Il teorema di Bayes quantistico e la convergenza delle prior nella

Vogliamo ora affrontare il problema della convergenza delle prior nella rappresenta-zione di de Finetti. In una formularappresenta-zione bayesiana delle probabilità quantistiche due agenti con delle prior arbitrariamente diverse dovranno, alla luce dei dati sperimenta-li, convergere verso la medesima assegnazione probabilistica, ossia il medesimo stato quantistico. Dobbiamo dunque cercare un analogo del teorema di Bayes.

Al fine di affrontare la problematica dell’aggiornamento degli stati quantistici, è ne-cessario dapprima introdurre un postulato di misura che non riguardi più solo le mi-sure proiettive, ma anche le POVM. Seguendo la strada proposta in [14], il postulato proiettivo standard può essere rielaborato non a partire dalle POVM stesse, ma da operatori arbitrari: il motivo sarà chiaro nel momento in cui ricaveremo l’operatore densità in cui si trova un sistema dopo una POVM.

Postulato 3.1(Misura quantistica). Una misura quantistica è descritta da un insieme di operatori {Mm} tali che

X

m

M_m^†M_m= I.

Se nell’istante precedente la misura il sistema è nello stato puro |ψi, la probabilità di ottenere il risultato m-esimo è data da

pm= hψ|M_m^†Mm|ψi (3.2) e

|ψ_mi = _q ^Mm|ψi hψ|M_m^†M_m|ψi

(3.3)

è lo stato del sistema dopo la misura.

Il vantaggio di questa formulazione è di includere misure proiettive e POVM nella medesima struttura, e di poter essere facilmente generalizzata al caso degli operatori densità. Infatti, la forma dell’equazione (3.3) suggerisce subito²

ρm= ¹ tr  ρMm^†Mm  X i MmiρM_mi^† (3.4)

2È infatti sufficiente combinare l’Equazione 3.3 con il rispettivo bra hψm| per costruire l’operatore densità |ψmihψm| associato allo stato puro.

che rappresenta l’operatore densità dopo una misura di risultato m-esimo su un si-stema descritto da ρ, e la sommatoria compare dal momento che stiamo in generale considerando ensemble di stati puri.

È immediato notare che per una misura proiettiva per uno stato puro si ottengono i risultati noti se Mm= Π_m,

|ψ_mi = ^Πm|ψi

p hψ|Π_m|ψi ^{= |mi ρm=} 1

tr(ρΠ_m)^{ΠmρΠm= |mihm|}

dato che i proiettori sono operatori idempotenti e autoaggiunti. A questo punto, il caso più generale di una POVM {Eα} è suggerito dalla struttura della probabilità (3.2). Se ci restringiamo per brevità al caso in cui l’Equazione (3.4) si sviluppa su un unico indice i, otteniamo

E_α = M_α^†M_α, ρ_α= ¹

tr(ρEα)^MmρM

†

m (3.5)

che si generalizza immediatamente al caso di più indici, anche se non ne faremo qui uso. Notiamo che Mα = (Eα)^1/2, che esiste sempre poiché Eα è un operatore semi-definito positivo. Dunque il formalismo appena presentato che muove da generici operatori M piuttosto che dalla POVM in sé resta algebricamente coerente. Tuttavia, formulare il postulato di misura come abbiamo fatto mette subito in luce che ρmnon dipende banalmente da Eα, ma dalla sua radice quadrata³.

Siamo ora in grado di costruire un analogo del teorema di Bayes per le probabilità quantistiche [17]. Supponiamo di avere N sottosistemi identici e scambiabili descritti dallo stato ρ^{(N )}, e di effettuare una misura su uno di essi mediante una POVM {Eα}. La probabilità di ottenere l’α-esimo risultato è

pα= tr  Eαρ^{(N )}  e ρ_α= ¹ p_α^MαρM † α

è lo stato dopo la misura del singolo sistema su cui è stata compiuta. Lo stato dei rimanenti N − 1 sistemi successivo alla misura si ottiene mediante la traccia parziale

