· · · → Hn(( eC(4))−→ Hϕ n(( eC({v0} ∗ 4))−→ Hψ n(( eC(4))(−1))−→ω Hn−1( eC(4))
ϕ
−→ Hn−1(( eC({v0} ∗ 4))−→ Hψ n−1(( eC(4))(−1)) → · · · dal fatto che ω `e un isomorfismo, segue che Hn(( eC({v0} ∗ 4)) = 0 per ogni n.
Corollario 4.1.5. Se hGi `e un simplesso con j vertici, hGi ∗ 4 = cnj(4) si ottiene iterando
j volte la costruzione del cono, quindi hGi ∗ 4 `e aciclico. Da quanto detto possiamo facilmente dedurre il seguente Lemma 4.1.6. Sia F una faccia di 4 e G ∈ lk F , allora (a) F ∈ lk G e lkst GF = hGi ∗ lklk GF ;
(b) G 6= ∅ implica che lklk GF `e aciclico.
4.2
Teorema di Hochster
Ricordiamo che la coomologia di un complesso si ottiene prendendo l’omologia del complesso duale. In particolare noi stiamo considerando l’omologia a coefficienti in un campo K, e quindi, poich´e il funtore HomK(·, K) `e esatto, abbiamo che la coomologia `e il duale dell’omologia. Ricordiamo inoltre che, se A, B sono due anelli con un omomorfismo di anelli f : A → B, e se M `e un A-modulo e N un B-modulo, vale la formula
HomA(M, N ) ∼= HomB(M ⊗AB, N )
e che quindi, per A = Z e per N = B = K, si ha:
HomZ(M, K) ∼= HomK(M ⊗ZK, K).
Definizione 4.2.1. Sia {v1, · · · , vn} un insieme di vertici. Per ogni vettore di interi a =
(a1, · · · , an) ∈ Zn, definiamo i due insiemi
Ha= {vi | ai < 0} e Ga= {vi | ai> 0}.
Ricordiamo la definizione del complesso di Cech C• = limkK•(xk):
C• : 0 → C0 → C1→ · · · → Cn→ 0,
Ct= M
1≤i1<···<it≤n
Rxi1xi2···xit
Ricordiamo che R `e graduato in Zn. Possiamo dotare anche il complesso di Cech di un grado in Zn, definito su ogni componente Rx (dove x ∈ R `e un elemento omogeneo). Sia
a ∈ Zn,
(Rx)a= {r/xm : r ∈ R omogeneo, deg r − m deg x = a}.
Sia 4 un complesso simpliciale, R = K[4] l’anello di Stanley-Reisner corrispondente, C• il complesso di Cech dell’anello R, graduato in Zn. Allora ogni componente omogenea del complesso C• pu`o essere descritta geometricamente come segue.
Lemma 4.2.2. Per ogni a ∈ Zn esiste un isomorfismo di complessi α• : (C•)a→ HomZ( eC(lkst HaGa)[−|Ga| − 1], K).
Dimostrazione. Sia B = {F ∈ 4 : F ⊃ Ga, F ∪ Ha ∈ 4, |F | = i} e B0 = {F0 ∈ 4 : F0 ∈
lkst HaGa, |F
0| = i − j} dove j = |G a|.
La mappa F 7→ F \Ga forma una bigezione B ↔ B0.
Per ogni i, ricordiamo che Ci =L
1≤t1<···<ti≤nRxt1,··· ,xti e che quindi (C
i)
a `e uno spazio
vettoriale su K generato da un elemento per ogni addendo Rxt1,··· ,xti. Sia bF tale elemento
(dove F = {vt1, · · · , vti}). Definiamo la mappa
αi: (Ci)a→ HomZ( eC(lkst HaGa)i−j−1, K)
nel seguente modo: bF 7→ ϕF \Ga dove ϕF(G) = 1 se F = G, 0 altrimenti. Questa mappa `e un isomorfismo di spazi vettoriali.
Per assicurare che questi isomorfismi si compongano bene basta usare un’accorgimento sull’ordine dei vertici. Fissato a, scegliamo un’orientazione di 4 in modo che, ordinando i ver- tici, gli elementi di Ga siano gli ultimi. Dotiamo il sottocomplesso lkst HaGadell’orientazione indotta. Ora la composizione non crea problemi, e α• `e l’isomorfismo cercato.
