T-system di gruppi nilpotenti finiti - 1207415 Numerodimatricola: Prof.AndreaLucchiniVeronicaPa

Tutti i gruppi nilpotenti finiti di classe 1, in quanto gruppi abeliani, hanno un unico sistema di transitività. Ci si può chiedere se questa proprietà resta valida per un qualsiasi gruppo nilpotente finito e, in caso contrario, qual è la minima classe di nilpotenza c di un gruppo che abbia almeno due T-system. In questo paragrafo vedremo che già per c = 2 non è vero in generale che esiste un unico sistema di transitività e anzi per alcuni p-gruppi nilpotenti di classe 2 il numero di T -system può essere arbitrariamente grande. [2] Definizione 2.3. Sia G un gruppo, m ∈ N. Una serie centrale di lunghezza m è una collezione finita { Ni : i = 0, . . . , m } di sottogruppi normali di G tali che

1 = N₀ ⊆ N₁ ⊆ · · · ⊆ N_m = G e

Ni/Ni−1⊆ Z(G/N_i−1) ∀i = 1, . . . , m.

Un gruppo G si dice nilpotente se ammette una serie centrale. Il minimo intero m per cui esiste una serie centrale di lunghezza m `e detto classe di nilpotenza di G.

2.3. T-SYSTEM DI GRUPPI NILPOTENTI FINITI 35

Una definizione alternativa di classe di nilpotenza di un gruppo G pu`o essere data usando i commutatori: G `e nilpotente di classe c se posto

γ₁(G) = G γ_i+1(G) = [γ_i(G), G] (2.9) si ha γ_c+1(G) = 1, γ_c(G) 6= 1 e in tal caso, la serie

1 = γ_c+1(G) ⊆ γ_c(G) ⊆ · · · ⊆ γ₁(G) = G `e una serie centrale per G.

Esempi di gruppi nilpotenti sono i gruppi abeliani e i p-gruppi, cioè i gruppi di ordine pⁿ per qualche primo p e per qualche n ∈ N. Infatti se G è abeliano 1 = N₀ ⊆ N₁ = G è una serie centrale, mentre la nilpotenza dei p-gruppi deriva dal fatto che hanno centro non banale. La serie costruita ricorsivamente ponendo N0 = 1, N1 = Z dove Z indica il centro Z(G) del p-gruppo e N_i+1 l’unico sottogruppo normale di G tale che Z(G/N_i) = N_i+1/N_i è infatti una serie centrale per un p-gruppo G.

Il 2-gruppo G di ordine 215 costruito nel paragrafo 2.2.7 è quindi un gruppo nilpotente avente almeno due T2-system e questo prova che in ge-nerale i gruppi nilpotenti non hanno un unico T₂-system. In realtà, vale un risultato più forte che stabilisce che per ogni primo p e per ogni intero n > 1 esiste un p-gruppo nilpotente con un numero arbitrariamente grande di T_n-system. Per provare questo risultato useremo una stima dal basso del numero di T_n-system, valida per alcuni particolari gruppi detti (k, n)-gruppi. Definizione 2.4. Sia G un gruppo e siano k, n interi positivi. G è un (k, n)−gruppo se soddisfa le seguenti proprietà:

(i) G pu`o essere generato da n elementi

(ii) G/V_k `e il prodotto diretto di n sottogruppi ciclici di ordine k

dove V_k (che talvolta denoteremo con V ) indica il sottogruppo verbale ge-nerato da tutti i commutatori e da tutte le potenze k-esime di elementi di G, cio`e

Vk= h[g, h], g^k : g, h ∈ Gi.

Indicheremo con Zk l’anello degli interi { 0, 1, . . . , k − 1 } con la somma e la moltiplicazione modulo k e con Zk,n l’anello delle matrici n × n a entrate in Zk. Useremo invece Λ_kper denotare il gruppo degli elementi invertibili di Zk, cioè il sottogruppo moltiplicativo di Zk formato dagli elementi coprimi con k. Analogamente, il gruppo degli elementi invertibili di Zk,n, cioè delle matrici con determinante in Λ_k, sarà indicato con Λ_k,n.

