e utile nel caso in cui gli integrali in (1.21) sono risolubili in quadrature, altri-menti si pu`o studiare la soluzione della (1.20) (come per lo studio qualitative delle equazioni variabili separabili), usando gli integrali definiti
u(t) = e Rt t0p(s) ds u0+ Z t t0 q(s)e− Rs t0p(τ ) dτds . (1.22)
Diamo un elenco di esercizi teorici.
Esercizio 1.4. Siano p(t) e q(t) funzioni periodiche con periodo T > 0. Dimostrare che:
L1. La condizione necessaria e sufficiente afinch`e ∃u 6= 0 soluzione T -periodica di u0 = p(t)u `e
Z T 0
p(t)dt = 0.
L2. La condizione necessaria e sufficiente afinch`e per ∀ soluzione della (1.17) lim
t→+∞u(t) = 0 `e Z T
0
p(t)dt < 0.
L3. La condizione necessaria e sufficiente afinch`e per ∀ soluzione della (1.17) sup t∈[0,+∞[ |u(t)| < +∞ `e Z T 0 p(t)dt ≤ 0.
L4. La condizione necessaria e sufficiente afinch`e tutte le soluzione della (1.17) siano limitate sulla retta ] − ∞, +∞[ `e
Z T 0
p(t)dt = 0.
1.7 Teorema di Floquet
Rivisitiamo l’equazione lineare
u0 = p(t)u + q(t), u(t0) = u0, (1.23)
essendo p(t) e q(t) due funzioni assegnate, definite continue in R e periodiche con periodo T .
La ben nota formula [vedi la (1.21)] u(t) = e Rt t0p(s) ds u0+ Z t t0 q(s)e− Rs t0p(τ ) dτds . (1.24)
permette di studiare le soluzioni T -periodiche dell’equazione scalare (1.23). Si dimostra facilmente, tenendo conto dall’identit`a (1.24), che:
L1. La condizione necessaria e sufficiente afinch`e ∃u 6= 0 soluzione non nulla e T -periodica di u0 = p(t)u `e
Z T 0
p(t)dt = 0.
L2. Esiste un cambiamento delle funzioni incognite u(t) = s(t)v(t) dove s(t) `
e una funzione C1 e T -periodica, tale che u(t) soddisfa u0(t) = p(t)u se e solo se v(t) soddisfa v0(t) = bv(t) per una costante b. Trovate b. Consideriamo adesso il sistema lineare omogeneo
˙x(t) = A(t)x(t), A(t) ∈ C(R : Cn), (1.25) essendo A(t) T -periodica.
Indichiamo con Φ(t) la matrice fondamentale della (1.25) tale che Φ(0) = I. In particolare, Φ(t + T ) `e di nuovo una matrice fondamentale. Quindi, dalla struttura dello spazio delle soluzioni di (1.25) (isomorfo allo spazio Cn) si conclude che esiste una matrice C non singolare (cio`e det{C} 6= 0) tale che
Φ(t + T ) = Φ(t)C, t ∈ R. (1.26)
Inoltre, dalla definizione di ˙
Φ(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I, (1.27)
otteniamo il seguente teorema.
Teorema 1.7.1 (Floquet). Esistono una matrice T -periodica P (t) e una matrice costante B tali che
Φ(t) = P (t)etB, (1.28)
dove la matrice B soddisfa
eT B = C. (1.29)
Infine, se x(t) = P (t)y(t), la y(t) soddisfa ˙
y(t) = By(t). (1.30)
Dimostrazione. Ogni matrice non singolare pu`o essere scritta come l’esponenziale di un’altra matrice: C = eT B. Ci`o `e facile da dimostrare se la matrice C `e diagonalizzabile: C = S−1ΛS, dove Λ = diag(λ1, . . . , λn). In tal caso
B = 1 T S
−1
diag(ln λ1, . . . , ln λn)S.
Per quanto riguarda la T -periodicit`a di P (t) := Φ(t)e−tB, basta osservare che tenendo conto di (1.26) e (1.29), si ha
P (t + T ) = Φ(t + T )e−(t+T )B = Φ(t)Ce−T Be−tB = Φ(t)CC−1e−tB = Φ(t)e−tB = P (t). (1.31) Osserviamo che ˙ P (t) = ˙Φ(t)e−tB + Φ(t)e−tB(−B) = A(t)Φ(t)e−tB − P (t)B = A(t)P (t) − P (t)B (1.32) e, poi, da x(t) = P (t)y(t) e (1.25) si ha ˙x(t) = ˙P (t)y(t) + P (t) ˙y(t)
= [A(t)P (t) − P (t)B]y(t) + P (t) ˙y(t)
= A(t)x(t) + P (t) {−By(t) + ˙y(t)} . (1.33) Quindi, dall’equazione ˙x(t) = A(t)x(t) segue
˙
y(t) = P (t)−1(AP (t) − ˙P (t)) = By(t). (1.34)
Il teorema di Floquet `e dimostrato.
