Sia T una teoria superstabile. Ricordiamo che SU -rango e U -rango in tal caso coincidono e sono sempre definiti come pure il rango continuo.
Teorema 7.6.1. (i) Sia T una teoria avente rango continuo 1 (R∞(x = x) = 1). Allora SU -rango e rango continuo coincidono (in particolare T ha SU -rango 1). (ii) Sia T una teoria avente SU -rango 1. Allora SU -rango e rango continuo coincidono (in particolare T ha rango continuo 1).
Dimostrazione. (i) SU ≤ R∞, quindi basta dimostrare che, dato comunque p ∈ S(A) 1-tipo, R∞(p) ≥ 1 allora, SU (p) ≥ 1 ma questo `e ovvio. Se R∞(p) ≥ 1 allora p `e non algebrico e quindi SU (p) ≥ 1.
(ii) Mostriamo che se T ha SU -rango uguale 1 allora ha anche rango continuo 1. Se per assurdo esistesse una formula ϕ(x, a) con R∞(ϕ(x, a)) ≥ 2, allora, per 7.5.3, esisterebbe p(x) ∈ S(a) con ϕ(x, a) ∈ p(x) e SU (p) ≥ 2 il che `e assurdo.
Definizione 7.6.2. Diciamo che una teoria T `e debolmente minimale, se T `e super- stabile di rango continuo 1 (o, equivalentemente di SU -rango 1). Una formula θ si dice
debolmente minimale se R∞(θ) = 1. Un insieme definibile X `e debolmente minimale se `e definito, in M, da una formula debolmente minimale.
Il prossimo risultato fornisce una utile caratterizzazione delle teorie debolmente minimali.
Teorema 7.6.3. Data una teoria completa T , le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. T `e superstabile di SU -rango 1;
2. dato un modello M di T e una sottostruttura elementare M0 ≺ M , ogni insieme
infinito e M -definibile X ⊆ M ha un punto in M0.
Dimostrazione. 1 ⇒ 2. Sia p(x) ∈ S(M ) un tipo non algebrico contenente la formula φX(x) che definisce X in M (x ∈ X ⇔ M |= φX(x)). Poich`e M0 ≺ M , pdM0 `e non
algebrico, quindi sia p che pdM0 hanno SU -rango 1. Allora p `e non-forking in M0,
questo equivale a dire che p `e finitamente soddisfacibile in M0 e quindi, in particolare,
φX(x) `e soddisfacibile in M0, cio`e X ha un punto in M0.
2 ⇒ 1. Mostriamo per prima cosa che T `e superstabile. Sia M |= T e sia M0 ≺ M
con |M0| = T , per 2, ogni insieme infinito M -definibile interseca M0 in un insieme
infinito. Questo fornisce un morfismo iniettivo dall’insieme degli 1-tipi su M non algebrici all’algebra di Boole dei sottoinsiemi infiniti di M0 modulo gli insiemi finiti.
Quindi otteniamo un limite sulla cardinalit`a dell’insieme degli 1-tipi su M in funzione della cardinalit`a di M0 e quindi di T , questo prova che T `e superstabile.
Ora mostriamo che T ha SU -rango 1. Supponiamo che p(x) sia un 1-tipo non algebrico definito su un modello M0 e sia q(x) un’estensione di p non algebrica. Allora,
per 2, q `e finitamente soddisfacibile, e quindi non-forking, su M0. Per l’arbitrariet`a di
p e q segue che ogni 1-tipo non algebrico di T ha SU -rango 1 e quindi T ha SU -rango. Esempio 7.6.4. T h(Z, +) `e superstabile di SU -rango 1. Infatti se M |= T h(Z, +) ogni insieme infinito X ⊆ M `e combinazione booleana di coset di sottogruppi ∅-definibili di M . Ma ogni sottogruppo ∅-definibile e non banale di M ha indice finito in M (poich`e M ≡ (Z, +)), quindi i loro coset incontrano ogni sottostruttura elementare M0 di M .
Segue che ogni X ⊆ M infinito e M -definibile contiene un coset di un sottogruppo di indice finito in M e quindi ha un punto in M0.
Lemma 7.6.5. Sia θ(x) una formula debolmante minimale con parametri in un in- sieme A e sia D l’insieme θ(M) definito da θ in M.
(ii) Sia φ(x, y) una L(A)-formula tale che |= φ(x, y) → θ(x). Esiste una L(A)-formula δ(y) tale che, ∀c ∈ M, |= δ(c) ⇔ φ(x, c)(M) `e infinito.
Dimostrazione. (i). Supponiamo che tp(b/B) sia forking su A. Sia p = tp(b/acl(A)) poich`e θ ∈ p, p `e algebrico oppure SU (p) = 1. Nel secondo caso ogni estensione forking di p `e algebrica. tp(b/B) `e, per ipotesi, un’estensione forking di p, quindi `e algebrica cio`e b ∈ acl(B). Il viceversa `e ovvio.
(ii). Sia M un modello contenente A, κ-saturo con κ ≥ |A|++ (2|T |)+. Poich`e θ `e debolmente minimale, esistono al pi`u 2|T | tipi completi su M non algebrici, contenenti θ {pi : i < 2|T |}. infatti, dato p ∈ S(A) contenente θ con R∞(p) = 1, per le propriet`a
del rango continuo nelle teorie superstabili, p ha al pi`u 2|T | estensioni di p su S(M ) aventi lo stesso rango, il che equivale a dire non algebriche. Ogni pi`e non-forking su A
e quindi definibile su acleq(A). Per ogni i < 2|T |, esiste una formula δi(y) su acleq(A)
tale che ∀c ∈ M, |= δi(c) ⇔ φ(x, c) ∈ pi.