Siano d’ora in poi G un (k, n)−gruppo finito e { h₁, . . . , h_n} un insieme fissato di generatori di G/Vk.

36CAPITOLO 2. T-SYSTEM DI ALCUNE CLASSI DI GRUPPI FINITI

E possibile associare a ogni automorfismo τ di G/Vkuna matrice di Zk,n, tramite la mappa

θ : Aut(G/Vk) −→ Zk,n

τ −→ (τij) i, j = 1, 2, . . . , n con τ_ij tali che 0 ≤ τ_ij ≤ k − 1 e

h_iτ = h₁^τi1h^τi2

2 . . . h_n^τin i = 1, 2, . . . , n.

Se g = (g1, g2, . . . , gn) `e un vettore generatore per G, allora gV = (g₁V, g₂V, . . . , g_nV ) `e un vettore generatore di G/V ed esiste un unico auto-morfismo γg di G/V tale che

h_iγ_g = g_iV i = 1, 2, . . . , n. (2.10) Possiamo allora definire la mappa

D : V (G, n) −→ Zk

g −→ det(γgθ).

Riportiamo ora un importante lemma dovuto a W. Gasch¨utz [5, Lemma 17.7.2].

Lemma 2.5 (Lemma di Gasch¨utz). Sia π : G −→ H un epimorfismo di gruppi finiti finitamente generati, sia n ≥ d(G) e sia (h₁, h₂, . . . , h_n) un vettore generatore di H. Allora esiste un vettore generatore (g1, g2, . . . , gn) di G, tale che g_iπ = h_i per i = 1, 2, . . . , n.

Dimostrazione. Per ogni sottogruppo C di G tale che Cπ = H e per ogni vettore generatore u = (u1, u2, . . . , un) di H, indichiamo con φC(u) il numero di vettori generatori c = (c₁, . . . , c_n) di C tali che c_iπ = u_i per ogni i = 1, . . . , n. Dato che Cπ = H si ha che |C| = |H||ker(π) ∩ C|. Proviamo per induzione su |ker(π) ∩ C| che il valore di φC(u) `e indipendente da u.

Se |ker(π) ∩ C| = 1, la restrizione di π a C `e un isomorfismo perci`o C ' H e quindi φ_C(u) = 1 per ogni u ∈ V (H, n).

Supponiamo allora che per ogni sottogruppo C di G tale che Cπ = H e |ker(π) ∩ C| < m il valore φ_C(u) sia indipendente da u. Se |ker(π) ∩ C| = m, ci sono esattamente mⁿelementi c = (c₁, . . . , c_n) di Cⁿtali che c_iπ = u_i per i = 1, 2, . . . , n. Ogni tale n-upla c = (c1, . . . , cn) genera un sottogruppo B di C tale che Bπ = H, perci`o

mⁿ= φ_C(u) + ^X

B<C:Bπ=H

φ_B(u).

Dato che per ogni sottogruppo proprio B di C si ha |ker(π) ∩ B| < m, per ipotesi induttivaP

B<C:Bπ=Hφ_B(u) `e indipendente da u e allora anche φC(u) `e indipendente da u.

2.3. T-SYSTEM DI GRUPPI NILPOTENTI FINITI 37

Sia ora (g₁⁰, . . . , g_n⁰) un vettore generatore di G, si ha che h⁰ = (g⁰₁π, g⁰₂π, . . . , g_n⁰π)

`e un vettore generatore di H. Allora, per ogni vettore h = (h1, . . . , hn) ∈ V (H, n)

φG(h) = φG(h⁰) ≥ 1

e quindi esiste un vettore (g1, . . . , gn) ∈ V (G, n) tale che giπ = hi per ogni i = 1, 2, . . . , n.

Lemma 2.6. L’immagine di V (G, n) tramite D `e Λ_k.

Dimostrazione. Se τ, σ sono automorfismi di G/V si ha che (τ σ)θ = (τ θ)(σθ) e inoltre l’automorfismo identità viene mappato nella matrice identità di Zk,n. Ogni elemento A dell’immagine di θ è allora una matrice invertibile perché se A = αθ per qualche α ∈ Aut(G/V ) si ha che α⁻¹θ è l’inversa di A. Quindi l’immagine di θ è contenuta in Λ_k,n e di conseguenza l’immagine di D è contenuta in Λk.

