Stato dell’arte e principali orientamenti scientifici sullo studio delle strutture ad arco e voltate

Sin dal XV secolo, sono stati sviluppati diversi studi sull’analisi strutturale delle volte, ma le prime teorie sulla statica degli archi, delle volte e delle cupole per la valutazione del loro grado di sicurezza risale al XVIII secolo, durante il quale la ricerca si muove fondamentalmente in due direzioni: a) la prima mira a definire la migliore “figura” delle volte; b) la seconda a caratterizzare i meccanismi di rottura.

a b

Figura 4.24 Meccanismo di rottura secondo de La Hire (a); Couplet: studio dello spessore minimo dell’arco (b).

Relativamente a quest’ultimo punto, fu importante, ad esempio, il contributo di De La Hire (de La Hire 1730,1731) che per primo ha utilizzato la costruzione del poligono funicolare nell’analisi statica degli archi trattati per l’appunto come una fune, la quale rovesciata definisce la forma dell’arco i cui elementi sono compressi e non tesi. Le ipotesi alla base del suo modello sono l’assenza di deformabilità e di attrito (vero limite della sua teoria). Per il meccanismo di rottura propone che:1) la volta si lesioni simmetricamente in una sezione intermedia, pari a 45°, fra l’imposta e la chiave, individuano così tre corpi rigidi, in cui i conci restano uniti eccetto che nelle zone di sconnessione; 2) la spinta venga applicata al lembo inferiore del giunto di rottura (Fig. 4.24 a).

Couplet (Couplet 1731,1732), invece, a partire dagli studi di de La Hire, introdusse il concetto di cerniera di rotazione come condizione per la frattura, proponendo un meccanismo di rottura flessionale dell’arco a cinque cerniere, formanti un sistema di leve articolate all'estradosso in chiave e all'imposta e all'intradosso in posizione rialzata a 45° rispetto all'orizzontale. Inoltre propone lo “spessore minimo” dell’arco cioè quello in grado di garantire che la relativa curva delle pressioni sia ivi contenuta. Pertanto, il rapporto tra lo spessore e il raggio interno non può ridursi oltre un certo valore “minimo (Fig. 4.24 b).

Figura 4.25 Meccanismi di rottura ipotizzati da Coulomb.

Un ulteriore passo in avanti nella ricerca di questo secolo fu fatto da Coulomb (Coulomb 1776) che basò i suoi studi sulla ricerca del coefficiente di sicurezza al collasso, introducendo inoltre le condizioni di attrito e di coesione tra i blocchi. Sviluppò, inoltre, un metodo di analisi per la determinazione dei meccanismi di rottura, di cui ipotizzò quattro forme, e del relativo valore della spinta orizzontale in chiave variabile con l’angolo di rottura dei giunti alle reni (Fig. 4.25).

Durante il XIX secolo, a partire da Navier, particolare attenzione fu posta alla resistenza dei materiali per cercare di determinare i punti di applicazione delle forze risultanti in chiave e nei punti di frattura. H. Moseley introdusse il principio della “minima resistenza” alla statica degli archi osservando che tra tutte le linee di resistenza tracciabili a partire da un punto generico della sezione in chiave Aa, quella vera, passante per l’estradosso in a e tangente all’intradosso in M, rende minimo il valore della spinta orizzontale P (Fig. 4.26a).

Sempre nell’Ottocento, gli studi sulla ricerca della “curva delle pressioni” costituirono uno dei momenti più significativi della ricerca scientifica di tale periodo relativa alla stabilità degli archi e delle volte. F. J. Gerstner introdusse per la prima volta la nozione di “linea di resistenza” e di “linea di pressione”.

a b

Figura 4.26 Moseley: principio della “minima resistenza” (a); Mery: curva delle pressioni (b).