Teorema 4.2.3 (Hochster). Sia 4 un complesso simpliciale, K un campo. La serie di Hilbert dei moduli di coomologia locale (rispetto al grado fine) `e data da:
HHi M(K[4])(t) = X F ∈4 dimKHei−|F |−1(lk F ; K) Y vj∈F t−1j 1 − t−1j
Dimostrazione. Per il Corollario2.4.5si ha HMi (K[4])a= Hi(C•)ae per il Lemma4.2.2vale
Hi(C•)a∼= eHi−|Ga|−1(lkst HaGa; K). Da questo segue che dimKHMi (K[4])a= dimKHei−|G
a|−1(lkst HaGa; K). Sia Ha 6= ∅, allora lkst HaGa `e aciclico per il Lemma 4.1.6. Se invece Ha = ∅ allora
lkst HaGa= lk4Ga= lk Ga.
Sia ora Zn−= {a ∈ Zn: ai ≤ 0 per i = 1, · · · , n}; allora Ha= ∅ se e solo se a ∈ Zn− quindi
HHi M(K[4])(t) = X F ∈4 X a∈Zn −,Ga=F dimKHei−|F |−1(lk F ; K)ta = X F ∈4 dimKHei−|F |−1(lk F ; K) Y vj∈F t−1j 1 − t−1j .
4.3. TEOREMA DI REISNER 43
4.3
Teorema di Reisner
Teorema 4.3.1. Teorema: sia 4 un complesso simpliciale, K un campo algebricamente chiuso, le seguenti sono equivalenti:
(a) 4 `e Cohen-Macaulay su K;
(b) eHi(lk F ; K) = 0 per ogni F ∈ 4 e i < dim(lk F ).
Dimostrazione. Sia dim 4 = d − 1.
La condizione di Cohen-Macaulay `e equivalente a: Hi(C•) = 0 ∀ i < d. Applicando il teorema di Hochster4.2.3questo `e equivalente a
e
Hi−|F |−1(lk F ; K) = 0 per ogni F ∈ 4 e ogni i < d (4.1)
(a) ⇒ (b): Se 4 `e Cohen-Macaulay allora `e puro, e quindi dim lk F = d − |F | − 1, e quindi dall’equazione4.1 segue eHi(lk F ; K) = 0 se i < dim lk F .
(b) ⇒ (a): Sia F ∈ 4, G ∈ lk F . Allora lklk F(G) = lk(G ∪ F ). Procedendo per induzione
su dim 4 per mostrare che `e Cohen-Macaulay su K: suppongo quindi che ogni link (proprio) in 4 sia Cohen-Macaulay, in particolare quindi i link dei vertici sono puri. Applicando la (b) a F = ∅ si ha in particolare eH0(4; K) = eH0(lk ∅; K) = 0 e dunque 4 `e puro. Allora (b) ⇒ la
Capitolo 5
Politopi ciclici
5.1
Politopi
Definizione 5.1.1. Un politopo in Rn `e l’inviluppo convesso di un numero finito di punti. La sua dimensione `e quella del suo inviluppo affine (il sottospazio generato dagli stessi punti). Un d-politopo `e un politopo di dimensione d.
Un politopo `e quindi un sottoinsieme affine di Rn della forma
{λ1p1+ · · · + λrpr | λi ≥ 0, r
X
i=1
λi= 1}
dove pi sono i punti scelti. La dimensione del politopo corrisponde al rango della matrice
(p1 − p0, · · · , pr− p0). Sia P ⊂ Rd un d-politopo, inviluppo convesso di V = {p1, · · · , pr}.
Consideriamo tutti gli iperpiani H ⊂ Rd che dividono Rn in due sottospazi chiusi H+, H− tali che P ⊂ H+ o P ⊂ H− e che dim(H ∩ P ) = d − 1. Chiamiamo faccia un insieme della forma H ∩ P .
Definizione 5.1.2. Un d-simplesso `e l’inviluppo convesso di d + 1 punti affinemente indi- pendenti. Un politopo `e detto simpliciale se ogni sua faccia `e un simplesso.
Il seguente teorema `e fondamentale per capire la struttura dei politopi. Una dimostrazione si trova ad esempio in [5], teorema 1.1.
Teorema 5.1.3. (Teorema principale per i politopi) Equivalentemente, un politopo `e un insieme limitato ottenuto come intersezione di un numero finito di semispazi.
