONTINUE A SUPPORTO COMPATTO SONO DENSE IN L^p 57

6. Le funzioni continue a supporto compatto sono dense in L^p

In questa sezione proviamo il teorema di densit`a in L<sup>p</sup>(A) delle funzioni continue a supporto compatto quando A `e un aperto di Rⁿ con la misura di Lebesgue. Il teorema ha una formulazione pi`u generale negli spazi metrici localmente compatti con una misura di Radon.

Teorema 4.3 (Densit`a). Sia A ⊂ R<sup>n</sup> un insieme aperto. Per ogni 1 ≤ p < ∞, l’insieme delle funzioni continue con supporto compatto in A `e denso in L^p(A):

Cc(A)^L

p(A)

= L^p(A).

Dim. Dobbiamo provare che per ogni f ∈ L^p(A) e per ogni ε > 0 esiste g ∈ Cc(A) tale che kf − gkp < ε. Possiamo supporre che f abbia supporto compatto in A e che sia f ≥ 0. Dal Teorema 2.9 e dal teorema della convergenza dominata segue l’esistenza di una funzione semplice ϕ tale 0 ≤ ϕ ≤ f ed

Z

A

|f (x) − ϕ(x)|^pdx < ε.

La funzione semplice `e della forma ϕ(x) =

N

X

k=1

c_kχ_Ak(x), x ∈ A.

con Ak ⊂ A insiemi Lⁿ-misurabili disgiunti fra loro e ck ≥ 0. Dunque, le funzioni semplici sono dense in L^p(A).

Possiamo supporre che gli insiemi A_k siano sottoinsiemi del supporto di f (al-trimenti c_k = 0) e quindi che siano a chiusura compatta in A. `E sufficiente allora dimostrare che per ogni insiemeLⁿ-misurabile E ⊂ A con chiusura compatta in A e per ogni ε > 0 esiste una funzione g ∈ C_c(A) tale che

Z

A

χ_E(x) − g(x) 

pdx < ε.

Per il Teorema 3.6 esistono un aperto Ω ⊂ A ed un chiuso C tali che C ⊂ E ⊂ Ω ed inoltre Lⁿ(Ω \ C) < ε. Siccome E ha chiusura compatta in A, possiamo supporre che anche Ω abbia chiusura compatta in A e che C sia compatto.

Definiamo le seguente funzione g : Rⁿ→ R g(x) = dist(x, Rⁿ\ Ω)

dist(x, Rⁿ\ Ω) + dist(x, C), x ∈ Rⁿ.

Osserviamo che il denominatore non `e mai 0, grazie alle inclusioni C ⊂ E ⊂ Ω con C compatto. Dunque g `e ben definita ed `e una funzione continua, essendo quoziente di funzioni continue. Inoltre si ha: 1) g(x) = 1 per ogni x ∈ C; 2) g(x) = 0 se x ∈ Rⁿ\Ω;

3) 0 ≤ g(x) ≤ 1 per ogni x ∈ Rⁿ. In particolare, si ha g ∈ C_c(A). Infine, si stima Z

A

χ_E(x) − g(x) 

pdx = Z

Ω\C

χ_E(x) − g(x) 

pdx ≤Lⁿ(Ω \ C) ≤ ε.

Questo termina la dimostrazione.



58 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

7. Convergenza in media e Teorema di Riemann-Lebesgue Teorema 4.4. Sia f ∈ L^p(Rⁿ) con 1 ≤ p < ∞. Allora:

i) Vale la “continuit`a in media”

h→0lim Z

Rⁿ

|f (x + h) − f (x)|^pdx = 0.

ii) Le regolarizzazioni convergono in L^p-forte:

lim

Questo prova la prima affermazione.

ii) Per ogni x ∈ Rⁿ si ha, come nella dimostrazione Teorema 6.9 parte iv),

|fε(x) − f (x)| = e dunque, usando il Teorema di Fubini-Tonelli,

Z

Ora l’affermazione segue dalla continuit`a in media.  Il Teorema 4.3 pu`o essere migliorato.

Teorema 4.5 (Densit`a). Sia A ⊂ R<sup>n</sup> un insieme aperto. Per ogni 1 ≤ p < ∞, l’insieme delle funzioni C<sup>∞</sup> con supporto compatto in A `e denso in L^p(A):

C_c^∞(A)^L

p(A)

= L^p(A).

7. CONVERGENZA IN MEDIA E TEOREMA DI RIEMANN-LEBESGUE 59

Dim. Per ogni δ > 0, l’insieme

K_δ = {x ∈ A : dist(x, ∂A) ≥ δ e |x| ≤ 1/δ}

`

e un sottoinsieme compatto di A ed inoltre, per il teorema della convergenza dominata lim

δ→0⁺

Z

A

|f (x) − f (x)χ_Kδ(x)|^pdx = 0.

