5.4
Torricelli: la curva logaritmica
Il primo a trattare il logaritmo come funzione e a considerare la curva logaritmica come la conosciamo oggi `e stato Evangelista Torricelli (1608- 1647), che ha avuto il merito di aver conciliato aritmetica e geometria. Nella sua opera De hemihyperbole Logarithmica abbiamo una testimonianza del suo essersi ispirato a chi lo aveva preceduto:
Quella linea che io chiamavo mezza iperbola non `e affatto nuova invenzione, come credo che ella avr`a conosciuto subito, ma viene autorizzata dal nome di un grand’autore e da una invenzione grandissima
nelle matematiche. Parlo di Nepero e de’ logaritmi dell’una e dell’altra specie, la nascita de’ quali con le lor propriet`a e dimostrazioni si scorgono manifestamente in quella linea. In somma quei due moti, uno aritmetico e
l’altro geometrico che da Nepero non furon considerati se non separatamente l’uno dall’altro, da me sono stati contemplati unitamente, e
ne ho cavato una speculazione di geometria, dove che egli non andava rintracciando altro che una pratica aritmetica.
[Torricelli, De hemihyperbole Logarithmica]
Torricelli inizia enunciando le propriet`a qualitative della curva, fornendo la figura (5.6), e i teoremi principali da lui mostrati per poi costruire per punti la curva, cui d`a il nome di semiperbole spiegandone il motivo:
´
E una certa linea ABC che per la sua definizione possiede un grande e molto diffuso interesse in geometria, una curva che non ha termine da entrambe le parti e possiede un solo asintoto HD (da ci`o le abbiamo assegnato il nome di semiperbole) verso il quale sempre tende senza mai raggiungerlo; essa ha la parte convessa rivolta sempre dalla stessa parte, cio`e rivolta all’asintoto.
[Torricelli, De hemihyperbole Logarithmica]
La definizione della curva logaritmica, su cui si basa la costruzione della curva per punti, ´e data come segue:
Figura 5.6: Semiperbole - Torricelli
Se c’´e una linea ABC che tagli tutte le rette perpendicolari a DE ed equidistanti tra loro in segmenti che formano una progressione geometrica,
chiamo quella linea ABC semiperbole, visto che ha una sola retta per asintoto.
[Torricelli, De hemihyperbole Logarithmica]
La curva di Torricelli realizza dunque la corrispondenza tra progressioni aritmetiche e geometriche, che `e alla base della definizione neperiana di loga- ritmo. In termini moderni, Torricelli ha definito la curva x = logay, ovvero
y = ax.
La figura 5.7 `e invece spiegata come segue:
Si consideri una retta DE illimitata da ambo le parti su cui si prendono due punti D ed E arbitrari. Si traccino due segmenti perpendicolari DA ed EC.
Diviso in due parti uguali il segmento DE in F, si tracci la perpendicolare FB media (geometrica) tra DA ed EC e bisecate ancora le parti ottenute in G ed M, si traccino GH ed MN entrambi medi proporzionali tra i segmenti
5.4 Torricelli: la curva logaritmica 61
Figura 5.7: Costruzione per punti Semiperbole - Torricelli
adiacenti. E si proceda in questa suddivisione tante volte quanto si vuole; in seguito si tracci per i punti estremi trovati ALHBNC una curva che chiamiamo semiperbole per la somiglianza e perch´e ha un solo asintoto.
[Torricelli, De hemihyperbole Logarithmica]
Si tratta di un processo di bisezione del segmento arbitrario DE in cui ad ogni punto della suddivisione corrisponde un’ordinata che `e la media geometrica delle ordinate dei punti adiacenti nella successione, ovvero:
F B2 = DA ∗ EC,
M N2 = F B ∗ EC,
e cos`ı via. Il procedimento si pu`o iterare, considerando medie aritmetiche sull’asse orizzontale DE e medie geometriche sull’asse verticale, in modo che i segmenti orizzontali rappresentano i logaritmi di quelli verticali, ad esempio:
Dopo aver illustrato queste propriet`a generali, Torricelli mostra un risul- tato sui plurirettangoli circoscritti ad un arco di semiperbole, aventi basi coin- cidenti ed altezza in progressione geometrica (figura(5.8)), cosicch´e i vertici si trovano su un arco di semiperbole. Torricelli mostra come alla progressio- ne geometrica dei punti sull’asse delle ordinate corrisponde una progressione aritmetica di aree. Le aree dei plurirettangoli esprimono la successione dei logaritmi dei punti indicati in ordinata.
Figura 5.8: Semiperbole e plurirettangoli - Torricelli
Ad analoghe conclusioni giungiamo se consideriamo l’iperbole equilatera f (x) = x1 e la integriamo in un certo intervallo, calcolandone l’area sottesa: sappiamo infatti che integrando la funzione 1x si ottiene proprio la funzione logaritmo naturale. Vediamolo meglio con l’aiuto dell’immagine in figura (5.9).