Per ogni c ∈ M φ(x, c)(M) `e infinito se e solo se φ(x, c) non `e algebrica su M se e solo se non `e algebrica su M (M `e “abbastanza satura”) se e solo se φ(x, c) ∈ pi per
un qualche i < 2|T |. Per compattezza, esiste una disgiunzione finita δ(y) di formule δi(y), tale che, per ogni c ∈ M, |= δ(c) ⇔ φ(x, c)(M) `e infinito.
Corollario 7.6.6. sia D un insieme debolmente minimale definito su A, allora la chiusura algebrica model-teoretica in D ha la propriet`a dello scambio. Cio`e, dati a, b ∈ D e B ⊇ A, se a ∈ acl(B, b) e a /∈ acl(B) allora b ∈ acl(B, a).
Dimostrazione. Supponiamo per semplicit`a A = ∅. Sia a ∈ acl(B, b) e a /∈ acl(B). Per il primo punto del lemma 7.6.5, tp(a/Bb) `e forking su B. Per simmetria tp(b/Ba) `e forking su B e, sempre per il lemma 7.6.5, b ∈ acl(B, a).
Quindi le teorie debolmente minimali sono pregeometriche. Mostriamo che la dimensione geometrica coincide con l’SU -rango.
Proposizione 7.6.7. Sia T una teoria superstabile di SU -rango 1, sia M |= T , (b1, ..., bn) una n-upla di elementi di M e sia C ⊆ dom(M ), allora
SU (b1, ..., bn/C) = dim(b1, ..., bn/C).
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Se n = 1, SU (b1/C) = 0 se e solo se
b1 `e algebrico su C se e solo se dim(b1/C) = 0. Se n > 1, allora dim(b1, ..., bn/C) =
dim(b1/C) + dim(b2, ..., bn/b1C). Per ipotesi induttiva, si ha che:
quindi:
dim(b1, ..., bn/C) = dim(b1/C) + dim(b2, ..., bn/b1C) =
SU (b1/C) + SU (b2, ..., bn/b1C) = SU (b1, ..., bn/C).
Dove l’ultima ugualianza segue da 7.4.2.
Per concludere dimostriamo la definibilit`a dell’SU -rango e quindi che le teorie debolmente minimali sono geometriche.
Teorema 7.6.8. Sia T una teoria debolmente minimale. Allora l’SU -rango `e defini- bile.
Dimostrazione. Se T `e debolmente minimale allora il rango SU `e continuo (coincide con il rango continuo). Inoltre per il punto 2 del lemma 7.6.5, esiste una formula che esprime che un insieme definibile `e infinito (esattamente come nelle teorie di strutture fortemente minimali). La dimostrazione della definibilit`a dell’SU -rango nelle teorie de- bolmente minimali `e esattamente uguale a quella della definibilit`a del rango di Morley in strutture fortemente minimali (teorema 4.3.7).
Sia F = (Xb : b ∈ B) una famiglia definibile di sottoinsiemi di M n
definibili. Vogliamo provare che, per ogni k ∈ N l’insieme {b ∈ B : SU (Xb) = m} `e definibile.
Sia ψ(x1, ..., xn, y) la formula che definisce F in M. Proviamo, per induzione su n, che
SU (ψ(x1, . . . , xn, b) ≥ k `e una propriet`a elementare di b per ogni k ∈ N.
Se n = 1 allora k = 0, 1. SU (ψ(x1, . . . , xn, b)) ≥ 1 se e solo se ψ(x1, . . . , xn, b)(M n
) `
e infinito. Per il punto 2 del lemma 7.6.5, esiste una formula δ(y) tale che ∀b ∈ M, si ha |= δ(b) ⇔ ψ(x1, . . . , xn, b)(M
n
) `e infinito.
Supponiamo n > 1. SU (ψ(x1, . . . , xn, b) ≥ k se e solo se vale una delle seguenti
condizioni:
1. ∃a1 ∈ M tale che SU (ψ(a1, x2, ..., xn, b)) ≥ k.
2. ∃a2 ∈ M racl(b) tale che SU(ψ(a1, x2, ..., xn, b)) ≥ k − 1.
La condizione 1 `e, per ipotesi induttiva una propriet`a elementare di b. Supponi- amo che valga la condizione 2. Sempre per ipotesi induttiva, esiste θ(y, a1) tale che
SU (ψ(a1, x2, ..., xn, b)) ≥ k − 1 se e solo se θ(b, a1). La condizione a1∈ acl(b) equivale/
a ∃∞xθ(x1, b), che, sempre per il punto 2 del lemma 7.6.5, `e una propriet`a elementare
di b.
In maniera del tutto analoga si dimostra che, per ogni k ∈ N, SU (ψ(x1, . . . , xn, b)) ≤
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Ringrazio i miei genitori Giuseppe e Marina per il sostegno (materiale e non) che mi hanno dimostrato in tutti questi anni e per la smisurata fiducia riposta in me.
Ringrazio mio fratello Mariano per il suo entusiasmo, spesso maggiore anche del mio, per i risultati che ho ottenuto.
Un ringraziamento speciale va a mia sorella Margherita che mi ha accompagna- to, sostenuto e spesso accudito in quasi tutto il periodo della mia lunga carriera universitaria.
Ringrazio Roberto per l’infinita pazienza che ha sempre avuto con me.
Infine vorrei ringraziare il professor Alessandro Berarducci per avermi paziente- mente assistito e aiutato nella stesura di questo lavoro.