Lo studio dello stato tensionale

Prendiamo ancora in esame il nostro profilo fondamentale.

E' ovvio che la diga non può essere considerato come un solido di De Saint Venant, pertanto lo studio dello stato tensionale va affrontato sempre con i metodi dalla Scienza delle Costruzioni, ma non con le drastiche semplificazione tipiche delle strutture riconducibili alla ben nota semplificazione del corpo che ha una dimensione prevalente sulle altre.

In particolare per il corpo di una diga non é accettabile ammettere la presenza di una sola tensione del tipo normale (cioé una σ) come invece é classico per il solido de De Saint Venant.

Dunque il tensore degli sforzi

σ_x τ_x,y τ_x,z τ_y,x σ_y τ_y,z τ_z,x τ_z,y σ_z é ben più affollato che per travi e pilastri.

Fissato un sistema di assi coordinati con :

- l'asse x orizzontale per il vertice del triangolo fondamentale e diretto da monte verso valle;

- l'asse y verticale verso il basso per il vertice del triangolo fondamentale;

______________________________________________________ - l'asse z orizzontale per il vertice del triangolo fondamentale e

diretto come il dito medio della mano sinistra (x come il pollice ed y come l'indice) ;

possiamo ammettere con una certa facilità, per le dighe massicce rettilinee che σ_z sia nulla.

Invero neppure tale semplificazione sarebbe di per se ammissibile se non ci venissero incontro i giunti di dilatazione temporanei e permanenti di cui abbiamo già parlato che hanno lo scopo di rendere nullo o quanto meno trascurabile tale stato tensionale.

Dunque la verifica non può essere limitata ad un confronto tra una singola tensione e la tensione ammissibile, ma di contro é necessario conoscere l'intero status tensionale per confrontarlo, tramite le teorie derivanti dalle ipotesi di Von Mises e consimili

Indubbiamente gli stati tensionali più pericolosi si manifestano in prossimità dei paramenti della diga.

Ma sia per quello interno che per quello esterno possiamo avvalerci di alcune informazioni aggiuntive.

Infatti entrambi i suddetti paramenti sono, di certo, dei piani principali dove sono presenti solo tensioni normali (σ' ). Infatti sul paramento di monte, ad esempio agisce la pressione idrostatica che é normale alla superficie del paramento e non ha componenti orizzontali. Dunque la superficie del paramento é piano principale, ragionamento analogo per il paramento di valle dove agisce la pressione atmosferica, anch'essa di tipo idrostatico.

Prendiamo un elemento di diga prismatico a sezione triangolare ABC (vedi figura seguente), sia y la profondità del baricentro, il piano MN è, come già visto, uno dei piani principali

Il piano AC é normale al piano MN, mentre il piano BC é orizzontale. M N y A B ^C β β fig.

Ingrandiamo il nostro elemento prismatico. β β A C ^B Siano: AB __ = 1 ϑ = tg β BC __ = ¹ sen β AC __ = BC __ cos β = ^{cos β} sen β ⁼ 1 ϑ dove AB __

indica la lunghezza del segmento AB e così per gli altri elementi soprassegnati.

Indichiamo inoltre le tensioni secondo la simbologia di figura

θ A B ^{θ C} σ τ ' σ σ ''

Sul segmento AC si é indicato solo una tensione di tipo normale σ'' in quanto questo, essendo ortiogonale ad un piano principalle é anch'esso principale.

______________________________________________________ Il terzo piano principale e ovviamente quello ortogonale ai due ora individuati e coincide con il piano della sezione.