D’altra parte, per ogni λ ∈ Λ_k il vettore (h₁, h₂, . . . , h_n^λ) è un vettore generatore di G/V e grazie al lemma 2.5 è uguale a gV per qualche g ∈ V (G, n), quindi l’immagine di D è Λk.

Nei prossimi lemmi, indicheremo con R(Λk) la rappresentazione regolare destra di Λ_k, cio`e il gruppo SΛ_k delle permutazioni di Λ_kcon l’omomorfismo ρ : Λ_k−→ S_Λ_k (2.11)

g −→ (g)ρ dove (h)(g)ρ = hg ∀g, h ∈ Λ_k.

Dato α un automorfismo del gruppo libero F_ncon generatori x₁, x₂, . . . , x_n tale che xiα = wi(x1, . . . , xn), denoteremo con αG la permutazione

αG: V (G, n) −→ V (G, n) (2.12) (g1, . . . , gn) −→ (w1(g1, . . . , gn), . . . , wn(g1, . . . , gn)).

Dato β un automorfismo di G, indicheremo con βG la permutazione di V (G, n) indotta da β:

β_G: V (G, n) −→ V (G, n) (2.13) (g₁, . . . , g_n) −→ (g₁β, . . . , g_nβ).

Lemma 2.7. Sia F_nil gruppo libero di rango n e sia Aut(F_n) il suo gruppo degli automorfismi. Esiste una mappa DF : Aut(Fn) −→ R(Λk) tale che per ogni α ∈ Aut(Fn) e per ogni g ∈ V (G, n) si ha

D(g)D_F(α) = D(gα_G).

Inoltre, l’immagine di D_F `e costituita da due elementi: l’identit`a e la mappa che manda ogni elemento nel suo opposto.

38CAPITOLO 2. T-SYSTEM DI ALCUNE CLASSI DI GRUPPI FINITI

Dimostrazione. Siano x1, x2, . . . , xn dei generatori di Fn e sia α un auto-morfismo di Fn tale che xiα = wi(x1, . . . , xn) per i = 1, 2, . . . , n. Il vettore (w₁(h₁, . . . , h_n), w₂(h₁, . . . , h_n), . . . , w_n(h₁, . . . , h_n)) `e un vettore generatore di G/V , perci`o esiste un unico automorfismo α^V di G/V tale che

hiα^V = wi(h1, . . . , hn) per i = 1, 2, . . . , n.

Considerando poi il vettore generatore g = (g1, g2, . . . , gn) e l’automorfismo γ_g definito in (2.10) si ha (h_iα^V)γ_g= w_i(g₁V, . . . , g_nV ) per i = 1, 2, . . . , n. Inoltre gαGV = (g⁰₁V, g₂⁰V, . . . , g_n⁰V ) dove g⁰_iV = w_i(g₁, g₂, . . . , g_n)V = w_i(g₁V, g₂V, . . . , g_nV ) per i = 1, 2, . . . , n. Perci`o (h1γgαG, h2γgαG, . . . , hnγgαG) = gαGV = (h1α^Vγg, h2α^Vγg, . . . , hnα^Vγg) e γ_gα_G = α^Vγ_g. Quindi

D(gα_G) = det(γ_gα_Gθ) = det((α^Vγ_g)θ) = det((α^Vθ)(γ_gθ)) =

= det(α^Vθ)det(γ_gθ) =D(g)det(α^Vθ). Definendo allora D_F(α) come l’elemento di R(Λ_k) corrispondente a det(αVθ), cio`e DF(α) = (det(α^Vθ))ρ si ha che vale

D(gαG) = D(g)DF(α).

Inoltre D_F `e un omomorfismo perch´e per ogni α, β ∈ Aut(F_n) D_F(αβ) = (det((αβ)^Vθ))ρ =(det((α^Vβ^V)θ))ρ

=(det(α^Vθ)det(β^Vθ))ρ = D_F(α)D_F(β).