La matrice C = eT Bsi chiama la matrice di monodromia oppure fattore di Bloch. Gli autovalori ρ di C si chiamano moltiplicatori caratteristici, mentre gli autovalori λ di B, ρ = eT λ, si chiamano esponenti caratteristici.
Esercizio 1.5. Sia A(t) = p(t)A, dove A `e una matrice costante e p(t) `e una funzione scalare continua e T -periodica: Calcolare esplicitamente Φ(t), P (t), C ecc.
Un’applicazione importante riguarda l’equazione di Helmholtz-Schr¨odinger −ψ00(x, λ) + Q(x)ψ(x, λ) = λn(x)2ψ(λ, x), (1.35)
dove λ `e un parametro spettrale e Q, n sono funzioni periodiche: Q(x + T ) ≡ Q(x) reale, n(x + T ) ≡ n(x) positiva.
Nel caso n(x) ≡ 1 la (1.35) si riduce all’equazione di Hill (oppure di Schr¨ o-dinger con potenziale periodico) rilevante ai semicondottori unidimensionali senza impurit`a. Nel caso Q(x) ≡ 0 risulta l’equazione di Helmholtz con indice di rifrazione periodica rilevante ai cristalli fotonici unidimensionali senza impurit`a.
Convertendo la (1.35) in un sistema del primo ordine otteniamo ∂ ∂x ψ(x, λ) ψ0(x, λ) = 0 1 Q(x) − λn(x)2 0 ψ(x, λ) ψ0(x, λ) . (1.36)
Siano ora θ(x, λ) e ϕ(x, λ) le soluzioni della (1.35) che soddisfano le condizioni iniziali
(
θ(0, λ) = 1, θ0(0, λ) = 0, ϕ(0, λ) = 0, ϕ0(0, λ) = 1.
Allora la matrice fondamentale Φ(x, λ) della (1.36) [con condizione iniziale Φ(0, λ) = I] ha la forma
Φ(x, λ) = θ(x, λ) ϕ(x, λ) θ0(x, λ) ϕ0(x, λ)
.
Utilizzando il teorema 1.1.5 risulta det Φ(x, λ) ≡ 1. Quindi vale il teorema 1.7.1, dove C = Φ(T, λ) = θ(T, λ) ϕ(T, λ) θ0(T, λ) ϕ(T, λ) , P (x, λ) = Φ(x, λ)Φ(T, λ)−1.
Capitolo 2
Studio qualitativo dei sistemi
non lineari
In questo capitolo studiamo in modo qualitativo i sistemi non lineari, sia i sistemi di equazioni differenziali che quelli di equazioni alle differenze.
2.1 Studio qualitativo per sistemi sul piano
Consideriamo ¨
x(t) = F (x(t), ˙x(t)), x(0) = x0, ˙x(0) = y0 (2.1) dove F (x, y) ∈ C1(Ω), essendo Ω un aperto in R2. Lo schema per ridurre l’ordine `e seguente. Se ˙x(t) 6= 0 per t ∈ I, allora potremmo introdurre una nuova variabile x = x(t) e se t = t(x) `e la funzione inversa, poniamo:
p(x) := ˙x(t(x)). (2.2)
Dalla regola per la derivazione di una funzione composta avremo ¨
x(t(x)) = p(x)p0(x) (2.3)
e quindi la (2.1) diventa
p(x)p0(x) = F (x, p(x)), p(x0) = y0. (2.4) In modo analogo l’equazione
x(k)(t) = F (x(t), ˙x(t), . . . , x(k−1)(t)) (2.5) si pu`o ridurre su una equazione di ordine k − 1 usando la stessa trasfor-mazione. Come esercizio potete esprimere x(3)(t) come funzione di p(x), p0(x) e p00(x).
Esercizio 2.1. Risolvere le equazioni: 1) y3y00+ 1 = 0;
2) yy00− y02+ y03= 0; 3) y00+ y02= 2e−y; 4) y00 = ey.
Ecco alcune soluzioni:
1) Ponendo y0 = p(y) si ha y3p0p + 1 = 0, quindi (p2)0 = −2y−3 e p = y0 = ±pC1+ y−2. Infine risolviamo le equazioni a variabili separabili
y0 = ± y
p1 + C1y2 nei casi: C1 > 0, C1 = 0 e C1 < 0.
4) Ponendo y0 = p(y) si ha p0p = ey, quindi p = y0 = ±√
C1+ ey ecc. Le applicazioni pi`u importanti riguardano lo studio delle equazioni che rappresentano la legge di Newton) con leggi di conservazione
¨
x(t) = −U0(x(t)), x(0) = x0, ˙x(0) = y0 (2.6) dove U (x) ∈ C2 `e l’energia potenziale. Possiamo scrivere come un sistema autonomo:
˙x = y, ˙y = −U0(x) (2.7)
Osserviamo che ogni soluzione (x(t), y(t)) soddisfa
E(x(t), y(t)) ≡ c = E(x(0), y(0)) (2.8)
dove E(x, y) = y
2
2 + U (x) `e un primo integrale per la (2.7). Quindi, almeno localmente, ogni traiettoria coincide con l’insieme
{(x, y) : E(x, y) = c}, per una certa costante c. (2.9) Dal punto di visto delle applicazioni prendiamo y0 = 0 (la velocit`a iniziale `e zero).
