Il terzo intervento (29 3 2014)

4.6 Il terzo intervento (29 - 3 - 2014)

Nella terza lezione gli alunni presenti sono stati 22. L'ora è cominciata con un breve ripasso di quella precedente, ricordando come ci si muove sui gra ad al- bero e ripetendo ancora una volta il Teorema della Probabilità Condizionata. È partendo da quest'ultimo che ho dato una piccola dimostrazione della Formula di Bayes.

Questa formula è stata introdotta in maniera facilitata agli alunni; la generale prevede la conoscenza di certi simboli, per esempio quello di sommatoria, che gli studenti di seconda superiore ancora non conoscono. Essi invece hanno appreso durante l'anno precedente il concetto di partizione di un insieme, necessario per la comprensione del teorema, ma ho deciso di introdurre una forma semplicata dell'argomento per non creare troppa confusione.

Nella seconda parte della scheda teorica che ho consegnato alla classe ho presen- tato un esempio e ripassato insieme ai ragazzi il signicato di ogni singolo ramo, in modo di ottenere una migliore comprensione del grafo. Ho fatto notare ai ragazzi che l'elemento al denominatore si ottiene proprio applicando la formula che avevamo studiato nella lezione precedente.

L'ultimo esercizio nella scheda invece è stato svolto da un ragazzo alla lavagna. La scheda teorica è la seguente:

Il Teorema di Bayes

Riprendiamo il Teorema della probabilità condizionata: dati due eventi A e B con P (A), P (B) > 0, allora vale

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) , da cui ricaviamo

P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B). Scambiando gli eventi, lo stesso teorema dice che

P (B|A) = P (A ∩ B) P (A) ,

52 CAPITOLO 4. L'INTERVENTO IN 2BS da cui ricaviamo

P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A). Per la proprietà transitiva possiamo dire che vale

P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A) e ricavare le formule

P (A|B) = P (B|A) · P (A)

P (B) P (B|A) =

P (A|B) · P (B) P (A) .

Esempio: Abbiamo due dadi. Il primo non è truccato, mentre il secondo ha il numero 1 su 4 facce e il numero 3 sulle restanti 2. Lancio uno dei due dadi ed esce 3. Qual è la probabilità di aver lanciato il primo dado?

Individuiamo 2 eventi:

A=lancio del primo dado B=esce il numero 3.

Dobbiamo calcolare la probabilità P (A|B). Disegnamo il grafo ad albero della situazione:

e utilizziamo la formula:

P (A|B) = P (B|A) · P (A) P (B) = 1 6 · 1 2 1 6 · 1 2 + 1 2 · 2 6 = 1 3.

Esercizio: In una cittadina si nota che alle scuole elementari il 10% degli studenti porta gli occhiali, alle medie la percentuale sale al 25% mentre alle superiori

4.6. IL TERZO INTERVENTO (29 - 3 - 2014) 53 è del 40%. Qual è la probabilità che, scelto un alunno con gli occhiali, esso frequenti le scuole elementari?

Come nelle altre lezioni, gli ultimi 30 minuti sono stati dedicati alla risoluzione di tre esercizi in maniera individuale. Gli esercizi proposti sono i seguenti: Esercizio 1:

Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabili- tà 99% ma se va in discoteca la sera prima la sua probabilità di promozione si riduce al 50%. Deciderà di andare in discoteca se esce testa lanciando una moneta. Se egli supera l'esame qual è la probabilità che sia andato a ballare?

(Disegnare il grafo ad albero e riportare i calcoli.)

Chiamando E l'evento che lo stuente passi l'esame e D l'evento in cui sia andato in discoteca, il calcolo da compiere è:

P (D|E) = P (E|D) · P (D) P (E) = 1 2 · 1 2 1 2 · 1 2 + 1 2 · 99 100 = 50 149.