Osservazione 5.1.4. Ogni faccia massimale del politopo definisce un iperpiano affine di sup- porto, che divide lo spazio in due semispazi, uno dei quali contiene il politopo. Il politopo `e proprio l’intersezione di questi semispazi.
Teorema 5.1.5. Ogni politopo ha bordo tassellabile.
Per questa dimostrazione avremo bisogno di qualche strumento. Sia P un politopo di dimensione d, siano F1, · · · , Fm le sue facce di dimensione d − 1 e siano H1, · · · , HM gli
iperpiani affini di supporto corrispondenti alle facce. 45
Definizione 5.1.6. Una retta R `e detta ammissibile rispetto a P se interseca P , se non `e parallela a nessuno degli Hi, e se inoltre per ogni coppia Hi6= Hj si ha che R ∩ Hi 6= R ∩ Hj.
Un punto `e detto ammissibile rispetto al politopo P se non appartiene a P e non apartiene a nessuno degli Hi.
Scelto un punto ammissibile p, chiamiamo visibili i punti x ∈ P tali che il segmento aperto [p, x) non interseca P , non visibili i punti tali che non esista un punto y/inP, y 6= x tale che x ∈ [p, y].
Risultano evidenti le osservazioni seguenti.
Lemma 5.1.7. • In ogni punto ammissibile passa almeno una retta ammissibile;
• Sia p = R ∩ Hi dove R `e una retta ammissibile, allora p `e ammissibile per la faccia Fi
(vista come politopo in dimensione d − 1);
• Fissato un punto ammissibile p, l’insieme dei punti visibili e l’insieme dei punti non visibili sono entrambi ottenibili come unione finita di alcune delle facce massimali Fi.
Dimostrazione del teorema5.1.5. Sia R una retta ammissibile per P , e siano R1 e R2 la
chiusura delle due semirette che compongono R\P e siano q1 = R1∩ P , q2 = R2∩ P . Sia
poi, per ogni i, pi = R ∩ Hi il punto di intersezione della retta con l’iperpiano di supporto
Hi. Cambiamo l’ordine dei punti in modo tale che:
• q1= p1, · · · , pk appartengano a R1 e [p, pi] ⊂ [p, pj] se i < j ≤ k;
• pk+1, · · · , pm= q2 appartengano a R2 e [pi, q] ⊃ [pj, q] se k − 1 ≤ i < j.
Siano quindi F1, · · · , Fm le facce cos`ı ordinate, dimostriamo che si tratta effettivamente di
una tassellazione. Sia 4j = ∪i≤jFi, allora vogliamo mostrare che, per ogni i, Fi∩ 4i−1 ha
dimensione massimale. Sia i ≤ k: allora 4i−1 coincide esattamente con l’insieme delle facce
visibili da pi, e Fi∩ 4i−1 coincide con l’insieme delle facce di Fi visibili da pi, e quindi ha
la dimensione voluta. Sia ora i = k + 1. Scegliamo un punto q ∈ R2 con [pk+1, q2] ⊂ [q, q2]
allora 4k coincide con l’insieme dei punti non visibili da q. Analogamente per i > k + 1 si
ha che 4i−1coincide con i punti non visibili da pi−1.I generale per i > k l’insieme Fk+1∩ 4k
5.2. POLITOPI CICLICI 47 Teorema 5.1.8. L’h-vettore di un politopo soddisfa sempre le equazioni di Dehn-Somerville. Dimostrazione. Costruiamo per il politopo una tassellazione F1, · · · , Fmcome nella dimostra-
zione precedente. Allo stesso modo, ci accorgiamo che anche G1, · · · , Gm `e una tassellazione,
dove Gi = Fm−i. Possiamo calcolare l’h-vettore utilizzando entrambe le tassellazioni: sia rj
il numero di facce massimali in hFji ∪ hF1, · · · , Fj−1i e sia rj0 il numero di facce massimali in
hGji ∪ hG1, · · · , Gj−1i allora
hi= |{j | rj = i}| = |{j | r0j = i}| per i = 0, · · · , d.
In un politopo ogni faccia `e attaccata alle altre lungo tutte le proprie facce, che sono d. Quindi r0j = d − rj e quindi hi= |{j | r0j = i}| = |{j | rj = d − i}| = hd−i.
5.2
Politopi ciclici
Definizione 5.2.1. La curva dei momenti M ⊂ Rd `e definita come l’immagine della funzione x : R → Rddefinita da x(τ ) = (τ, τ2, · · · , τd).