Per provare che l’immagine di D_F è data dall’identità e dalla mappa che manda ogni elemento nel suo opposto, è allora sufficiente determinare l’im-magine di un insieme di generatori di Aut(Fn). Consideriamo l’insieme di generatori[1, §6] di Aut(F_n) formato dagli automorfismi µ, ν, π, σ definiti da

x₁µ = x₂, x₂µ = x₁, x_iµ = x_i per i = 3, . . . , n x1ν = x1, xnν = x2, xi−1ν = xi per i = 3, . . . , n x1π = x1, x2π = x1x2, xiπ = xi per i = 3, . . . , n x₁σ = x₁, x₂σ = x⁻¹₂ , x_iσ = x_i per i = 3, . . . , n.

2.3. T-SYSTEM DI GRUPPI NILPOTENTI FINITI 39 Si ha che µ^Vθ =    0 1 1 0 ⁰ 0 In−2    ν^Vθ =    1 0 0 0 In−2 0 1 0    π^Vθ =    1 0 1 1 ⁰ 0 I_n−2    σ^Vθ =    1 0 0 −1 ⁰ 0 In−2   

dove In−2 indica la matrice identit`a di Zk,n−2 e quindi det(µ^Vθ) = −1

det(ν^Vθ) = (−1)ⁿ det(π^Vθ) = 1 det(σ^Vθ) = −1.

L’immagine di DF è allora il sottogruppo di R(Λ_k) generato dalle permuta-zioni corrispondenti agli elementi 1 e −1 di Λ_k, cioè è il gruppo formato dalla mappa identità e dalla mappa che manda ogni elemento nel suo opposto. Lemma 2.8. Sia Aut(G) il gruppo degli automorfismi di G. Esiste una mappa D_G : Aut(G) −→ R(Λ_k) tale che per ogni β ∈ Aut(G) e per ogni g ∈ V (G, n) si ha

D(g)DG(β) = D(gβG).

Dimostrazione. Dato che V `e un sottogruppo caratteristico di G, ogni au-tomorfismo β di G induce un auau-tomorfismo β^V di G/V definito da

(gV )β^V = gβV ∀g ∈ G.

Inoltre, se g = (g1, g2, . . . , gn) `e un vettore generatore si ha gβ_GV =(g₁βV, g₂βV, . . . , g_nβV ) =

=(g₁V β^V, g₂V β^V, . . . , g_nV β^V) = (h₁γ_gβ^V, h₂γ_gβ^V, . . . , h_nγ_gβ^V) dove γ_g `e l’automorfismo di G/V definito in (2.10). Perci`o

40CAPITOLO 2. T-SYSTEM DI ALCUNE CLASSI DI GRUPPI FINITI

e quindi

D(gβG) =det(γgβG) = det((γgβ^V)θ)

=det(γgθ)det(β^Vθ) = D(g)det(β^Vθ).

Definendo DG(β) come l’elemento di R(Λk) corrispondente a det(β^Vθ), cio`e DG(β) = (det(β^Vθ))ρ si ha

D(gβG) = D(g)DG(β) ∀β ∈ Aut(G) come voluto.

Consideriamo il sottogruppo P_k di R(Λ_k) generato dall’insieme { D_F(α), D_G(β) : α ∈ Aut(F_n), β ∈ Aut(G) } e la sua azione su Λ_k indotta dall’azione di R(Λ_k).

Definizione 2.5. Sia G un (k, n)-gruppo finito. Le orbite dell’azione di P_k su Λ_k sono dette T_n,k-system di G.

Denotando con t_n,k(G) il numero di T_n,k-system del (k, n)-gruppo G e con tn(G) il numero di Tn-system di G, si ha

Teorema 2.3. Se G `e un (k, n)-gruppo finito allora tn(G) ≥ t_n,k(G).

Dimostrazione. Proviamo che se g, g⁰ sono vettori generatori di G appar-tenenti allo stesso T_n-system allora D(g), D(g⁰) appartengono allo stesso T_n,k-system.

