Sulla natura del capitale e dell’interesse

“Il regime finanziario dell’interesse composto è caratterizzato dalla proprietà che l’interesse che matura in ciascun periodo, al termine del periodo viene sommato al capitale per concorrere alla produzione dell’interesse nel periodo successivo” (Ottaviani, 1988).

Si consideri, per fissare le idee, un prestito per un importo S al tempo

t=0, il capitale, da restituire in un’unica soluzione alla scadenza fis- sata all’epoca n=2, cioè dopo 2 periodi unitari. Il prestito è proget- tato in regime composto al tasso i (tasso riferito al periodo di tempo unitario considerato). Coerentemente con la definizione, gli interessi maturati nel primo periodo, i S, sommati al capitale, S, concorrono a produrre interessi nel secondo periodo, i S i S( + ). Alla scadenza, gli interessi I p_{, complessivamente maturati sull’orizzonte temporale} [0,2] e pagati al tempo n=2 congiuntamente al capitale, ammonta- no, dunque, a

( ) [( ) ]

Ip₌iS i S iS_{+ + =}iS iS i S_{+ +} 2 ₌ 1₊i 2_-1 S_{. (1)}

Il termine i S2 che compare nell’Equazione (1) quantifica l’importo degli ‘interessi sugli interessi’. Sono, infatti, gli interessi che perio- dicamente si aggiungono al capitale e determinano la base di calcolo per gli interessi nel periodo successivo, a dare origine al fenomeno della generazione degli ‘interessi sugli interessi’. Il rimborso del pre- stito, in un’unica soluzione alla scadenza, avviene con il pagamento del capitale S, congiuntamente agli interessi maturati I p_{, cioè con la} corresponsione del montante

( )

M_{= +}S Ip₌S 1₊i 2_{. (2)}

borsare in un’unica soluzione dopo n periodi. In questo caso, gli inte- ressi generati sull’intero orizzonte temporale [0,n] ammontano a

( ) ( ) ( ) [( ) ]

Ip₌iS i₊ 1₊i S i₊ 1₊i S2 _+g+i 1₊i n-1S₌ 1₊i n_-1S, (3) e saranno corrisposti all’epoca n congiuntamente al capitale S. Il va- lore di rimborso del prestito, M, cioè il montante dell’operazione, ri- sulta pertanto

( )

M_{= +}S Ip₌S 1₊i n_{. (4)}

Il montante M dell’importo S, così come è descritto dall’Equazio- ne (4), viene anche definito valore capitalizzato in regime composto dell’importo S (Moriconi, 1994). L’Equazione (4) mostra che il mon- tante cresce esponenzialmente nel tempo e, per questo, la legge degli interessi composti è altresì detta legge di capitalizzazione esponenzia- le o, semplicemente, legge esponenziale.

“Il regime finanziario dell’interesse semplice è caratterizzato dalla proprietà che l’interesse si calcola sul capitale impiegato, proporzio- nalmente al tempo” (Ottaviani, 1988).

In rifermento all’esempio biperiodale precedente e coerentemente con la definizione di regime semplice, gli interessi maturati e corrisposti all’epoca n=2, congiuntamente al capitale, ammontano a

Ip₌2iS

, (5) e il valore di rimborso del prestito, cioè il montante dell’operazione, a

( )

M_{= +}S Ip₌S 1 2₊ i _{. (6)}

L’Equazione (6) ben evidenzia il fatto che nel regime semplice gli interessi che maturano in ogni periodo di tempo sono calcolati sempre sul capitale S, evitando in questo modo la formazione degli ‘interessi sugli interessi’. Nel regime semplice, gli interessi “non producono altri interessi: essi sono direttamente proporzionali al capitale im-

piegato S, alla durata dell’impiego n, e al tasso i” (Polidori, 1954). Generalizzando, infatti, la trattazione a n periodi, gli interessi ma- turati sull’intero orizzonte temporale [0,n] e corrisposti all’epoca n congiuntamente al capitale ammontano a

Ip₌niS

, (7) e il valore di rimborso del prestito, cioè il montante dell’operazione, a

( )

M=S 1+in , (8)

Il montante M dell’importo S, così come è descritto dall’Equazio- ne (8), viene anche definito valore capitalizzato in regime sempli- ce dell’importo S (Moriconi, 1994). L’Equazione (8) mostra che il montante cresce linearmente nel tempo e, per questo, la legge degli interessi semplici è altresì detta legge di capitalizzazione lineare o, semplicemente, legge lineare.

Sia la legge degli interessi composti sia la legge degli interessi sem- plici consentono di definire operazioni di prestito in cui il capitale, inizialmente erogato, viene rimborsato congiuntamente agli interes- si maturati in un’unica soluzione alla scadenza. Chiameremo prestiti elementari tale tipologia di operazioni finanziarie. Nei prestiti ele- mentari, dunque, il montante di un importo è sempre una miscela di capitale e di interessi. La frazione del montante Fnx che descrive il ca-

pitale e, conseguentemente, la frazione del montante Fny che descrive

gli interessi dipendono dal tempo n e sono date rispettivamente da

n ( ) Fx ₁ 1_i n = ₊ , n ( ) F 1 ₁ 1_i n y = - ₊ , (9)

nel regime composto, e da

n

Fx_{= 1} 1_in

+ , Fny = - +1 ₁ 1_in , (10)

nel regime semplice. L’Equazione (9) e l’Equazione (10) descrivono la ‘concentrazione’ di capitale e di interessi nel montante di un impor- to, rispettivamente nel regime composto e nel regime semplice. La

concentrazione di capitale nel montante consente di definire il valore attuale (al tempo t=0) di un importo esigibile ad un’epoca futura. Se l’importo M è esigibile al tempo n, il suo valore attuale, cioè l’am- montare di capitale in esso contenuto, è S=F Mnx , cioè

( i)

S M

1 n

=

+ , (11)

nel regime composto e

S= ₁₊M_ni , (12)

nel regime semplice.