Definizione 5.2.2. Sia M ⊂ Rdcurva dei momenti, n ≥ d + 1. Un politopo ciclico C(n, d) `e l’inviluppo convesso di n punti distinti scelti in M .
Proposizione 5.2.3. Un politopo ciclico C(n, d) `e un d-politopo simpliciale.
Dimostrazione. Basta mostrare che d + 1 punti su M , comunque scelti, sono indipendenti. Questo assicura da un lato che la dimensione del politopo sia d, dall’altro che ogni faccia sia un d − 1-politopo generato da esattamente d punti in M . Siano τ0, · · · , τd parametri
dei punti, l’indipendenza lineare dei punti corrisponde all’indipendenza lineare di x(τ1) −
x(τ0), · · · , x(τn)−x(τ0). Questo si traduce nella non singolarit`a della matrice di Vandermonde:
V = 1 τ0 τ02 · · · τ0d 1 τ1 τ12 · · · τ1d .. . ... 1 τd τd2 · · · τdd
Questa matrice `e non singolare perch´e det V = Q
0≤i<j≤d(τj − τi) 6= 0 poich´e τi 6= τj se
i 6= j.
5.3
Caratterizzazione delle facce dei politopi ciclici
Abbiamo detto che i politopi ciclici sono determinati dalla scelta di alcuni vertici sulla curva dei momenti.
Al fine di arrivare a dimostrare il teorema del limite superiore, ci interessa contare le facce dei politopi, e per questo ci interessa capire sotto quali condizioni un sottoinsieme dell’insieme dei vertici delimita una faccia,
Sia dato un politopo C(n, d). C’`e un naturale ordinamento sui suoi vertici: poniamo infatti V = {x1, · · · , xn} dove xi = x(τi) con τ1 < · · · < τn in R.
Sia ora W ⊂ V un sottoinsieme di cardinalit`a j + 1: vorremo determinare sotto che condizioni l’inviluppo convesso di W `e una faccia di C(n, d). Il sottoinsieme W ammette una unica decomposizione minimale
W = Y1∪ X1∪ · · · ∪ Xs∪ Y2
dove
• gli insiemi Y1 e Y2 sono definiti da Y1 = {xi}1≤i≤r per qualche 0 < r ≤ j + 1 (oppure
Y1 = ∅ se x1 ∈ W ), Y/ 2 = {xi}r0≤i≤j+1 per qualche 0 < r0 ≤ j + 1 (oppure Y2 = ∅ se xj+1∈ W ) e si dicono estremali;/
• per ogni insieme Xα esistono due elementi r1, r2 tali che Xα = {xi}r1≤i≤r2; gli insiemi Xα si chiamano contigui.
Chiameremo inoltre contigui pari i sottoinsiemi contigui Xα⊂ W di cardinalit`a pari, e
contigui dispari i sottoinsiemi contigui di cardinalit`a dispari.
Nel prossimo teorema vedremo che ci interessa determinare il numero di sottoinsiemi contigui dispari nella decomposizione minimale di W .
Sia infatti C(n, d) un politopo ciclico sull’insieme di vertici V , e sia 0 ≤ j ≤ d − 1. Diamo una caratterizzazione dei sottoinsiemi W ⊂ V che definiscono una faccia del politopo. Teorema 5.3.1. Un sottoinsieme W ⊆ V di cardinalit`a j + 1 con j ≤ d − 1 determina una j faccia di C(n, d) se e solo se la decomposizione di W contiene al pi`u d − j − 1 insiemi contigui dispari.
Dimostrazione. Cominciamo dal caso particolare j + 1 = d (cio`e indaghiamo sulle facce mas- simali). La tesi diventa: W rappresenza una faccia se e soltanto se i sottoinsiemi contigui nella decomposizione minimale di W hanno tutti cardinalit`a pari.
Sappiamo gi`a che d punti su M sono affinemente indipendenti e definiscono quindi un iperpiano H. Chiaramente i punti xi ∈ W giacciono in H ∩ M , e inoltre poich´e M ha grado
d si ha che W = H ∩ M , e che inoltre i punti di W sono punti di intersezione tra H e M di molteplicit`a 1, quindi dividono M in d + 1 archi che giacciono alternativamente nei due semispazi determinati da H. L’inviluppo convesso di W `e una faccia se e soltanto se H `e un iperpiano di supporto per C(n, d), cio`e se V si trova interamente contenuto in uno dei semispazi chiusi definiti da H. Questo succede esattamente quando ogni coppia di punti di V che non appartengono ad H (quindi ogni coppia di punti in V \W ) `e separata da un numero pari di punti di W , cio`e la tesi.
