Sia Ω un aperto limitato di Rn, e sia d
Ω il suo diametro. Fissati x0 ∈ Ω e σ > 0,
indichiamo
S(x0, σ) = {x ∈ Rn : kx − x0kn < σ},
Ω(x0, σ) = Ω ∩ S(x0, σ).
Sia N un numero intero tale che N ≥ 1. Se A ⊂ Rn `e un insieme misurabile secondo Lebesgue, e di misura finita, e se u `e un’applicazione di A a valori in RN e
sommabile, allora poniamo
{u}A= − Z A u dx = 1 mis(A) Z A u dx, dove mis(A) `e la misura di A.
Introduciamo adesso gli spazi di Morrey Lp,λ(Ω, RN).
Definizione A.5.1. Fissati p ≥ 1 e λ ∈ [0, n], diciamo che u ∈ Lp,λ(Ω, RN), se u ∈ Lp(Ω, RN) e kukLp,λ(Ω,RN)= sup %−λ Z Ω(x0,%) ku(x)kpdx 1p < +∞, (A.7) dove il sup `e fatto su tutti gli Ω(x0, %) con x0 ∈ Ω e 0 < % ≤ dΩ.
Lp,λ(Ω, RN) `e uno spazio di Banach con la norma (A.7), inoltre si prova che (per
una dimostrazione si veda ad esempio Giusti [24]) (3) Lp,0(Ω, RN) ∼= Lp(Ω, RN),
Lp,n(Ω, RN) ∼= L∞(Ω, RN). Vediamo adesso gli spazi Lp,λ di Campanato.
Definizione A.5.2. Fissato p ≥ 1 e λ ∈ [0, n + p] diciamo che u ∈ Lp,λ(Ω, RN), se
u ∈ Lp(Ω, RN) e [u]Lp,λ(Ω,RN) = sup %−λ Z Ω(x0,%) ku − {u}Ω(x0,%)k pdx 1p < +∞, (A.8) dove il sup `e fatto su tutti gli Ω(x0, %) con x0 ∈ Ω e 0 < % ≤ dΩ.
3Se (X, k · k
X), (Y, k · kY) sono spazi di Banach, scriviamo X ∼= Y , se X si immerge con continuit`a
A.6. LEMMI ALGEBRICI 91 La (A.8) `e una seminorma, e si verifica che Lp,λ(Ω, RN) `e uno spazio di Banach
con la norma
kukLp,λ(Ω,RN) = kuk0,p,Ω+ [u]Lp,λ(Ω,RN).
Definizione A.5.3. Diciamo che Ω verifica la Condizione (KΩ) se esiste KΩ > 0
tale che
mis (Ω(x0, %)) ≥ KΩ %n,
per ogni x0 ∈ Ω e 0 < % ≤ dΩ.
Un esempio di aperti che verificano la Condizione (KΩ) sono quelli che hanno la
propriet`a di cono. Il quadrato nel piano verifica la condizione (KΩ), con KΩ = 12,
mentre ad esempio il dominio
Ω =(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < x2 ,
non verifica la condizione (KΩ) per ogni KΩ > 0 (osserviamo che ∂Ω ha nell’origine
una cuspide). Si osservi inoltre che la costante KΩ `e per definizione stabile per
omotetia.
Possiamo adesso enunciare l’importante Teorema di isomorfismo. Teorema A.5.1. Se Ω verifica la Condizione (KΩ) allora
se 0 ≤ λ < n allora Lp,λ
(Ω, RN) ∼= Lp,λ(Ω, RN), se n < λ ≤ n + p allora Lp,λ(Ω, RN) ∼= C0,γ(Ω, RN),
con γ = λ−n
p , e si hanno le relative maggiorazioni: 1
2[u]Lp,λ(Ω,RN) ≤ kukLp,λ(Ω,RN) ≤ c(p, KΩ, dΩ, λ)kukLp,λ(Ω,RN),
c(n)[u]Lp,λ(Ω,RN) ≤ [u]γ,Ω ≤ c(KΩ, n, p)[u]Lp,λ(Ω,RN),
valide, rispettivamente, per ogni u in Lp,λ(Ω, RN), e per ogni u in C0,γ(Ω, RN). Dimostrazione. Per una dimostrazione si veda ad esempio Kufner-John-Fuˇcik [28].