Senza perdere di generalit`a possiamo allora supporre che f abbia supporto compatto in A (ed estendere la funzione f su tutto Rⁿ ponendola uguale a 0 fuori da A).

Per ogni ε > 0 sufficientemente piccolo la regolarizzazione f_ε ∈ C^∞(Rⁿ) ha sup-porto compatto contenuto in A. Questo `e vero perch`e dist(K, ∂A) = inf{|x − y| : x ∈ K, y ∈ ∂A} > 0. Per il Teorema 4.4 parte ii) si ha

lim

ε→0⁺kf_ε− f k_p = 0,

e l’affermazione segue. 

Presentiamo ora un’applicazione del Teorema di densit`a alla trasformata di Fourier.

Data una funzione f ∈ L¹(Rⁿ), si definisce la funzione bf : Rⁿ→ C

f (ξ) =b Z

Rⁿ

e^2πihξ,xif (x)dx,

dove hx, ξi `e il prodotto scalare standard in R<sup>n</sup>. L’integrale converge perch`e conver-gono la sua parte reale e la sua parte immaginaria. `E elementare controllare che bf `e una funzione continua (usare il Teorema della convergenza dominata).

Teorema 4.6 (Riemann-Lebesgue). Per ogni funzione f ∈ L¹(Rⁿ) si ha

|ξ|→∞lim f (ξ) = 0.b

Dim. Proviamo il teorema quando n = 1. Il caso n ≥ 2 si riduce al caso n = 1 usando il Teorema di Fubini-Tonelli. Per il Teorema 4.5, dato ε > 0 esiste una funzione g ∈ C_c^∞(R) tale che kf − gk1 < ε. Con una integrazione per parti si trova

bg(ξ) = Z

R

g(x)e^2πixξdx = i 2πξ

Z

R

g⁰(x)e^2πixξdx, e siccome |g⁰(x)e^2πixξ| = |g⁰(x)| ∈ L¹(R), segue che

lim

|ξ|→∞bg(ξ) = 0.

La tesi `e ora una conseguenza della disuguaglianza

| bf (ξ)| ≤ | bf (ξ) −bg(ξ)| + |bg(ξ)| ≤ kf − gk₁+ |bg(ξ)|.



60 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

8. Cenni sulla separabilit`a

Consideriamo uno spazio di misura (X,A , µ). La σ-algebra A si dice separabile se `e generata da un insieme numerabile di insiemi, cio`e se `e la pi`u piccola σ-algebra che contiene questo insieme numerabile. In questo caso, lo spazio L^p(X) `e separabile per ogni 1 ≤ p < ∞. Ad esempio, la σ-algebra degli insiemi L<sup>n</sup>-misurabili di R<sup>n</sup> `e generata dai plurintervalli di estremi razionali e quindi `e separabile.

Non ci interessa vedere le dimostrazioni di queste affermazioni, osserviamo sola-mente che L^∞ in generale non `e separabile.

Proposizione 4.7. In generale L^∞(X) non `e separabile.

Dim. Consideriamo X = Rⁿ con la misura di Lebesgue. Posto B_r = {x ∈ Rⁿ :

|x| < r}, definiamo per ogni r > 0 la famiglia di funzioni Br = {f ∈ L^∞(Rⁿ) : kf − χ_Brk∞ < 1

2}.

Osserviamo che ogni Br `e un aperto di L<sup>∞</sup>(R<sup>n</sup>), e che Br1 ∩Br2 = ∅ ogni volta che r<sub>1</sub> 6= r<sub>2</sub>. Si `e in questo modo costruita una famiglia pi`u che numerabile di aperti disgiunti.

Consideriamo ora un insieme di funzioni F ⊂ L^∞(Rⁿ) che sia denso. Allora per ogni r > 0 esiste f_r ∈ F tale che f ∈ Br. La funzione F : R⁺ → F tale che F (r) = f_r `e iniettiva. Quindi F ha cardinalit`a pi`u che numerabile. 

9. Teorema di dualit`a di L^p

Siano 1 ≤ p, q ≤ ∞ due esponenti di H¨older coniugati. Data una funzione g ∈ L^q(X) definiamo l’operatore lineare T_g : L^p(X) → R

T_g(f ) = Z

X

f (x)g(x)dµ.

Dalla disuguaglianza di H¨older segue che |T_g(f )| ≤ kf k_pkgk_q e quindi la norma di T_g come operatore verifica

kT_gk = sup

kf k_p=1

  

Z

X

f (x)g(x)dµ 

≤ kgk_q

Scegliendo f (x) = kgk^−q/pq g(x)^q/p si deduce the kT_gk = kgk_q. Dunque, ogni funzione g ∈ L^q(X) definisce in modo naturale un operatore lineare e limitato su L^p(X) con norma operatoriale kgk_q. Nel seguente teorema proviamo anche il viceversa: ogni operatore lineare e limitato su L^p(X) pu`o essere identificato in modo isometrico (con uguaglianza di norme) con una funzione di L^q(X).