Torniamo al caso generale: sia |W | = j + 1 < d.
Se l’inviluppo convesso di W `e una faccia, allora esiste un insieme di vertici W0 ⊂ V , con W ⊂ W0, il cui inviluppo convesso `e una faccia massimale. Vale quindi |W0| = d, e la decomposizione di W0 `e composta solo da insiemi contigui pari. Per dimostrare che nella decomposizione di W ci sono al pi`u d − j − 1 insiemi contigui dispari, possiamo considerare
5.4. TEOREMA DEL LIMITE SUPERIORE PER POLITOPI 49 solo il caso in cui gli estremali della decomposizione sono entrambi vuoti, e applicare il lemma
5.3.2.
Viceversa sia W tale che la sua decomposizione `e composta al pi`u da d − j − 1 insiemi contigui dispari. Allora esiste un insieme T ⊂ M con |T | = d − j − 1, e con V ∩ T = ∅ e tale che l’insieme W ∪ T si decomponga in insiemi contigui tutti pari. Allora W ∪ T definisce una faccia in C(n + d − j − 1, d), contenuta in un iperpiano di supporto H, che quindi `e anche un iperpiano di supporto di C(n, d). Allora W = H ∪ V definisce una faccia.
Dimostriamo il lemma combinatorio che abbiamo appena usato:
Lemma 5.3.2. Sia U un insieme di cardinalit`a k pari, e sia U1, · · · , Un una partizione
disgiunta di U , formata da insiemi di cardinalit`a pari. Comunque si scelga un sottoinsieme U ⊂ U con |U | = r, la partizione indotta su U , U1, · · · , Un contiene al pi`u k − r insiemi di
cardinalit`a dispari.
Dimostrazione. Notiamo che n ≤ k/2. Raffiniamo la partizione a una nuova partizione U10, · · · , Uk/20 tale che |Ui0| = 2 per ogni i. Fissato U ⊂ U con |U | = r, si devono distri- buire r elementi in k insiemi di cardinalit`a al pi`u due. Si ottengono almeno r − k/2 insiemi di cardinalit`a due, e quindi al pi`u k/2 − (r − k/2) singoletti. Quindi la partizione indotta U0
1, · · · , U 0
k/2contiene al pi`u k − r singoletti. Per concludere basta osservare che ogni insieme
di cardinalit`a dispari nella partizione U1, · · · , Un`e unione di insiemi di U01, · · · , U 0
k/2, di cui
almeno uno di cardinalit`a dispari. E quindi anche per U1, · · · , Un il numero di insiemi di
cardinalit`a dispari non supera k − r.
Dal teorema5.3.1segue un importante corollario:
Corollario 5.3.3. Sia C(n, d) un politopo ciclico, e sia W ⊂ V con |W | = j + 1 ≤ d/2, allora W definisce una faccia di C(n, d).
Dimostrazione. Se |W | = j + 1, la decomposizione di W contiene al pi`u j + 1 contigui dispari. Siccome j + 1 ≤ d/2, allora j + 1 ≤ d − j − 1, quindi, applicando il teorema5.3.1, W determina una j-faccia.
Segue dal corollario che che per 0 ≤ 1 ≤ d/2 si ha fj = j+1n . Ricordiamo la formula per
il calcolo del vettore h:
hj = j X i=0 (−1)j−id − i j − i fi−1.
Ne segue che in un politopo ciclico si ha hi= n−d+i−1i per 0 ≤ i ≤ [d/2].
5.4
Teorema del limite superiore per politopi
Teorema 5.4.1. (Teorema del limite superiore per politopi) Sia 4 un politopo con n vertici, di dimensione d. Allora fi(4) ≤ fi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1, dove C(n, d) `e il
Dimostrazione. Notiamo che per ogni i, fi `e una combinazione positiva dei coefficienti del
vettore h. Quindi per mostrare fi(4) ≤ fi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1, basta mostrare
hi(4) ≤ hi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1. Nella sezione precedente abbiamo mostrato
che si ha hi(C(n, d)) = hd−i(C(n, d)) = n−d+i−1i per 0 ≤ i ≤ [d/2]. Un politopo `e sempre
tassellabile e quindi, in particolare, di Cohen-Macaulay. Abbiamo mostrato (Teorema 3.4.9) che in un complesso di Cohen-Macaulay si ha, per ogni i, hi ≤ n−d+i−1i . Inoltre il vettore h
di un politopo soddisfa le equazioni di Dehn-Somerville, cio`e `e simmetrico (Teorema5.1.8). La tesi `e quindi dimostrata.