A.6
Lemmi algebrici
In letteratura sono molti i lemmi noti come lemmi algebrici. Ci limitiamo a riportare le dimostrazioni dei lemmi che abbiamo utilizzato per ricavare le diverse maggiorazioni fondamentali.
Lemma A.6.1. Siano ϕ, Φ due funzioni non negative definite su (0, d], e sia Φ non decrescente, inoltre siano A, α, β numeri reali positivi con β < α e supponiamo che per ogni t ∈ (0, 1) e per ogni σ ∈ (0, d] valga
ϕ(tσ) ≤ Atαϕ(σ) + σβΦ(σ). (A.9)
Allora per ogni ∈ (0, α − β], t ∈ (0, 1) e per ogni σ ∈ (0, d] si ha ϕ(tσ) ≤ Atα−ϕ(σ) + K(A)(tσ)βΦ(σ), dove K(ξ) = (1 + ξ) 2α (1 + ξ)α−β − ξ . Dimostrazione. Fissato ∈ (0, α − β], sia τ ∈ (0, 1) tale che
(1 + A)τ = 1. (A.10)
Se τ ≤ t < 1 allora la tesi segue banalmente perch´e in questo caso t
τ > 1, quindi
(τt)β > 1, e dalla (A.9) si ottiene
ϕ(tσ) ≤ Atαϕ(σ) + 1 τβ(tσ)
βΦ(σ).
Consideriamo ora il caso in cui 0 < t < τ ; ne consegue che esiste h ≥ 1 tale che
τh+1 ≤ t < τh. (A.11)
Allora per induzione dalla (A.9) si ha ϕ(τ σ) ≤ Aταϕ(σ) + σβΦ(σ) ϕ(τ2σ) ≤ Aταϕ(τ σ) + (τ σ)βΦ(σ) ≤ A2τ2αϕ(σ) + (τ σ)βΦ(σ){1 + Aτα−β} . . . . ϕ(τhσ) ≤ Ahτhαϕ(σ) + (τh−1σ)βΦ(σ) h−1 X j=0 (Aτα−β)j. (A.12)
Grazie alla (A.11), ponendo t0 = τth, σ
0 = τhσ, siccome ϕ(tσ) = ϕ( t
τhτhσ), utilizzando
la (A.9) con t0 e σ0 si ottiene
A.6. LEMMI ALGEBRICI 93 Utilizzando la (A.12) e la (A.13) segue che
ϕ(tσ) ≤ Atα−ϕ(σ) + (tσ)β 1 τα+βΦ(σ) h X j=0 (Aτα−β)j. Infatti: ϕ(tσ) ≤ Atατ−hα " Ahτhαϕ(σ) + (τh−1σ)βΦ(σ) h−1 X j=0 (Aτα−β)j # + (τhσ)βΦ(σ) ≤ Ah+1tαϕ(σ) + Aτ−hα tα(τh−1σ)βΦ(σ) h−1 X j=0 (Aτα−β)j+ (τhσ)βΦ(σ)
(dalla (A.10) e dalla (A.11) si trova che Aht< [(1 + A)τ]h < 1)
≤ Atα−ϕ(σ) + Atα−β(tσ)βτ−hα+hβ τ−βΦ(σ) h−1 X j=0 (Aτα−β)j+ τ h+1 τ σ β Φ(σ) ≤ Atα−ϕ(σ) + Aτh(α−β)(tσ)βτ−h(α−β)τ−βΦ(σ) h−1 X j=0 (Aτα−β)j+ (tσ)β 1 τβΦ(σ) ≤ Atα−ϕ(σ) + (tσ)βΦ(σ) 1 τα h−1 X j=0 (Aτα−β)j+1+ (tσ)β 1 τβΦ(σ) ≤ Atα−ϕ(σ) + (tσ)βΦ(σ) 1 τα+β h X j=0 (Aτα−β)j.
Tenuto conto che
Aτα−β ≤ Aτ < 1,
allora possiamo maggiorare Ph
j=0(Aτ α−β)j con la serie P∞ j=0(Aτ α−β)j, che `e conver- gente, quindi 1 τα+β h X j=0 (Aτα−β)j < 1 τα+β 1 1 − Aτα−β = K(A).
Lemma A.6.2. Siano ϕ e ω funzioni non negative definite in (0, d], con ω tale che lim
t→0+ω(t) = 0.