Teorema 4.8 (Dualit`a). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura, e siano 1 ≤ p < ∞ e 1 < q ≤ ∞ tali che ¹_p + ¹_q = 1. Allora si ha

L^p(X)^∗ = L^q(X),

dove l’uguaglianza rappresenta una identificazione isometrica. Nel caso p = 1 si assume che la misura µ sia σ-finita.

9. TEOREMA DI DUALIT `A DI L^p 61

Dim. Sia T ∈ L^p(X)^∗ un funzionale lineare e continuo su L^p(X). Dobbiamo dimostrare che esiste una funzione h ∈ L^q(X) tale che

T (f ) = Z

X

f h dµ

per ogni f ∈ L^p(X) e che risulta kT k = khk_q. Per semplicit`a, dimostreremo questo fatto nelle seguenti ipotesi: i) µ(X) < ∞. ii) Il funzionale `e positivo: f ≥ 0 implica T (f ) ≥ 0.

Si inizia ad introdurre una nuova misura. Per ogni A ∈A definiamo λ(A) = T (χ_A).

Si osserva che χ_A∈ L^p(X) e che λ(A) ≥ 0 per le ipotesi fatte. Controlliamo che λ sia numerabilmente additiva. Sia A =S∞

n=1A_ncon unione disgiunta e insiemi misurabili.

Per il teorema della convergenza dominata, per N → ∞ risulta

N

X

n=1

χ_An → χ_A

nella norma L^p. Dunque, usando la continuit`a e la linearit`a di T si trova λ(A) = T (χ_A) = lim

Inoltre, la misura λ `e assolutamente continua rispetto a µ, infatti λ(A) = T (χ_A) ≤ kT kµ(A)^1p.

In particolare anche la misura λ `e finita. Siamo nelle ipotesi del teorema di Radon-Nikodym, si veda il Teorema 6.3, e dunque esiste una funzione misurabile h ≥ 0 tale che

λ(A) = Z

A

h dµ.

Per ogni funzione semplice ϕ =Pn

i=1ϕ_iχ_Ai si ha

Se, poi, f ≥ 0 `e in L^p(X), allora esiste una successione crescente di funzioni semplici ϕ_n tali che ϕ_n(x) → f (x) per ogni x ∈ X, e dunque con il teorema della convergenza

62 4. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Consideriamo ora il caso p > 1. Esiste una successione di funzioni semplici 0 ≤ ϕ_n ≤ h che convergono in modo monotono crescente ad h in ogni punto. Si ha per k ≥ 1 da determinare in seguito

T (ϕ^k_n) = Z

X

ϕ^k_nh dµ ≥ Z

X

ϕ^k+1_n dµ, e poich`e

T (ϕ^k_n) ≤ kT kZ

X

ϕ^kp_n dµ¹_p ,

scegliendo k in modo tale che kp = k + 1 e cio`e k = _p−1¹ , si trova kT kZ

X

ϕ

p

np−1dµ¹_p

≥ Z

X

ϕ

p

np−1dµ e quindi

Z

X

ϕ^q_ndµ¹_q

≤ kT k.

Passando al limite con il Teorema della convergenza monotona, la stessa maggio-razione vale per h. Questo prova che kT k = khk_q nel caso p > 1.

Consideriamo il caso p = 1 e q = ∞. Bisogna provare che khk∞ ≤ kT k. Per ogni n ∈ N stimiamo la misura

µn

x ∈ X : h(x) ≥ kT k + 1 n

o

:= µ(A_n).

Poich´e si ha

kT kµ(A_n) ≥ T (χ_An) = Z

An

h dµ ≥ µ(A_n)

kT k + 1 n

 , si deduce che µ(A_n) = 0, e poich`e n ∈ N `e arbitrario si trova

µ({x ∈ X : h(x) > kT k}) = 0, e quindi khk∞ ≤ kT k.

 Osservazione 4.9. L’ipotesi µ(X) < ∞ si toglie con un argomento di scom-posizione. L’ipotesi che T sia positivo si toglie scrivendo T come differenza di due operatori positivi.

Osservazione 4.10. Risulta L¹(X) ⊂ L^∞(X)^∗ con inclusione stretta. Per vedere questo fatto si consideri ad esempio il funzionale di Dirac su C([−1, 1]).

CAPITOLO 5

Nel documento Analisi Reale Anno Accademico 2015-2016 Roberto Monti Appunti finali del corso Versione del 15 gennaio 2015 (pagine 45-63)