Capitolo 6
Teorema del limite superiore per
sfere simpliciali
Abbiamo mostrato la validit`a del teorema del limite superiore per i politopi simpliciali. Vor- remmo ora estendere il risultato a tutte le sfere simpliciali, cio`e quei complessi simpliciali la cui realizzazione geometrica `e topologicamente equivalente ad una sfera Sd.
Per d ≤ 3 un teorema dimostrato da Ernst Steinitz afferma che ogni sfera simpliciale `e anche un politopo simpliciale.
Per d ≥ 4 invece, c’`e un numero di sfere simpliciali maggiore rispetto ai politopi, e quindi il teorema del limite superiore per sfere simpliciali `e una generalizzazione dello stesso teorema per i politopi. Alcune stime del numero di sfere simpliciali e dei politopi si trovano nell’articolo [7].
Per mostrare il teorema del limite superiore per le sfere simpliciali si utilizza il teorema di Reisner 4.3.1, da cui si ricava la propriet`a di Cohen-Macaulay dalla struttura topologica della sfera. Si mostra poi che la sfera `e un complesso di Eulero e che il teorema del limite superiore vale per tutti i complessi di Eulero che hanno la propriet`a di Cohen-Macaulay.
6.1
Complessi di Eulero
Definizione 6.1.1. Un complesso simpliciale 4 si dice complesso di Eulero se `e puro, e seχ(lk F ) = (−1)e dim(lk F ) per ogni F ∈ 4.
Osservazione 6.1.2. In particolare poich´e il complesso `e puro, χ(lk F ) = (−1)e dim(lk F ) = (−1)d−dim F dove d − 1 = dim 4.
Teorema 6.1.3. (Dehn, Sommerville, Klee) Sia 4 un complesso di Eulero di dimensione d − 1 con h-vettore (h0, · · · , hd). Allora hi= hd−i per ogni i.
Lemma 6.1.4. Sia 4 complesso simpliciale su V = {v1, · · · , vn}. Allora
HK[4](t−11 , · · · , t−1n ) = X F ∈4 (−1)dim Fχ(lk F )e Y vi∈F ti 1 − ti . 51
Dimostrazione. Riprendiamo la formula3.1: HK(4)(t) = X F ∈4 Y vi∈F ti 1 − ti .
Operando la sostituzione ti7→ t−1i , l’espressione
Q vi∈F ti 1−ti viene trasformata in Y vi∈F t−1i 1 − t−1i = (−1) |F | Y vi∈F (1 + ti 1 − ti ) = (−1)dim F +1 X G⊆F Y vi∈G ti 1 − ti .
Sostituendo nella formula si ha quindi: HK[4](t−11 , · · · , t−1n ) = X F ∈4 (−1)dim F +1 X G⊆F Y vi∈G ti 1 − ti . Si pu`o riscrivere X F ∈4 (−1)dim F +1 X G⊆F Y vi∈G ti 1 − ti = X G∈4 (X F ⊇G (−1)dim F +1) Y vi∈G ti 1 − ti .
Notiamo che la corrispondenza F0 = F \G `e biunivoca tra gli insiemi {F ∈ 4 | G ⊆ F } e lk G, e che inoltre dim F = dim F0+ dim G + 1. Allora `e evidente che
X
F ⊇G
(−1)dim F +1= X
F0∈lk G
(−1)dim F0+dim G= (−1)dim Gχ(lk G)e
(ricordando la definizione di χ data ine 3.4.3). Quindi X G∈4 (X F ⊇G (−1)dim F +1) Y vi∈G ti 1 − ti = X G∈4 (−1)dim Gχ(lk G)e Y vi∈G ti 1 − ti che `e la tesi.
Dimostrazione. (del teorema 6.1.3) Sia 4 un complesso di Eulero di dimensione d − 1, cio`e per ogni faccia F valeχ(lk F ) = (−1)e d−dim F. Ricordando la 3.1e il lemma6.1.4si ottiene
(−1)dHK[4](t−11 , · · · , t−1n ) = X F ∈4 Y vi∈F ti 1 − ti = HK[4](t1, · · · , tn).
