Struttura a termine delle probabilità di default

Dopo aver evidenziato il modello pratico largamente utilizzato dai diversi operatori del mercato dei derivati creditizi per il pricing dei CDS, si passa a specificare la tecnica utilizzata per riuscire a costruire la struttura a termine delle probabilità di default.

276 _{O’Kane, Turnbull (2003)}

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Verranno illustrati due metodi per determinare la curva delle probabilità di default che fanno ricorso alla tecnica del bootstrap: la prima modalità ipotizza che l’hazard rate sia costante, mentre il secondo metodo sfrutta delle strutture a termine di tassi rischiosi indicate per rappresentare il reference entity (Discount Fator Model).

Partendo dalla prima metodologia, con una tecnica bootstrap si vuole estrapolare la curva delle probabilità di default, a partire da una serie di CDS con diverse scadenze ( ) e con i relativi spread quotati ( ). Il problema è che la stessa curva delle probabilità di default che si vuole determinare, viene utilizzata per valutare questi CDS. Inoltre, va sottolineato che i modelli utilizzati per valutare i CDS normalmente assumono che l’hazard rate sia costante fino alla scadenza di ogni CDS quotati sul mercato; tale assunzione viene fatta in quanto avendo solo un dato a disposizione (lo spread quotato dei CDS alle diverse scadenze) non è possibile ottenere più informazioni sull’hazard rate278_.

La procedura prevede la determinazione della curva delle probabilità di default con intensità costante a partire dal primo intervallo di tempo dato da ( ), e successivamente si prosegue con l’estendere tale procedura in ogni intervallo di tempo successivo.

Per prima cosa ricordiamo che il valore attuale del protection leg è dato da279_: ( ) ∑ ( )[ ( ) ( )] ( ) ∑ ( )[ _]

e che il valore attuale del premium leg è pari a280_:

278 _{Luo (2005); O’Kane, Turnbull (2003)} 279 _{Luo (2005)}

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∑ ( ) [ ( ) ( ) ( )]

∑ ( ) [ _]

Attraverso metodi numerici (ad esempio il metodo di Newton) è possibile risolvere l’equazione che eguaglia la differenza tra il valore attuale delle due gambe del CDS a zero ( ), ottenendo il valore di che viene utilizzato per costruire la struttura a termine delle probabilità di default. Tale passaggio va esteso ad ogni intervallo di tempo, utilizzando i diversi spread quotati dei CDS aventi lo stesso reference entity281_.

Passando a trattare la seconda metodologia, il Discount Factor Model è adottato dalla piattaforma Bloomberg, e mediante tale metodo le probabilità di default vengono estratte utilizzando il differenziale tra due curve di tassi: una rischiosa e una non rischiosa. Queste curve dei tassi utilizzate sono denominate Fair Market Curves (FMC), e sono costruite attraverso una procedura di bootstrapping, attuata su un insieme di titoli omogenei, appositamente selezionati in base ad una serie di caratteristiche comuni al reference entity; tali caratteristiche possono essere individuate nel settore in cui operano gli emittenti di questi titoli, la classe di rating di appartenenza o il Paese in cui svolgono la propria attività282_.

L’utilizzo delle FMC presenta sia un vantaggio che uno svantaggio di cui tener conto; infatti, l’associare diversi titoli per la costruzione della curva comporta, da un lato la perdita di specificità riguardo al merito di credito dello specifico reference entity, ma garantisce un maggiore grado di liquidità evitando in questo modo le distorsioni nella formazione dei prezzi283_.

La struttura a termine delle probabilità di default viene costruita attraverso la tecnica del bootstrapping attuata sulla differenza tra i prezzi di obbligazioni prive di cedola costruiti con due FMC: una rischiosa ed una non rischiosa. La FMC

281 _{Luo (2005)}

282 _{Leone, Boido (2004)} 283 _{Leone, Boido (2004)}

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non rischiosa viene individuata dai tassi di rendimento di titoli governativi, mentre la struttura dei tassi rischiosi viene costruita con una curva corporate, scelta secondo le peculiarità che rispecchiano la natura del reference entity284_.

La base di partenza per estrapolare la struttura a termine delle probabilità di default è lo spread richiesto dagli investitori per essere ripagati del rischio di default, dato dal valore attuale della perdita attesa scontata ad un tasso privo di rischio.

Si indichino i prezzi delle obbligazioni prive di cedola costruiti mediante le curve rischiose e non rischiose, con scadenza , rispettivamente285_:

( ) ( )

( ) ( )

dove ( ) e ( ) rappresentano rispettivamente il tasso rischioso e non rischioso, per i quali si ha che ( ) ( ); il premio per il rischio per il medesimo arco temporale [ ] è dato dalla differenza dei due prezzi:

( ) ( ) ( )

Assumendo che il default possa avvenire esclusivamente in istanti di tempo discreti [ ] e che non ci sia possibilità di arbitraggio, sappiamo che il prezzo dell’obbligazione rischiosa priva di cedola con scadenza è dato dal payoff atteso attualizzato286_:

( ) ( )[( ) ( )]

dove indica la probabilità marginale di default per l’orizzonte temporale [ ]. Sostituendo quest’ultima equazione in quella relativa al premio per il rischio si può appurare, come avevamo detto in precedenza, che quest’ultimo è dato dall’attualizzazione della perdita attesa in base al tasso privo di rischio, cioè287_:

( ) ( ) ( ) 284 _{Leone, Boido (2004)} 285 _{Leone, Boido (2004)} 286 _{Leone, Boido (2004)} 287 _{Leone, Boido (2004)}

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Noti gli elementi ( ), ( ) e si può determinare la probabilità marginale di default, data da288_:

( ) ( )( )

A questo punto il modello assume che per i periodi successivi il premio per il rischio sia pari alla somma di ciascun premio per il rischio determinato negli intervalli temporali precedenti289_:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Una volta nota la probabilità marginale di default del periodo precedente, ripetendo il passaggio visto prima, si ottiene la probabilità relativa al secondo periodo ( ).

In conclusione si riesce a determinare una formula generale che, ripetuta per ogni intervallo temporale, consente di calcolare le diverse probabilità di default290_:

( ) ( ) ( )( ) ∏ ( )

Dalle probabilità marginali di default si può passare alle probabilità di default condizionate, cioè le probabilità di default di ogni intervallo di tempo condizionate alla mancanza del fallimento fino al periodo precedente291_:

[ ( )] ( )( ) ( ) ∏( ) 288 _{Leone, Boido (2004)} 289 _{Leone, Boido (2004)} 290 _{Leone, Boido (2004)} 291 _{Leone, Boido (2004)}

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e da queste alle probabilità di default cumulate, cioè alle probabilità relative al periodo [ ], da utilizzare per effettuare il pricing del CDS292_:

[ ] ∑ [ ( )]