Fissiamo ora due numeri reali a < b e supponiamo che
U (a) = U (b); U (x) < U (a) per x ∈]a, b[ (2.10) e consideriamo
Teorema 2.1.1. Sia U0(a) 6= 0 e U0(b) 6= 0. Allora la soluzione della (2.11) `
e periodica con periodo T > 0 (quindi la sua traiettoria (orbita) `e chiusa). Il periodo T si esprime dalla formula
T =√ 2 Z b a 1 pU(a) − U(η)dη (2.12)
Osserviamo che esiste un’unica traiettoria chiusa che passa per i punti (a, 0) e (b, 0) ma infinite soluzioni con una tale orbita.
Dimostrazione. Ci sono due momenti prinicipali. Primo, se la coppia di funzioni (x(t), y(t)), dove y(t) = x0(t), soddisfa il sistema, allora
y2(t)
2 + U (x(t)) = U (a). (2.13)
Quindi, necessariamente ˙x(t) = ±p2(U(a) − U(x(t))) e sono definite (per |t| piccolo) dalle formule
Z x±(t) c
1
p2(U(a) − U(η))dη = ±t, con c = U (a) (2.14) Osserviamo che dalle condizione U0(a) 6= 0, U0(b) 6= 0 l’integrale in (2.14) `e convergente per η → a e η → b. Si nota che x+(T
2) = b, x−(− T
2) = b, essendo T definito dalla (2.12). Ponendo ϕ(t) = x+(t) per 0 ≤ t ≤ T
2, ϕ(t) = x+(t) per −T
2 ≤ t ≤ 0 si verifica facilmente che x(t) = ϕ(t), y(t) = ϕ(t) `˙ e soluzione T periodica ricercata.
Teorema 2.1.2. Sia U0(a) 6= 0 e U0(b) = 0. Allora la soluzione della (2.11) soddisfa
lim
t→±∞(x(t), y(t)) = (b, 0).
Inoltre, Esiste un’unica traiettoria che passa per il punto (a, 0) e tende asin-toticamente a (b, 0), sia per t → +∞ sia per t → −∞, ma infinite soluzioni con una tale orbita.
Una tale orbita (traiettoria) si chiama omoclina.
Dimostrazione. Definiamo x±(t) dalla (2.14). A differenza della situ-azione del teorema precedente abbiamo la seguente situsitu-azione: dalla con-dizione U0(a) 6= 0 segue che l’integrale nella (2.14) `e convergente per η → a, mentre dalla condizione U0(b) = 0 segue che l’integrale nella (2.14) `e diver-gente per η → b. Ci`o implica lim
t→±∞x±(t) = b. Le traiettorie ricercate sono definite da (x±(t), ˙x±(t)).
Teorema 2.1.3. Sia U0(a) = 0 e U0(b) = 0. Allora esistono due soluzioni (x±(t), y±(t)) del sistema (2.11) tali che
lim
t→±∞(x±(t), y±(t)) = (b, 0) e lim
t→±∞(x∓(t), y∓(t)) = (a, 0). Tali soluzioni si chiamano eterocliniche.
Dimostrazione. Per ogni c ∈]a, b[ definiamo xc±(t) dalla (2.14). A differenza della situazione dei teoremi precedenti, dalle condizioni U0(a) = U0(b) = 0 segue che l’integrale nella (2.14) `e divergente per η → a e per η → b. Ci`o implica lim
t→±∞xc±(t) = b, lim
t→∓∞xc±(t) = a. Le traiettorie ricercate sono definite da (xc±(t), ˙xc±(t)).
Esercizio 2.2. Studiare il sistema di equazioni differenziali ˙x = y, ˙y = −U0(x), x(0) = x0, y(0) = y0,
dove
1) U (x) = − cos x; disegnare la soluzione anche nello spazio R3 x,y,t. 2) U (x) = x sin x;
3) U (x) = (x − 1) sin x;
4) U (x) = − cos x + x2; disegnare la soluzione anche nello spazio R3 x,y,t. 5) U (x) = cos x + 2x; disegnare la soluzione anche nello spazio R3
x,y,t. 6) U (x) = cos x + x; disegnare la soluzione anche nello spazio R3
x,y,t. 7) U (x) = sin x2; 8) U (x) = ±x2; 9) U (x) = x3± x; 10) U (x) = x3; 11) U (x) = x4± 2x2; 12) U (x) = x4; 13) U (x) = e−|x|1 sin 1 |x|.
Nei casi successivi la funzione potenziale dipende da un parametro λ. 14) U (x) = x 3 3 + λx; 15) U (x) = ±x 4 4 + λ x2