ρ^{(N −1)}_α = tr₁(ρ^{(N )}_α ) (3.6) dove ρ^{(N )}α è lo stato complessivo degli N sistemi dopo la misura. Poiché è sempre possibile rappresentare lo stato ρ^{(N −1)} degli N − 1 sistemi imperturbati attraverso la rappresentazione di de Finetti, vale

ρ^{(N )}_α = ρ_α⊗ ρ^{(N −1)} = Z

dρ P (ρ)^hρ_α⊗ ρ^{⊗(N −1)i}. A questo punto l’Equazione (3.6) si scrive

ρ^{(N −1)}_α = Z

dρ P (ρ) tr(ρα)ρ^{⊗(N −1)}

3È noto che la radice quadrata di un operatore non è unica, ma anzi è definita a meno di una qualsiasi trasformazione unitaria: per questo il postulato di misura può essere enunciato nei termini di operatori Mmgenerici.

ed è qui che utilizziamo l’espressione dello stato in cui si trova il singolo sistema dopo una POVM, ρ^{(N −1)}_α = ¹ p_α Z dρ P (ρ) tr^M_αρM_α^†ρ^{⊗(N −1)}= Z dρ^{P (ρ) tr(Eαρ)} p_α ^ρ ⊗(N −1)

per la ciclicità della traccia. A meno di identificare le probabilità condizionate, questa è già una forma del teorema di Bayes cercato. Possiamo infatti indicare con

tr(E_αρ) := p(α|ρ)

la probabilità di ottenere un risultato α condizionata dal trovarsi nello stato ρ, per cui

ρ^{(N −1)}_α = Z dρ^{P (ρ)p(α|ρ)} p_α ^ρ ⊗(N −1):= Z dρ p(ρ|α)ρ^{⊗(N −1)} dove p(ρ|α) è la probabilità di assegnare uno stato ρ dato il risultato α.

Abbiamo quindi ottenuto il teorema di Bayes quantistico

p(ρ|α) = ^{p(α|ρ) P (ρ)} pα

(3.7) che rappresenta la regola di aggiornamento per lo stato ρ alla luce di una POVM di ri-sultato α. Nello specifico, l’Equazione (3.7) permette anche di stabilire un’importante proprietà del teorema di de Finetti quantistico: per un numero sufficientemente alto di misure, dato che la richiesta di scambiabilità equivale ad un giudizio di indistinguibi-lità degli N sistemi, la probabiindistinguibi-lità p(ρ|α) diviene sempre più piccata su un particolare stato.

Nel limite di un numero k di misure infinito, per l’assunzione di scambiabilità dovrà valere

lim

k→∞p(ρ|γ) = δ(ργ)

per un certo stato ργ. D’altra parte, nella rappresentazione di de Finetti è proprio la prior P (ρ) ad essere aggiornata mediante (3.7) dopo ogni misura, dove ora pγe p(γ|ρ) sono pari a 1 in questo limite. Pertanto otteniamo

ρ^{(N )} = Z

dρ P (ρ)ρ^⊗N −→ Z

dρ δ(ργ)ρ^⊗N = ρ^⊗N_γ

e dunque il teorema di Bayes quantistico garantisce la convergenza delle prior ad un unica distribuzione di probabilità coerente con i dati sperimentali.

In questo senso la tomografia quantistica è un processo di natura puramente baye-siana: non si tratta di caratterizzare uno stato quantistico sconosciuto ρ, ma della con-vergenza di prior arbitrariamente diverse ad un unico stato quantistico condiviso da qualsiasi agente, e che come tale rappresenta una descrizione fisica univoca. Questo particolare fatto è permesso dalla richiesta di scambiabilità, che si riflette nel trattare i sistemi come effettivamente identici fra loro: il teorema di de Finetti garantisce allora che sia come se ogni sistema possedesse uno stato quantistico ρ non noto che cattura il loro essere l’uno copia dell’altro. Ma da un punto di vista bayesiano si tratta sola-mente di una possibile rappresentazione della situazione fisica, che resta descritta nel suo complesso dallo stato complessivo ρ^{(N )} come assegnazione di un agente, e non dai singoli stati.