Per poter estendere in modo consistente la trattazione al caso dei pre- stiti di qualsivoglia tipologia, sono necessarie alcune considerazione preliminari. Occorre, innanzitutto, formulare un’ipotesi di estensione del regime composto e del regime semplice che sia coerente sul piano finanziario. A tal fine, si consideri un prestito acceso al tempo 0 per un capitale S da rimborsare in m rate di importi R R1, 2g,Rm, esigibili ai

tempi 1 2 g, , , m rispettivamente, in regime composto al tasso i. L’ipo- tesi che faremo è che, in linea con la teoria matematica delle operazioni finanziarie eque (Levi, 1959; Moriconi, 1994), tra le rate di rimborso del prestito e il capitale erogato inizialmente deve sussistere la seguente condizione di equivalenza finanziaria, altresì detta condizione di equità all’epoca iniziale t=0, ( ) S i R 1 k k k m 1 = + =

|

che stabilisce l’uguaglianza tra il valore attuale in regime composto delle rate di rimborso e il capitale erogato inizialmente. Nel caso di un prestito elementare l’Equazione (13) si riduce all’Equazione (11), in cui il montante M rappresenta l’importo dell’unica rata di rimborso del prestito.

Sul piano interpretativo l’Equazione (13) ha importanti implicazioni. Il pagamento di ogni singola rata estingue una parte, univocamente determinata, del capitale erogato inizialmente. Coerentemente con l’Equazione (11), questa parte è pari all’ammontare di capitale con- tenuto nella rata, cioè è pari al valore attuale al tempo t=0 della

rata. In riferimento all’epoca k, ad esempio, il pagamento della rata Rk estingue la parte di capitale data da

( ) S i R 1 k k k = + . (14)

Il capitale iniziale, S, viene completamente rimborsato con il paga- mento dell’ultima rata,

S S k m k 1 = =

|

Ogni rata R_k risulta, dunque, costituita da una miscela di capitale e di interessi con la ‘concentrazione’ descritta dall’Equazione (9) per n = k, cioè

Rk=Sk+Ikp, (16)

dove

[( ) ]

Ikp= 1+i k-1 Sk, (17)

quantifica gli interessi che, nelle proporzioni corrette e non disgiunti dal capitale Sk, vengono rimborsati con il pagamento della rata. Nel caso del regime semplice la condizione di equità all’epoca inizia- le è data da S ₁Rk_ik k m 1 = ₊ =

|

che determina l’uguaglianza tra il valore attuale in regime semplice delle rate di rimborso e il capitale erogato inizialmente. Nel caso di un prestito elementare l’Equazione (18) si riduce all’Equazione (12). Come nel caso del regime composto, il pagamento di ogni singola rata estingue una parte di capitale univocamente determinata,

Sk= ₁R₊k_ik , (19)

dell’ultima rata, S S k m k 1 = =

|

Nel regime semplice la rata R_k risulta costituita da una miscela di ca- pitale e di interessi con la ‘concentrazione’ descritta dall’Equazione (10) per n = k, cioè

Rk=Sk+Ikp, (21)

dove

Ikp=ikSk, (22)

quantifica gli interessi che, nelle proporzioni corrette e non disgiunti dal capitale Sk, vengono rimborsati con il pagamento della rata Rk. È, dunque, possibile che gli importi delle rate di rimborso di un pre- stito abbiano ‘concentrazioni’ di capitale e interessi diverse da quelle definite univocamente dai regimi finanziari utilizzati nella costruzio- ne del prestito? È coerente, in altre parole, affermare che con il paga- mento di una rata si possano corrispondere gli interessi maturati in un determinato periodo di tempo senza che avvenga contestualmente la corresponsione dell’intero capitale che quegli interessi ha generato? Per valutare la rilevanza di queste domande si pensi, ad esempio, ai prestiti che prevedono il pagamento periodico di importi pari agli in- teressi maturati in ogni singolo periodo e il rimborso alla scadenza di un importo pari al capitale (prestito bullet). In questo caso, si potreb- be sostenere che le rate sono costituite soltanto da ‘interessi’ ad ecce- zione dell’ultima rata costituita dagli ‘interessi’ maturati nell’ultimo periodo e dall’intero ‘capitale’?

Per evitare di incorrere in equivoci interpretativi è opportuno prestare una certa attenzione nel considerare disgiuntamente gli interessi dal capitale. Infatti, se le risposte alle domande precedenti fossero affermative, ci tro- veremmo ad affrontare una serie di questioni alquanto delicate sul piano finanziario. Per esempio, a quale tasso si deve attualizzare un importo

costituito solo da interessi? A quale tasso si deve attualizzare il capitale? È importante mettere in evidenza che le risposte a queste domande non sono contenute nelle definizioni di regime composto e di regime sempli- ce (e fortunatamente non ce n’è nemmeno bisogno!). La condizione di equità consente, infatti, di definire in maniera univoca prestiti ‘complessi’ di qualsivoglia tipologia e di interpretarli univocamente come collezio- ni di prestiti elementari. Vedremo, che questa rappresentazione ha delle conseguenze importanti sulla costruzione degli schemi di ammortamento dei prestiti e sulla questione relativa agli ‘interessi sugli interessi’.

3. L’ammortamento dei prestiti in regime composto e la questione