Figura 2.12: Confronto dell’andamento della dose assorbita percentuale in funzione della distanza tra fascio flattened ed unflattened
Tuttavia sorgono vari svantaggi come l’aumento degli scattering dei fotoni e la contaminazione da elettroni secondari, quindi aumenta la radiazione di fuga incrementando barriere e costi [9] [7]. Viene aumentato anche l’effetto penombra, cioé la zona vicina al fascio primario che aumenta la dose indesiderata. Per questi motivi negli ultimi anni si é pensato che la rimozione del flattening filter potesse portare vari benefici. Tra questi si trovano la riduzione degli spessori degli schermi e quindi dei costi, un notevole incremento della fluenza fotonica attraverso la superficie ed una diminuzione dell’energia media mantenendo peró un potere di penetrazine dei tessuti adeguato.
2.7
Strumenti per dosimetria
Vengono utilizzati in genere due strumenti per misurare la dose in uscita dalla testata del- l’acceleratore ovvero due differenti camere a ionizzazione, la prima delle quali é detta camera a ionizzazione in trasmissione e la seconda camera a ionizzazione segmentata. Nel primo caso il fotone o l’elettrone incidente attraversa la camera in oggetto producendo eventi di ionizzazio- ne. Gli elettroni spaiati andranno a depositarsi su una lamina metallica, ad esempio in berillio sottoposta ad una differenza di potenziale in modo da poter misurare le cariche in eccesso e risalire quindi alla dose. Infine, un’ultima camera a ionizzazione posta perpendicolarmente al
Figura 2.13: Camera a ionizzazzione posta perpendicolarmente al fascio per la misura del rateo di dose erogato dall’acceleratore
fascio provvede a misurare la dose erogata dall’acceleratore, bloccandola una volta raggiunte le unitá monitor desiderate. Una unitá monitor corrisponde ad una dose di 1cGy con un campo di 10 cm2 in un fantoccio d’acqua ad 1m dal target.
1MU min = 1
cGy
Capitolo 3
Tecniche Monte Carlo
3.1
Generalitá e semplici applicazioni
Le tecniche Monte Carlo sono atte alla risoluzione di problemi i cui processi di sviluppo sono interessati da casualitá o da determinismo, sfruttando la generazione di numeri casuali costruendo modelli probabilistici artificiali. Sono quindi adatti a simulare la storia di una singola particella, dall’istante della sua nascita alla sua morte, dopo aver subito un grande numero di eventi. Si puó definire quindi storia la simulazione della particella originale e di tutta la sua progenie. Per avere buona affidabilitá sul risultato ottenuto si ha bisogno della ripetizione di moltissime storie in modo tale da ottenere un accumulo di informazioni utili che permettano di raggiungere l’obiettivo di calcolo, detto tally. Tra le varie applicazioni delle tecniche Monte Carlo si trovano ad esempio metodi per il calcolo delle aree o metodi di integrazione di varie funzioni. Si supponga a titolo di esempio di voler calcolare l’area S di un oggetto, in questo caso quella della forma irregolare inscritta nel quadrato di area unitaria. Si posizionino casualmente n punti generati in maniera random tra 0 ed 1 nelle due coordinate e si contino i k punti che sono finiti entro l’area S. Una volta effettuata tale operazione l’area S non sará altro che:
S = k
n (3.1)
Piú il numero di punti posizionati é elevato, piú la precisione del metodo risulterá elevata. Bisogna inoltre tenere ben presente che i numeri random devono avere stessa probabilitá di uscita, quindi devono essere tutti equiprobabili. Un altro esempio di applicabilitá del metodo
Figura 3.1: Distribuzione causale di n punti nel quadrato di lato unitario contenente la figura irregolare di cui si vuole conoscere l’area
Monte Carlo per il calcolo delle aree puó essere esplicato mediante l’integrazione di una funzione. Si voglia ad esempio calcolare l’area di un quarto di cerchio di raggio unitario, cioé π
4 , In prima
battuta calcoliamo l’area di un quarto di cerchio di raggio unitario inscritto in un quadrato di lato unitario. A = π 4 = Z 1 0 p (1 − x2) = Z 1 0 Z √ (1−x2) 0 dydx (3.2)
Infatti, analiticamente il primo integrale puó essere risolto mediante cambi di variabile:
x = sin(u) (3.3)
u = sin−1(x) (3.4)
dx = cos(u)du (3.5)
x2= sin2(u) 1 − x2= 1 − sin2(u) = cos2(u)
p
(1 − x2) =p
(cos2(u)) = cos(u) (3.6)
Z π2 0 cos(u) cos(u)du = Z π2 0 cos2(u)du = Z π2 0 (1 2+ 1 2cos(2u))du = 1 2 Z π2 0 du +1 2 Z π2 0 cos(2u)du (3.7)
3.1. GENERALITÁ E SEMPLICI APPLICAZIONI 67
Figura 3.2: Quadrato di lato unitario in cui é inscritto un cerchio. Sono in evidenza i quattro quarti di cerchio considerati
da cui si ricava semplicemente che 1 2 Rπ2 0 du = π 4 ed anche 1 2 Z π2 0 cos(2u)du = 1 4 Z π 0 cos(t)dt = 0 (3.8) dove si é posto: t = 2u (3.9) dt = 2du (3.10) In definitiva: A =π
4 Analogamente ed ovviamente si ricava lo stesso valore risolvendo
Z 1 0 Z √ (1−x2) 0 dydx = π 4 (3.11)
Si osservi ora che l’area del cerchio é πr2 mentre l’area del quadrato é 4r2 , per cui il rapporto
tra le due aree vale proprio π
4 e si chiami questo valore k.
k = A(cerchio) A(quadrato) =
π
4 (3.12)
A partire da questo risultato si puó anche calcolare il valore di π , Si immagini a questo proposito, come nell’esempio precedente di posizionare casualmente un elevato numero di punti all’interno del quadrato in cui é inscritto il quarto di cerchio. Ora si contino quanti punti sono finiti nel cerchio e quanti nel quadrato, tenendo conto che quelli nel cerchio sono anche nel quadrato. Il
Figura 3.3: Distribuzione dei punti casuali nella geometria considerata. In rosso sono i punti caduti sia nel quadrato sia nel cerchio, in blu sono quelli solo nel quadrato
rapporto tra i punti nel cerchio e quelli nel quadrato é k che anche il rapporto tra le aree, per cui:
k = numeropunti nel cerchio numeropunti nel quadrato =
π
4 (3.13)
che é l’area desiderata, per cui si trova anche che π = 4k Tale tecnica Monte Carlo detta hit or miss puó essere agevolmente scritta sottoforma di algoritmo. Ovviamente all’aumentare del numero di lanci la precisione delle tecniche Monte Carlo aumenta. Ma come contare il numero di punti che sono finiti entro l’area del cerchio? Bisogna imporre il conteggio di un determinato punto se:
x2i + y2i ≤ 1 (3.14)
Dopodiché si calcola il valore cercato cercato con: I = numerodi hit
numerodi lanci totale (3.15)
L’algoritmo puó essere quindi scritto come:
n=numero di lanci; z=0; for i=1:n; x=rand(1); y=rand(1); c=xˆ2+yˆ2; if c<=1;