Le strategie del buyer e dei sellers

Ad ogni round ogni giocatore seleziona la strategia che massimizza la propria fun- zione di utilit`a. Per quanto riguarda il buyer tale scopo viene perseguito applicando l’algoritmo per la risoluzione del problema dello zaino sull’insieme dei sellers che partecipano al gioco. I sellers, invece, all’inizio del gioco selezionano un prezzo di partenza e, in caso di mancata selezione, decidono se e di quanto decrementare la loro offerta. L’unica informazione a disposizione di un seller `e quella riguardante la sua appartenenza o non appartenenza all’insieme dei vincitori in un round specifi- co. Questi non sono quindi a conoscenza della quantit`a di crediti a disposizione del buyer e dell’appartenenza di un particolare seller all’insieme degli agents selezionati (e tantomeno conoscono le loro offerte). Altro elemento sconosciuto `e il valore della soglia T oltre la quale il buyer non proseguir`a con la contrattazione. In un contesto del genere ha senso parlare di giochi ad informazione incompleta o giochi bayesiani nei quali i giocatori sopperiscono alla mancanza di informazioni mediante l’utiliz- zo di distribuzioni di probabilit`a sulle informazioni di cui non sono a conoscenza, eventualmente aggiornandole man a mano che il gioco evolve nel tempo. In un am- biente mobile, quale il nostro, mettere i sellers nella condizione di tenere conto di tutte queste informazioni sconosciute in termini di distribuzioni di probabilit`a com- porta un’occupazione di memoria, tempo di calcolo e comunicazione molto elevato, per questo motivo, faremo un’ipotesi semplificativa secondo cui l’unica informazione sconosciuta di cui i sellers terranno conto `e soltanto quella riguardante la durata del gioco, ovvero il numero di rounds. Stimando tale soglia ogni seller stabilisce quella che sar`a chiamata la strategia di decremento. `E chiaro che il decremento dell’offerta porta il seller ad una diminuzione dell’utilit`a percepita, tale utilit`a per`o sar`a comun- que maggiore di quella ottenuta nel caso di mancata selezione e che sarebbe pari a 0.

4 – Teoria dei giochi e algoritmi utilizzati

Per generare una strategia di decremento un seller i stimer`a innanzitutto la durata del gioco in termini di numero di round ˜Ti, selezioner`a poi la dimensione di una

finestra di osservazione Wi (Wi < ˜Ti) all’interno della quale monitorer`a in numero

di rounds Wi in cui la sua offerta pi `e stata selezionata. Imposta quindi una soglia

di non decremento Li (Li≤ Wi) indicante il numero minimo di selezioni da ottenere

all’interno della finestra di osservazione, per non incorrere in un decremento. Nel caso in cui tale soglia non venga raggiunta il seller decrementer`a la sua offerta in base ad un parametro selezionato e chiamato entit`a di decremento Di. Una strategia

per essere efficente deve tener conto che nella peggiore delle ipotesi, ovvero se ogni Wi round la soglia Li non viene raggiunta e vi `e decremento, si giunga al round ˜Ti

con un’offerta pari al prezzo minimo. Riassumendo:

• pi(0) prezzo di vendita iniziale,

• pi( ˜Ti) prezzo minimo di vendita (pari al costo di produzione +1)

• ˜Ti numero di round stimato

• W_i dimensione finestra di osservazione,

• D_i entit`a del decremento

possiamo mettere tali valori in realazione tramite la seguente equazione:

pi(0) − pi( ˜Ti) = b

˜ Ti− 1

Wi

cD_i (4.23)

Tale equazione deve essere verificata per ottenere una strategia che assicuri nel worst case il raggiungimento al termine del gioco del prezzo minimo di vendita .

La strategia di decremento `e schematizzabile come:

pi(t + 1) =          pi(t) − Di se il numero di selezioni `e < Li e t = cWi, c = (1, . . . ,n) pi(t) se il numero di selezioni `e ≥ Li e t = cWi, c = (1, . . . ,n) pi(t) − 1 se t + 1 > ˜Ti (4.24) Nel caso in cui il gioco si protrae per un numero di round T > ˜Ti ed un seller che

continua a non essere selezionato non ha ancora raggiunto il suo prezzo minimo per la sua l’offerta, viene applicato un decremento unitario per ogni round successivo, fintanto che non si raggiunge il prezzo minimo selezionato. Non appena tale perzzo viene raggiunto, il seller riproporr `a la medesima offerta fino al termine del gioco. Un esempio di strategia di decremento per i sellers i e j `e:

Nelle figure 2.1 e 2.2 sono rappresentati due possibili andamenti dei prezzi per i sel- lers i e j marcati in rosso ed in verde. Prendiamo in esame l’andamento dell’offerta

4 – Teoria dei giochi e algoritmi utilizzati

Numero round stimati T˜i 20

Finestra di Osservazione Wi 4

Soglia non decremento Li 3

Entit`a decremento Di 2

Prezzo di partenza pi(0) 18

Prezzo minimo pi( ˜Ti) 10

Tabella 4.4: Strategia di decremento per il seller i

Numero round stimati T˜j 15

Finestra di Osservazione Wj 1

Soglia non decremento Lj 1

Entit`a decremento Dj 1

Prezzo di partenza pj(0) 30

Prezzo minimo pj( ˜Tj) 16

Tabella 4.5: Strategia di decremento per il seller j

marcata in rosso per il seller i (Figura 2.1), tale andamendo rappresenta il worst case per i ovvero il caso in cui si trova sempre nella condizione di dover decrementare la sua offerta. La finestra di osservazione `e di 4 round e il numero minimo di selezioni per evitare il decremento `e 3. Supponiamo che arrivati al round 4 il seller i si accorga di non aver raggiunto la soglia minima Li per cui `e necessario un decremento. Il

seller prepara quindi la nuova offerta per il round 5 decrementando quella attuale di due unit`a in accordo alla strategia selezionata. Trascorsi altri 4 round e giunti quindi al round 8 il numero di volte in cui il seller i viene selezionato `e ancora in- feriore a Li, avviene quindi un nuovo decremento. Si prosegue in questo modo fino

al raggiungimento del round 20 stimato dal seller come ultimo round del gioco e nel quale il prezzo minimo di vendita viene raggiunto. Se la contrattazione continuasse

4 – Teoria dei giochi e algoritmi utilizzati

Figura 4.2: Possibili andamenti dell’offerta per il seller j

per altri 4 round e quindi la stima ˜Ti risulta inferiore a quella reale (pari a T = 24),

il seller si trova nella situazione di aver gi`a raggiunto il suo prezzo minimo e non pu`o far altro che riproporre la medesima offerta fino al termine del gioco. Le cose posso- no evolvere anche in maniera diversa per il seller i, la descrizione precedentemente effettuata si riferisce ad un possibile worst case. Prendendo in esame un possibile secondo andamento (marcato in verde in figura 2.1) supponiamo che tra i round 4-8 il seller raggiunga la soglia Li per il non decremento e quindi mantenga la stessa

offerta anche nei round 9-12 e similmente anche nei round 13-20.

Dal punto di vista del buyer, considerando che i sellers o mantengono inalterate le loro offerte o le decrementano, tra un round ed il successivo, il numero di osser- vazioni raccolte o rimane identico al round precedente o risulta superiore, per tale motivo il buyer non incontra mai un peggioramento. `E ovvio che tra la scelta di due soglie T1 e T2 con T1 < T2, la soglia T2 pu`o permettere al buyer di ottenere un

numero di osservazioni maggiore e quindi utilit`a maggiore a discapito di un tempo di contrattazione pi`u elevato.