Introduzione
Per interpolazione spaziale si intende un insieme di tecniche che consentono, dato uno spazio in cui la grandezza ricercata risulta nota in alcuni punti, di determinare i valori di tale grandezza anche in punti in cui non lo è, basandosi sui valori misurati. Nel caso in esame la grandezza di interesse è l’altezza di pioggia, misurata in millimetri, mentre i punti in cui si conosce il suo valore sono i pluviometri, in modo particolare quelli considerati interessanti a seconda dei diversi eventi.
Attraverso le diverse tecniche si giunge ad un risultato comune ovvero alla creazione di una carta georeferenziata, cioè una carta in cui è noto il valore stimato della grandezza da ricercare, nel caso in esame l’altezza pluviometrica. La stima di tale variabile viene effettuata utilizzando dei ponderatori i quali vanno stimati, tenendo sempre in considerazione la condizione, richiamata in precedenza, per cui la loro sommatoria deve essere pari ad 1 attraverso diverse tecniche:
- Metodi Deterministici: non tengono in considerazione le caratteristiche dell’approccio probabilistico e si basano su impostazioni prettamente geometriche, all’interno di questo elaborato sono state prese in considerazione due diverse tecniche ovvero l’Inverso delle Distanze Pesate (Inverse Distance Weighted, IDW) e Poligoni di Voronoi (o di Thiessen);
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- Metodi Geostatistici: sono tecniche di regressione che permettono di individuare i ponderatori minimizzando la varianza di stima, come il Kriging ordinario.
All’interno di questo capitolo vengono riportati alcuni cenni teorici di entrambi i metodi di stima.
5.1 Tecniche deterministiche
Le principali tecniche deterministiche, come già accennato, sono quelle che prescindono dal contesto aleatorio e calcolano i ponderatori in funzione della distribuzione esclusivamente geometrica dei punti noti nel vicinaggio di stima. Tra gli stimatori tradizionali più usati troviamo l’Inverso delle Distanze Pesate (IDW) e i Poligoni di Voronoi (o Thiessen).
Poligoni di Voronoi (o Thiessen)
Tale tecnica consiste nelle realizzazione di tasselli o poligoni aventi come vertici gli ortocentri dei triangoli formati congiungendo i punti noti, all’interno dei quali si avrà una sola misura della variabile regionalizzata la quale verrà considerata costante sull’intero dominio Vi individuato dal poligono i-esimo. I ponderatori
quindi discriminano tra l’appartenenza all’uno o all’altro tassello, ciò può essere espresso come:
Tale tecnica ha un limite dato dal fatto che all’interno dei vari poligoni, i quali possono avere un’area più o meno vasta, si consideri sempre costante il valore della variabile regionalizzata, ciò rappresenta un’ipotesi piuttosto stringente.
77 Inverso delle Distanze Pesate (IDW):
Questa tecnica descrive in maniera più realistica, rispetto a quella vista sopra, il comportamento di una variabile regionalizzata; i ponderatori, da attribuire ai campioni compresi entro il vicinaggio di stima, hanno un peso proporzionale all’inverso della distanza euclidea di fra il punto noto xi e il punto da stimare x0,
elevata ad un esponente di ordine p R+
ovvero:
dove l’esponente p, detto ordine della distanza, può variare a seconda della variabile regionalizzata da interpolare; a seconda dei diversi valori utilizzati si ottengono delle stime differenti in quanto con valori di p bassi si ottengono dei pesi numericamente simili anche a distanze elevate, mentre, utilizzando p elevati, la stima si riconduce ad una poligonazione.
Si è soliti nella applicazioni idrologiche assumere p = 2, ma l’ordine è del tutto arbitrario.
Tale metodo ha il vantaggio di essere veloce ma anche degli svantaggi tra cui: il risultato dipende dal peso utilizzato e dal numero di punti considerati, risente inoltre della presenza di trend globali nei dati (Paolo Zatelli, Università di Parma).
5.2 Tecniche geostatistiche
Tra le principali tecniche geostatistiche di stima consideriamo ora il Kriging, ed in particolare quello utilizzato all’interno di tale elaborato ovvero il Kriging ordinario. In generale tale tecnica rappresenta un metodo di regressione che permette di interpolare una grandezza nello spazio, minimizzando l’errore quadratico medio. Tale interpolazione spaziale si basa sull'autocorrelazione della grandezza, cioè l’assunto che la grandezza in oggetto vari nello spazio con continuità; detto in parole più semplici le cose più vicine sono più simili rispetto
78 alle cose più lontane (Legge di Tobler).
Dato un set di ponderatori si può calcolare, con l’ausilio del variogramma, la precisione della stima corrispondente, risulta quindi necessario determinare quei ponderatori che danno luogo alla stima migliore.
Tale problema si risolve minimizzando la varianza di stima , la quale esprime la qualità e la correttezza della stima, utilizzando come metodo di ottimizzazione quello di Lagrange sotto opportune condizioni di vincolo; il metodo di ottimizzazione visto consiste nell’eguagliare a zero le n derivate parziali dell’equazione della varianza di stima rispetto ai ponderatori , ovvero la seguente formula:
Sotto il vincolo di stima corretta (o non deviata) data dalla condizione sui ponderatori, ovvero che la loro sommatoria dovrà essere pari a 1, si ottiene la seguente funzione lagrangiana:
=
Si tratta ora di risolvere un problema di minimo vincolato, ovvero porre l’equazione descritta sopra pari a zero, tale condizione porta alla risoluzione di un sistema in due equazioni formato dalle derivate parziali della funzione lagrangiana L( ) fatta rispetto ai ponderatori λ e rispetto al parametro lagrangiano incognito μ. Si ottiene quindi il sistema lineare di n + 1 equazioni in n + 1 incognite:
Con i = 1,…, n.
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La matrice dei coefficienti non dipende dall’entità da stimare ma dipende esclusivamente dalla posizione reciproca dei punti di misura, cioè delle informazioni che si utilizzano per effettuare la stima, e dalla funzione variogramma. In particolare essa rappresenta la struttura spaziale dell’informazione. Durante questo lavoro di tesi il Kriging ordinario è stato utilizzato servendosi di due modelli di variogramma, inizialmente dedotto da soli dati misurati ai pluviometri e successivamente da soli dati rilevati al radar.
Il vettore dei termini noti è legato all’entità da stimare e descrive i rapporti spaziali tra questa ed i punti di misura.
È così possibile mettere in evidenza come la matrice dei coefficienti, indicata per comodità con Γ, e il termine noto g0 dipendano unicamente dalla funzione
variogramma, che, come si è visto, è possibile calcolare in modo teorico in tutti i punti del campo.
Se ne deduce che, se le posizioni i-esime dei punti sono distinte, il sistema ammette sempre un’unica soluzione. Concludendo è possibile calcolare per ogni punto x0 una n-pla di ponderatori λi risolvendo il sistema lineare:
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