Egli stabilì che affinché l’equilibrio sia possibile, è necessario che la linea di resistenza passi all’interno dell’arco. Se essa interseca l’estradosso sotto un certo angolo, la rottura è immediata nella regione corrispondente; se essa invece è tangente a uno dei bordi, la rotazione dei conci è imminente e corrisponde allo stato di equilibrio “limite” che solo una resistenza infinita del materiale potrebbe sostenere. Lo studioso, inoltre, si rese conto che era possibile tracciare infinite linee di pressioni passanti per i diversi punti della chiave e tangenti ai diversi punti delle reni tutte soddisfacenti le condizioni di equilibrio. Il problema quindi si rivelò essere nella scelta della “vera” curva delle pressioni. A tale quesito l’autore non riuscì a dare risposta corretta, introducendo numerose altre ipotesi che si rivelarono del tutto arbitrarie.

Con l’evolversi della teoria dell’elasticità, lo studio dell’equilibrio dell’arco venne effettuato assumendo il materiale omogeneo, isotropo e non resistente a trazione.

Il problema della determinazione del regime statico di un arco venne risolto da Mery (Mery 1840) che introdusse i primi studi sulla curva delle pressioni. In particolare egli propose un metodo di verifica grafica degli archi, ancora oggi ampiamente usato. Il valore della spinta dell’arco è determinato nell’ipotesi che siano assenti, in ogni sezione dell’arco, tensioni di trazione. Ciò significa che la curva delle pressioni sarà sempre interna alla zona definita dalle curve congiungenti rispettivamente i vertici superiori e inferiori del nocciolo centrale d’inerzia di ogni sezione trasversale. Tali curve corrono ad una distanza sia all’intradosso che all’estradosso pari a un terzo dell’altezza h (Fig. 4.26 b). Tra tutte le curve delle pressioni interne alla “striscia” così delimitata, cui si dà il nome di “terzo medio”, Méry consiglia di assumere quella che passa in chiave per l’estremo superiore del terzo medio e quella passante alle reni per l’estremo inferiore del terzo medio nel “giunto di rottura”, che è inclinato di 60° negli archi a tutto sesto, mentre è all’imposta negli archi ribassati. In tal modo, la curva delle pressioni è pienamente determinata e per tracciarla è necessaria una semplice costruzione geometrica, mediante la costruzione del poligono funicolare delle forze

(peso proprio e sovraccarichi). Una volta determinata la curva delle pressioni, si è in grado di effettuare le verifiche di resistenza delle sezioni dell'arco e di stabilità delle spalle.

Nel 1867 Winkler riuscì a dimostrare che il “principio di minimo” introdotto da Moseley poteva essere dedotto in una rinnovata formulazione, quale conseguenza dei teoremi di minimo caratteristici della teoria elastica, sostenendo che tra tutte le curve di pressione che si possono costruire per i carichi agenti, quella vera è tale da discostarsi il meno possibile in media dalla linea d’asse dell’arco.

Parallelamente agli studi intorno alla “curva delle pressioni”, il problema della stabilità degli archi fu trattato anche dal punto di vista dell’”ottimizzazione strutturale”, ossia della maggior stabilità della struttura col minimo impiego di materiale. Tali indagini portarono a due differenti approcci: il primo consistette nella determinazione della linea dei carichi, facendo coincidere l’asse dell’arco con la funicolare degli stessi; il secondo si basò sulla ricerca di un profilo ottimale dell’arco che permettesse una coincidenza tra l’asse geometrico e la curva di equilibrio nelle condizioni di carico noto.

In tempi più recenti, sono stati sviluppati diversi metodi di analisi e di verifica allo scopo di definire la sicurezza degli archi e delle volte. Gli studi più significativi formulati nel corso degli ultimi anni comprendono: 1) la teoria della plasticità e l'analisi limite applicata alle strutture murarie (Heyman 1996 1982; Monti et al 2013; Tomasoni 2015); 2) la teoria della membrana, che tiene conto degli effetti tridimensionali (Flügge 1973); 3) l'analisi delle volte attraverso la modellazione agli elementi finiti secondo un approccio "discreto" o "continuo" (Lourenço 2002; Roca et al. 2010). In particolare, il metodo dell’analisi limite è risultato uno delle più potenti tecniche di pratica ingegneristica, grazie al compromesso tra relativa semplicità e precisione di previsione. In una fase preliminare, questo metodo sembra lo strumento più adeguato ed efficace per verificare le strutture qui analizzate.