Dato che g, g⁰ appartengono allo stesso Tn-system, allora esiste una se-quenza finita di automorfismi di F_n e/o automorfismi di G che trasformano g in g⁰.

Sia α ∈ Aut(Fn) tale che xiα⁻¹ = wi(x1, x2, . . . , xn), dove x1, . . . , xn

`e un insieme di generatori del gruppo libero F_n. Per la proposizione 1.4 l’azione di α su g = (g1, g2, . . . , gn) `e data da

gα = (w1(g1, g2, . . . , gn), w2(g1, g2, . . . , gn), . . . , wn(g1, g2, . . . , gn)). Quindi

gα = gα⁻¹_G

dove α_G`e la permutazione definita in (2.12). Se g⁰ = gα si ha allora D(g⁰) = D(gα⁻¹_G) = D(g)D_F(α⁻¹)

2.3. T-SYSTEM DI GRUPPI NILPOTENTI FINITI 41

e quindi D(g), D(g⁰) appartengono allo stesso Tn,k-system.

Analogamente, se β ∈ Aut(G) per la proposizione 1.3 si ha che gβ = (g₁β, g₂β, . . . , g_nβ) = gβ_G

dove βG `e la permutazione definita in (2.13). Posto g⁰= gβ si ha allora D(g⁰) = D(gβ_G) = D(g)D_G(β)

e quindi D(g), D(g⁰) appartengono allo stesso T_n,k-system.

Vettori appartenenti allo stesso T_n-system vengono allora mandati da D in elementi dello stesso T_n,k-system e quindi

tn(G) ≥ t_n,k(G).

Un (q, n)-gruppo nilpotente di classe 2

Sia p un primo e siano n ≥ 2, r ≥ 1 interi; poniamo q = p^r.

Consideriamo il gruppo abeliano A_q,ngenerato dagli elementi a₂, a₃, . . . , a_n dato da A_q,n = ha₂,a₃, . . . , a_n: [a_i, a_j] = 1 per i, j = 2, . . . , n, ai^q 2(i−1) = an^q 3n−2−i per i = 2, . . . , n − 1, an^q 3n−2 = 1i. Poich´e |a_i| = q3i−2 per i = 2, 3, . . . , n si ha che

(a_i^1+q²⁽ⁱ⁻¹⁾)^q 2(i−1) = a_i^q²⁽ⁱ⁻¹⁾ per i = 2, . . . , n − 1 (a_n^1+q²⁽ⁿ⁻¹⁾)^q 3n−2−i = a_n^q³ⁿ⁻²⁻ⁱ per i = 2, . . . , n − 1

e quindi possiamo definire un automorfismo ψ di Aq,n di ordine qⁿponendo aiψ = ai^1+q

2(i−1)

per i = 2, . . . , n.

Sia B_q,n l’estensione spezzante di A_q,n con un gruppo ciclico di ordine q³ⁿ⁻¹ generato da un elemento b che induce ψ in Aq,n, cio`e

B_q,n = ha₂, . . . , a_n, b : relazioni di A_q,n, b⁻¹aib = ai^1+q

2(i−1)

per i = 2, . . . , n, b^q³ⁿ⁻¹ = 1i e ogni elemento di B_q,n si scrive in modo unico nella forma

a2^h¹a3^h³. . . an^hⁿb^k

42CAPITOLO 2. T-SYSTEM DI ALCUNE CLASSI DI GRUPPI FINITI

Gli elementi b^qⁿ e a_n^q³⁽ⁿ⁻¹⁾ sono elementi del centro di B_q,n, quindi il sottogruppo H generato dall’elemento a_n^q³⁽ⁿ⁻¹⁾b^−q³ⁿ⁻² è normale in B_q,n e contenuto nel centro. Si può allora considerare il gruppo quoziente Gq,n = Bq,n/H che è dato da Gq,n = ha2, . . . , an, b : relazioni di Aq,n b⁻¹aib = ai^1+q 2(i−1) per i = 2, . . . , n, b^q³ⁿ⁻² = an^q 3(n−1) i. Il sottogruppo derivato [Gq,n, Gq,n] corrisponde al gruppo [Bq,n, Bq,n]H/H, si può provare che [B_q,n, B_q,n] = h[a_n, b]i e quindi

G⁰_q,n = [G_q,n, G_q,n] = h[a_n, b]iH/H. Inoltre

[G⁰_q,n, Gq,n] = [B_q,n⁰ , Bq,n]H/H = 1, dato che [an, b] `e un elemento del centro di Bq,n.