Supponiamo inoltre che per ogni σ ∈ (0, d], per ogni t ∈ (0, 1)
ϕ(tσ) ≤ [Atα+ ω(σ)]ϕ(σ) + Kσβ, (A.14) dove 0 < β < α, A, K > 0. Allora per ogni < α − β esiste σ ≤ d tale che se
0 < σ ≤ σ e t ∈ (0, 1)
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tα−ϕ(σ) + KM (tσ)β,
con M che dipende da A, , α, β. Il lemma `e valido anche se α = β, in questo caso si ottiene che per ogni ∈ (0, α) esiste σ ≤ d tale che se 0 < σ ≤ σ e t ∈ (0, 1)
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tα−ϕ(σ) + KdM (tσ)α−. Dimostrazione. Fissiamo , 0 < < α − β, e sia τ ∈ (0, 1) tale che
(1 + A)τ = 1;
poich´e ω(σ) `e infinitesima per σ → 0+ allora sia σ tale che ω(σ) ≤ τα, per ogni
σ ∈]0, σ]. Supponendo che σ ∈]0, σ] distinguiamo due casi.
Se τ ≤ t < 1 allora segue che
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tαϕ(σ) + Kσβ. (A.15) La tesi in questo caso discende banalmente dalla (A.15) perch´e (τt)β > 1, quindi si ha
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tα−ϕ(σ) + K 1 τβ(tσ)
β. (A.16)
Nel secondo caso se 0 < t < τ , allora esiste h > 0 tale che τh+1 ≤ t < τh, cos`ı
iterando h volte la (A.15) (con t0 = τ , σ0 = τh−1σ) si trova che
ϕ(τhσ) ≤ (1 + A)ταϕ(τh−1σ) + K(τh−1σ)β ≤ . . . . ≤ (1 + A)hτhαϕ(σ) + K(τh−1σ)β h−1 X j=0 [(1 + A)τα−β]j. (A.17)
A.6. LEMMI ALGEBRICI 95 Inoltre, dal fatto che t
τh ∈ [τ, 1[, dalla (A.15), (ponendo t 0 = t
τh, σ
0 = τhσ), si ottiene
anche
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tατ−hαϕ(τhσ) + K(τhσ)β. (A.18) Dalla (A.17) e dalla (A.18) si trova
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)h+1tαϕ(σ) + K(tσ)β 1 τα+β ∞ X j=0 [(1 + A)τα−β]j. (A.19) Infatti: ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tατ−hα(1 + A)hτhαϕ(σ) + (1 + A)tατ−hαK(τh−1σ)β h−1 X j=0 [(1 + A)τα−β]j+ K(τhσ)β (poich´e 0 < t < τh, da cui (τh)β−α< tβ−α) ≤ (1 + A)h+1tαϕ(σ) + (1 + A)τ−β K(tσ)β h−1 X j=0 [(1 + A)τα−β]j + K τ h+1 τ σ β ≤ (1 + A)h+1tαϕ(σ) + 1 τα+βK(tσ) β h X j=0 [(1 + A)τα−β]j.
Osserviamo che la serie P∞
j=0[(1 + A)τ
α−β]j converge, in quanto (1 + A)τα−β < (1 +
A)τ = 1. Inoltre si ha (1 + A)ht< [(1 + A)τ]h = 1. Allora dalla (A.19) si ottiene
ϕ(tσ) ≤ (1 + A)tα−ϕ(σ) + KM (tσ)β,
con M che dipende da A, , α, β, ma non da K. La maggiorazione ottenuta `e valida anche nel primo caso in cui eravamo giunti alla (A.16), infatti
1 τβ ≤ 1 τα+β ∞ X j=0 [(1 + A)τα−β]j = M.
La tesi `e dunque provata se α < β. Se α = β la tesi segue banalmente dal caso precedente. Infatti, fissato un 0 ∈ (0, α), dalla (A.14) (con α = β) segue ovviamente che
ϕ(tσ) ≤ [Atα+ w(σ)]ϕ(σ) + Kσ0σα−0 ≤ [Atα+ w(σ)]ϕ(σ) + Kd0σα−0.
In questo modo ci siamo ricondotti al caso precedente e la tesi `e immediata. Si osservi che la dipendenza da d trovata nella precedente maggiorazione non comporta problemi, in quanto abbiamo visto che la costante M fornita dal lemma `e indipendente da K.
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