In questo esercizio si richiede semplicemente di applicare la formula vista nella spiegazione. L'abilità dei ragazzi viene vista prima nel disegnare in maniera adeguata il grafo, e in seguito nel riconoscere a quale ramo corrispondono le varie probabilità.

54 CAPITOLO 4. L'INTERVENTO IN 2BS

Circa il 70% degli alunni ha dato la risposta corretta. Le risposte sbagliate ve- dono principalmente la causa nell'applicazione della formula di Bayes. Si nota che per alcuni di loro non è ancora chiaro il concetto di probabilità condizio- nata; infatti quando calcolano la probabilità che ho chiamato P(E|D) alcuni la considerano già come il prodotto della stessa con la probabilità dell'evento D, ripetendo poi nel prodotto al numeratore il fattore P(D).

Un'altra dicoltà riscontrata da un paio di studenti è nella frase la sua probabi- lità di promozione si riduce al 50%. Gli alunni interpretano questa aermazione come l'azione di sottrarre alla probabilità iniziale (il 99%) il 50% di essa, at- tribuendo quindi la probabilità del 49% all'evento che il soggetto del problema passi l'esame dopo essere andato a ballare.

Esercizio 2:

L'urna A contiene 3 palline rosse e 2 palline azzurre mentre l'urna B ne contiene 2 rosse e 8 azzurre. Si lancia una moneta; se esce testa si estrae dall'urna A, se esce croce dall'urna B. Si determini la probabilità

• di estrarre una pallina rossa;

• che sia uscita testa, se è stata estratta una pallina rossa. (Disegnare il grafo ad albero e riportare i calcoli.)

4.6. IL TERZO INTERVENTO (29 - 3 - 2014) 55 Questo esercizio presenta due domande, la prima delle quali vuole facilitare la ricerca del risultato della seconda. La prima domanda è stata inserita anche per stimolare i ragazzi a non dimenticare le lezioni precedenti; la sua soluzione è: P (R) = 1 2 · 3 5+ 1 2· 2 10 = 2 5.

Gli alunni hanno così risposto:

Quindi l'esito è molto positivo. Osservo però che molti ragazzi hanno risolto la seconda richiesta prima di questa; probabilmente ciò è dovuto al fatto che ricordavano meglio la formula utile alla seconda domanda.

La soluzione di essa è: P (A|R) = 3 5 · 1 2 2 5 = 3 4. I risultati sono:

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I dati rispecchiano quelli dell'istogramma precedente. Esercizio 3:

Tra i partecipanti ad un concorso per giovani musicisti, il 50% suona il pianoforte, il 30% suona il violino ed il restante 20% suona l'oboe. Inoltre, partecipano per la prima volta al concorso il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% degli oboisti.

• Scelto a caso un partecipante, qual è la probabilità che sia al suo primo concorso?

• Sapendo che il partecipante è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un oboista?

(Disegnare il grafo ad albero e riportare i calcoli.)

Anche in questo caso le domande poste sono due, e la loro funzionalità è simile a quella dell'esercizio precedente. Considerando l'evento P=il partecipante è al suo primo concorso, si calcola

P (P ) = 1 2 · 1 2+ 3 10· 33 100 + 1 5 · 1 10 = 169 1000. Di seguito, le risposte degli studenti:

4.6. IL TERZO INTERVENTO (29 - 3 - 2014) 57

Osserviamo che in questa domanda più del 50% della classe ha dato una risposta errata; la maggior parte di queste risposte in realtà sono proprio mancanti. Ancora più alta è la percentuale delle risposte sbagliate nella seconda domanda:

In generale, i gra sono stati disegnati bene dalla maggior parte dei ragazzi; quindi hanno capito in che situazione si trovavano. Su ogni ramo la probabilità è stata assegnata con la percentuale. Durante l'applicazione della formula gli alunni però non si sono preoccupati di trasformare tale percentuale in frazione, ed hanno ottenuto risultati totalmente sbagliati.

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