Il gruppo Gq,n `e allora nilpotente di classe 2 e ogni elemento si pu`o scrivere in modo unico nella forma

a₂^β2a₃^β3. . . a_n^βnb^η[a_n, b]^µ

con 0 ≤ βi< q²⁽ⁱ⁻¹⁾ per i = 2, . . . , n , 0 ≤ η < q³ⁿ⁻², 0 ≤ µ < qⁿ.

Inoltre, G_q,n `e un (q, n)-gruppo e { a₂V_q, a₃V_q, . . . , a_nV_q, bV_q} `e un insie-me di generatori per G_q,n/V_q. Cerchiamo allora di determinare il gruppo P_q associato a Gq,n, per poter poi calcolare tn,q(Gq,n).

Sia allora β un automorfismo di Gq,n definito da a_iβ = a₂^αi2. . . a_n^αinb^δi[a_n, b]i

bβ = a₂^α2. . . a_n^αnb^δ[a_n, b]

con 0 ≤ αij, αi< q²⁽ⁱ⁻¹⁾, 0 ≤ δi, δ < q³ⁿ⁻², 0 ≤ i, < qⁿ per i, j = 2, . . . , n. Dato che ai^q

2(i−1)

= [ai, b] appartiene al gruppo derivato G⁰_q,n per ogni i = 2, . . . , n, la sua immagine tramite β

(a_iβ)^q²⁽ⁱ⁻¹⁾ = a₂^αi2q2(i−1)

. . . a_n^αinq2(i−1)

b^δiq2(i−1)

[a_n, b]^˜i

con 0 ≤ ˜_i < qⁿ, deve essere ancora un elemento di G⁰_q,n, quindi q^2(j−1)|α_ijq²⁽ⁱ⁻¹⁾ per ogni j = 2, . . . , n q³ⁿ⁻²|δ_iq²⁽ⁱ⁻¹⁾

da cui

q^2(j−i)|α_ij per ogni i < j (2.14) q³ⁿ⁻²ⁱ|δ_i per ogni i. (2.15)

2.3. T-SYSTEM DI GRUPPI NILPOTENTI FINITI 43

Rispetto alla base a2Vq, a3Vq, . . . , anVq, bVq, si ha allora che

β^Vθ =        ¯ α2,2 0 . . . 0 ¯ α3,2 α¯3,3 0 . . . 0 .. . .._. . .. ₀ ₀ ¯ α_n2 . . . α¯_nn 0 ¯ α₂ . . . α¯_n δ^¯       

dove ¯x = x mod q e quindi

det(β^Vθ) = δ

j=2

α_jjmod q.

Gli automorfismi devono poi rispettare le relazioni che definiscono G_q,n, perci`o devono valere

[aiβ, bβ] = (anβ)^q³ⁿ⁻²⁻ⁱ per i = 2, . . . , n (2.16) (bβ)^q³ⁿ⁻² = (a_nβ)^q³⁽ⁿ⁻¹⁾. (2.17) Si ha [a_iβ,bβ] = =[a_n, b]⁻ib^−δi n Y j=2 a_j^−αij[a_n, b]⁻b^−δ n Y j=2 a_j^−αj n Y j=2 a_j^αijb^δi[a_n, b]i n Y j=2 a_j^αjb^δ[a_n, b]= =[an, b]⁻i(b^−δi n Y j=2 aj^−αîj[an, b]⁻b^δi)(b^−(δ+δi) n Y j=2 aj^−α^j n Y j=2 aj^αîjb^(δi+δ)) (b^−δ[an, b]i n Y j=2 aj^α^jb^δ)[an, b] = =[an, b]⁻i n Y j=2 aj^−αîj^(1+q 2(j−1))^δi[an, b]^−(1+q²⁽ⁿ⁻¹⁾⁾^δi n Y j=2 aj^(αîj^−α^j^)(1+q 2(j−1))^(δi+δ) [a_n, b]i(1+q2(n−1))^δ n Y j=2 a_j^αj(1+q2(j−1))^δ[a_n, b]= = n Y j=2 a^−αij(1+δiq2(j−1))+(αij−α_j)(1+(δi+δ)q2(j−1)+αj(1+δq2(j−1)) j [a_n, b]iδq2(n−1)−δ_iq2(n−1) | {z } =1 = = n Y j=2 a_j^q^2(j−1)^(αijδ−αjδi)= n Y j=2 [a_j, b]^(αijδ−αjδi)= [a_n, b] Pn j=2(αijδ−αjδi)q^(n−j)