Consideriamo alcuni punti appartenenti all’iperbole in modo che le loro ascis- se siano in progressione geometrica: il punto A di ascissa xA = 1 ha coor-
dinate A = (1, f (1)) = (1, 1), il punto B di ascissa xB = b ha coordinate
B = (xB,x1
B) = (b, b
−1)), il punto C di ascissa x
C = b2 sar`a C = (xC,x1
5.4 Torricelli: la curva logaritmica 63
Figura 5.9: Iperbole equilatera
(b2, b−2)), e cos´ı via D = (b3, b−3)), E = (b4, b−4)), etc.
I punti considerati hanno le ascisse in progressione geometrica di ragione b. I rettangoli rappresentati in figura hanno allora area data da:
Area1 = (xB− xA) ∗ yA= (b − 1) ∗ 1 = b − 1
Area2 = (xC − xB) ∗ yB = (b2− b) ∗ b−1 = b − 1
Area3 = (xD − xC) ∗ yC = (b3− b2) ∗ b−2 = b − 1
Area3 = (xE − xD) ∗ yD = (b4− b3) ∗ b−3 = b − 1
e cos`ı via se continuassimo con altri punti con ascisse in progressione aritme- tica.
Si osservi quindi che, poich´e le aree di questi rettangoli sono uguali, l’area del plurirettangolo che ha per base l’intervallo [1, bn] `e data da:
AreaT OT = n
X
k=1
Areak= n (b − 1)
Si ha quindi che alla progressione geometrica dei punti sull’asse delle ascisse (1, b, b2, b3, . . . ) corrisponde la progressione aritmetica delle aree. Le aree
dei plurirettangoli esprimono quindi la successione dei Logaritmi dei punti considerati in ascissa.
Conclusioni
Pur non essendo tra gli scopi principali di un corso di matematica trattare in modo sistematico il contesto storico in cui il concetto nasce e si sviluppa, sarebbe utile e stimolante per gli studenti inserire momenti in cui si affron- tano alcuni aspetti legati agli argomenti oggetto dello studio, affacciandosi in maniera eclettica alle altre discipline che sulla matematica si fondano, pur avendo a discapito di questa un carattere di osservabilit`a oggettiva.
Il percorso seguito durante il periodo di creazione del presente elaborato `e stato caratterizzato da una serie di domande a cui si `e cercato di dare delle risposte.
Dai vari tasselli ritrovati e integrati insieme si `e costruito un piccolo mosaico. Sono emersi diversi spunti che manifestano come questo argomento (logarit- mi, leggi esponenziali) si presti molto bene per proporre esempi di carattere applicativo, opportunamente scelti, che rappresentino una forma di quei pro- blemi cosiddetti ”contestualizzati” presenti da alcuni anni nelle prove scritte di Matematica degli Esami di Stato.
Bibliografia
[1] P. Govoni, Che cos’`e la storia della scienza, Roma, Carocci editore, 2015
[2] U. Besson, Didattica della fisica, Roma, Carocci editore, 2015
[3] M. Boas, Il Rinascimento Scientifico 1450-1630, Milano, Feltrinelli, 1981
[4] J.L.E. Dreyer, Storia dell’astronomia da Talete a Keplero, Milano, Feltrinelli, 1970
[5] E. Bellone, Caos e Armonia, Torino, UTET, 2004
[6] G.Ruffo, Lezioni di Fisica, Bologna, Zanichelli, 2006
[7] J.S. Walker, Fisica: termologia, onde, relativit´a, Bologna, Zanichelli, 2004
[8] A.Caforio, A.Ferilli, Le leggi della fisica, Firenze, Le Monnier, 2005
[9] R. Rosso, Appunti sulla storia dei logaritmi - http://www- dimat.unipv.it/ rosso/logaritmi.pdf
[10] F. Zavalloni Perch´e si disimpara l’arte di far domande, 2009
[11] C. Bonfanti Una geometria della visione del mondo, 2014, https://issuu.com/scuolasteiner/docs/201405quadernone14
[12] G. Cellai, S. Secchi, Fondamenti di acustica, http://web.taed.unifi.it/fisicatecnica/Secchi/documenti/acustica.pdf
[13] E. Latini Esponenziali, 2016, http://campus.unibo.it/260024/1/esponenziali.pdf
[15] AA.VV. I logaritmi in astronomia, Rivista Nuovo Orione, 1999, http://www.galassiere.it/logaritmi.htm
[16] P. Panunzi, Come ridurre le distanze, https://www.astronomia.com/2012/10/08/come-
ridurre-le-distanze-astronomiche/e astronomiche, 2012