Avremo:

- che sul piano AB agirà la tensione, nota σ' = γ y

ed questa darà sulla superficie AB una forza pari a : γ y

- che sul piano AC agirà la tensione incognita σ'' ed questa darà sulla superficie AB una forza pari a :

σ'' ϑ

Nello stesso modo avremo che la tensione tangenziale la tensione normale agenti sul lato CB avranno rispettivamente, l'espressione:

τ

ϑcosβ σ

ϑcosβ

Imponiamo l'equilibrio alla traslazione parallelamente e normalmente all'elemento stesso. θ A B ^{θ C} σ τ ' σ σ '' direzione parallela direzioneortogonale 1) parallelamente σ'' ϑ + ^{τ senβ} ϑcosβ^{. -} σcosβ ϑcosβ ^{= 0} 2) normalmente

γ_{a y} - ^τ.cosβ ϑcosβ ^-

σ.senβ

ϑcosβ ^{= 0}

dalla seconda ricaviamo il valore di: τ

τ =ϑ (γ_{a y - σ)} (30) sostituiamo tale valore nella prima, avremo:

σ''= σ (1 + ϑ²) - γ_{a y ϑ}² (31) Che ci da il valore della tensioni principale sulla diga sul piano con giacenza ortogonale al paramento , con traccia orizzontale sullo stesso, profonda y.

Il regolamento impone le seguenti verifiche: 1) a serbatoio pieno

a) sul paramento a monte

σ''_m,p = σ_m,p (1 + ϑ_m²) - γ_{a y ϑm}² ≥ 0 (32) tale tensione, riferentesi al parametro a monte, deve essere sempre positiva (al più nulla) cioè deve essere di compressione.

b) sul parametro a valle

σ''_v,p= σ_v,p (1 + ϑ _v² ) ≤ σ

amm (33)

cioé essa deve essere minore della tensione ammissibile, 2) a serbatoio vuoto

a) sul paramento a monte

σ''_m,v = σ_m,v (1 + ϑ_m² ) ≤ σ

amm (34)

e, sul paramento a valle:

σ''_v,v =σ_v,v (1 + ϑ²_v ) ≥ 0 (35) (è evidente che nel caso di serbatoio vuoto le tensioni che si presentano sui due parametri sono di segno opposto a quelle che si verificavano a serbatoio pieno).

______________________________________________________ - il primo indice rappresenta se trattaso della del paramento di

monte o di valle;

- il secondo indice se trattasi della condizione di carico di serbatoio pieno o vuoto.

le quantità: σ_m,p; σ_m,v; σ_v,p;σ_v,v che compaiono nelle precedenti formule di verifica rappresentano le tensioni normali agenti sul piano BC, che vanno preventivamente determinate.

Allo scopo possiamo considerare la diga come un solido pressoinflesso dunque avremo

σ = ^N_b ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ 1 ± 6 e_b (36) dove:

N è la componente verticale della risultante di tutti i carichi;

e è l'eccentricità di tale componente rispetto all'asse neutro della sezione che si considera,

b è l'altezza di tale sezione (solitamente la si assume larga 1 m.). Nel caso di serbatoio pieno vale, per il paramento a monte il segno, negativo σ_m,p = N p b _⎝^⎜⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 1 - ^{6 e}_b^p (36') il contrario se il serbatoio è vuoto

σ_m,v = N v b _⎝^⎜⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 1 + ^{6 e}_b^v (36") per il paramento a valle , a serbatoio pieno,varrà il segno positivo

σ_v,p = N p b _⎝^⎜⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 1 + ^{6 e}_b^p (36'") ed il segno negativo nel caso di serbatoio vuoto

σ_v,v = N v b _⎝^⎜⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 1 - ^{6 e}_b^v (36"") In prima approssimazione tali verifiche sono sufficienti, ovviamente occorrerà calcolare N

p, e

p, N

v ed e

v tenuto conto non solo del peso proprio e delle spinte idrauliche ma anche delle altre forze che agiscono sulla struttura:

- spinta del ghiaccio; - il peso del coronamento - azioni sismiche

- le sottopressioni idrauliche

Poi occorre tener presente che sulla fondazione va rispettata anche l'equazione di congruenza, cioé l'assenza di lacerazioni tra fondazione e diga.

Pertanto il semplice calcolo sopra esposto va a complicarsi come approfondito nei paragrafi seguenti.