44CAPITOLO 2. T-SYSTEM DI ALCUNE CLASSI DI GRUPPI FINITI

e, grazie alle relazioni (2.14) e (2.15)

j=2

(α_ijδ − α_jδ_i)q^(n−j) ≡ α_iiδqⁿ⁻ⁱmod q^(n−i+1). (2.18) Inoltre, (a_nβ)^q³ⁿ⁻²⁻ⁱ =b^δnq3n−2−i a₂^αn2q3n−2−i . . . a_n^αnnq3n−2−i [a_n, b]nq³ⁿ⁻²⁻ⁱ | {z } =1 [an, b]⁽ Pn j=2 Pq3n−2−i h=1 hδnαnjqn−j) | {z } =1 perch´e qn|δ_n =(b^q³ⁿ⁻²)^δnq⁻ⁱ n−1 Y j=2 (a_j^q^2(j−1))^αnjq^3n−2j−ia_n^αnnq³ⁿ⁻²⁻ⁱ = =(a_n^q³⁽ⁿ⁻¹⁾)^δnq−in−1 Y j=2 (a_n^q³ⁿ⁻²⁻ⁱ)^αnjq3n−2j−i a_n^αnnq3n−2−i = =a_n^cq³ⁿ⁻¹⁻ⁱa_n^αnnq3n−2−i = [a_n, b]^cq^(n+1−i)^+αnnq(n−i)

per qualche 0 ≤ c < q⁽ⁱ⁻¹⁾.

Affinch´e valga (2.16) deve essere

(α_ijδ − α_jδ_i)q^(n−j) ≡ α_nnq⁽ⁿ⁻ⁱ⁾+ cq^(n+1−i)mod qⁿ che implica, considerando (2.18)

αiiδ ≡ αnn mod q per i= 2, . . . , n. (2.19) Analogamente, (bβ)^q³ⁿ⁻² =b^δq³ⁿ⁻² n Y j=2 aj^α^j^q 3n−2 | {z } =1 [an, b]^q³ⁿ⁻² | {z } =1 [an, b]⁽ Pn j=2 Pq3n−2 h=1 αjhδq2(j−1)) | {z }

=1 perch´e qndivide l’esponente

= =an^δq 3(n−1) = [an, b]^δq⁽ⁿ⁻¹⁾ e (a_nβ)^q³⁽ⁿ⁻¹⁾ = b^δnq³⁽ⁿ⁻¹⁾ | {z } =1 n−1 Y j=2 a_j^αnjq³⁽ⁿ⁻¹⁾ | {z } =1 a_n^αnnq³⁽ⁿ⁻¹⁾[a_n, b]nq3(n−1) | {z } =1 [a_n, b]⁽^Pⁿj=2 Pq3(n−1) h=1 αnjhδnq2(j−1)) | {z } =1 = =a_n^αnnq3(n−1) = [a_n, b]^αnnq(n−1) .

Nel documento 1207415 Numerodimatricola: Prof.AndreaLucchiniVeronicaPapo Relatore:Candidato: Sistemiditransitivitàneigruppifiniti UNIVERSITÀDEGLISTUDIDIPADOVADipartimentodiMatematica”TullioLevi-Civita”CorsodiLaureaMagistraleinMatematica (pagine 42-53)