Da questo segue la simmetria dei coefficienti del vettore h.
Teorema 6.1.5. Sia 4 un complesso simpliciale di Eulero di dimensione d − 1, formato da n vertici e che sia di Cohen-Macaulay. Allora fi(4) ≤ fi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1,
dove C(n, d) `e il politopo ciclico di n vertici in dimensione d − 1.
Dimostrazione. Notiamo che per ogni i, fi `e una combinazione positiva dei coefficienti del
6.2. TEOREMA DEL LIMITE SUPERIORE PER SFERE SIMPLICIALI 53 mostrare hi(4) ≤ hi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1. Ricordiamo che hi(C(n, d)) =
hd−i(C(n, d)) n−d+i−1i per 0 ≤ i ≤ [d/2]. Abbiamo mostrato (Teorema 3.4.9) che in un com-
plesso di Cohen-Macaulay si ha, per ogni i, hi≤ n−d+i−1i . Inoltre abbiamo mostrato in que-
sta sezione che il vettore h di un complesso di Eulero soddisfa le equazioni di Dehn-Somerville, cio`e `e simmetrico (Teorema 6.1.3). La tesi `e quindi dimostrata.
6.2
Teorema del limite superiore per sfere simpliciali
Definizione 6.2.1. Una sfera simpliciale `e un complesso simpliciale la cui realizzazione geometrica `e topologicamente una sfera.
Teorema 6.2.2. Una sfera simpliciale `e un complesso di Eulero con la propriet`a di Cohen- Macaulay.
Dimostrazione. Una sfera simpliciale X soddisfa
e
Hi(X, K) = Hi(X, X\{p}, K) = 0 quando i < dim X.
Poich´e `e sempre vero che Hi(X, X\{p}, K) ∼= eHi−j−1(lk F, K) dove j = dim F (vedi [3],
teorema 34.3), segue dal criterio di Reisner 4.3.1 che la sfera `e un complesso di Cohen- Macaulay.
La propriet`a di Eulero segue dal fatto che, oltre a quanto gi`a detto, vale anche eHd−1(X, K) ∼=
K.
Corollario 6.2.3. (Teorema del limite superiore per sfere simpliciali) Sia 4 un complesso simpliciale con n vertici, di dimensione d−1, tale che |4| ∼= Sd−1(4 `e una sfera simpliciale). Allora fi(4) ≤ fi(C(n, d)) per ogni i = 1, · · · , d − 1, dove C(n, d) `e il politopo ciclico di n
Capitolo 7
Appendice
7.1
Dunce hat (il cappello del somaro)
Si chiama dunce hat lo spazio topologico ottenuto identificando i tre lati orientati AB, BC, AC di un triangolo ABC. Una triangolazione di questo spazio `e data dal seguente complesso (sull’insieme di vertici V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}):
{1, 2, 4}, {1, 2, 7}, {1, 2, 8}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 5, 6}, {1, 7, 8}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 3, 8}, {2, 4, 5},
{3, 4, 8}, {3, 6, 7}, {4, 5, 6}, {4, 6, 7}, {4, 7, 8}.
Teorema 7.1.1. Il complesso 4 ottenuto `e un complesso di Cohen-Macaulay ma non `e tassellabile.
L’f -vettore di 4 `e (8, 24, 17), da cui si ricava in particolare h3= χ(4) − 1 = 0.
Notiamo inoltre che ogni lato del complesso appartiene ad almeno due facce, o equivalen- temente che ogni faccia `e attaccata al complesso per tutto il bordo.
Dimostrazione del teorema. Mostriamo che il complesso 4 non `e tassellabile.
Supponiamo per assurdo che lo sia, e sia quindi F1, · · · , Fs una sua tassellazione. Il
complesso 40, ottenuto da 4 togliendo la faccia FS, `e chiaramente ancora tassellabile (con
tassellazione F1, · · · , Fs−1). Ricordiamo che un complesso tassellabile `e di Cohen-Macaulay, e
che per un complesso di Cohen-Macaulay vale hi ≥ 0 per ogni i: dunque h3(40) = 0. Poich´e
FS `e attaccata a 4 per tutti e tre i lati, χ(4) = χ(40) + 1 da cui h3(4) = h3(40) + 1 ≥ 1,
assurdo (sappiamo che h3(4) = 0).
Mostriamo ora che il complesso 4 `e di Cohen-Macaulay, sfruttando il criterio di Reisner. Bisogna mostrare che eHi(lk F, K) = 0 per ogni F , per ogni i < dim lk F . In particolare le
condizioni da verificare sono:
- per F = {v} dove v `e un vertice: eH0(lk{v}) = 0 (cio`e lk{v} `e connesso);
- per F = ∅, i = 0: eH0(4) = 0 (cio`e 4 `e connesso);
- per F = ∅, i = 1: eH1(4) = 0 (basta dimostrare che 4 `e semplicemente connesso).
`
E chiaro che il link di ciascuno dei vertici 4, 5, 6, 7, 8 `e connesso.
Si ha poi lk{2} = {(1, 7), (7, 3), (3, 5), (5, 4), (4, 1), (1, 8), (8, 3)} (connesso), lk{3} = {(1, 4), (4, 8), (8, 2), (2, 5), (5, 1), (1, 6), (6, 2)} (connesso) e
lk{1} = {(2, 7), (7, 8), (8, 2), (2, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 3)} (connesso). `
E chiaro anche che 4 `e connesso.
Verificare che eH1(4) = 0 `e pi`u delicato, ed `e una conseguenza della costruzione della
successione di Mayer-Vietoris. Infatti si pu`o scomporre 4 in due complessi, uno (41) formato
dalla faccia {4, 6, 7} e uno (42) generato dalle facce rimanenti. Si ha che eH1(41) = 0,
e
H1(42) = Z (perch´e 42`e retraibile ad una circonferenza), e l’intersezione tra i due complessi
`e il complesso {4, 6}, {6, 7}, {7, 4}. Inoltre eH1(41∩42) `e generato da un elemento (l’elemento
[1, 6] + [6, 7] + [7, 4]) che ha omologia nulla in 41 e che si ritrae su un generatore di eH142.
Quindi
e
H1(4) = ( eH1(41) × eH1(42))/ eH1(42) = 0.
7.2. UN COMPLESSO NON TASSELLABILE 57
7.2
Un complesso non tassellabile
Consideriamo il complesso simpliciale 4 con 2n vertici costruito cos`ı:
{1, 2, 3}, {2, 3, 4}, · · · , {2n − 2, 2n − 1, 2n}, {2n − 1, 2n, 1}, {2n, 1, 2}.
Il complesso ottenuto rappresenta la superficie laterale di un cilindro, la cui triangolazione `e accennata in figura:
Proposizione 7.2.1. Il complesso considerato non `e tassellabile.
Dimostrazione. Dimostriamolo per assurdo. Sia F1, · · · , Fs una tassellazione e sia 4i =
F1 ∪ · · · ∪ Fi per ogni i ≤ s. Consideriamo il complesso 4s−1, per il quale F1, · · · , Fs−1 `e
ancora una tassellazione. Siano Fi e Fj le due facce adiacenti a Fs, e supponiamo che sia
i > j. Allora Fi∩ 4i−1 contiene il vertice v = Fi∩ Fj, ma non contiene nessuna delle facce
Bibliografia
[1] D. Eisenbud, Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer 1995;
[2] H. Matsumura, Commutative Algebra, Mathematics Lecture Note Series, vol. 56, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1980;
[3] J. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984; [4] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001; [5] G. M. Ziegler, Lectures on polytopes, Springer-Verlag, 1995;
[6] H. Bruggesser, P.Mani, Shellable decomposition of cells and spheres, Math. Scand. 29, 1971, pagg. 197-205;
[7] G. Kalai, Many triangulated spheres, Discrete Comput Geom 3:1-14, 1988;
[8] R. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen-Macaulay rings, Stud. Appl. Math. 54, 1975, pagg. 135-142;
[9] H. Poincar´e, Sur la g´en´eralisation d’un th´eor`eme d’Euler relatif aux poly`edres, C.R. Hebd. Seances Acad. Sci. 117, 1893, pagg. 144-145.;
[10] C. McMullen, The maximum numbers of faces of a convex polytope, Mathematika 17, 1970, pagg. 179-184;
[11] Baer, Reinhold, Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group, Bull. Amer. Math. Soc. 46, 1940, pagg. 800-806;
[12] E. C. Zeeman, {On the dunce hat}, Topology 2, 1964, pagg. 341-358;