Oltre alla notazione breve modale adottata da Sevenster e riportata nella sezione precedente, potrebbe risultare interessante e utile alla comprensione delle formule IFML un secondo metodo di scrittura. Mentre le formule brevi generate dal precedente metodo riproducono la rappresentazione dell’indi- pendenza all’interno del paradigma modale proposizionale, il metodo che stiamo per presentare ha l’intento di produrre, invece, formule predicative tradotte da IFML in cui siano rappresentati in modo compatto i quantifica- tori con guardie. Invece di tornare alla scrittura modale dopo aver applicato i dispositivi per le indipendenze alla traduzione di ML, si riuniscono, mante- nendo un linguaggio del primo ordine, le guardie all’interno di quantificatori appositamente costruiti; tali quantificatori sono formati in modo da poter esprimere anche le indipendenze qualora fosse necessario. Una elaborazione di questo tipo permette di avere una definizione classica di sottoformula e l’unione di tutti gli elementi anomali del linguaggio di IFML nei quantifica- tori. Per poter rappresentare in questo modo le formule IFML `e necessario introdurre un nuovo genere di quantificatori, li chiameremo quantificatori indipendenti con guardia (QIG ). Ci sono due QIG: uno esistenziale e uno universale; questi corrispondono all’operatore della possibilit`a ◇ e a quello della necessit`a ◻. Un quantificatore indipendente con guardia esistenziale `e
⟨x ∶ y/W ⟩R
in cui x e y sono variabili individuali, R una relazione e W un insieme di variabili e indici. Un quantificatore indipendente con guardia universale, invece, `e
[x ∶ y/W ]R
in cui x e y sono sempre variabili individuali, R una relazione e W un insieme di variabili e indici. Per fare un esempio, la scrittura ⟨xn+1∶xn/W ⟩Rk ψ equi-
vale alla formula IFML φ = (∃xn+1/W )(Rk(xn, xn+1))se ψ `e una sottoformula
Intuitivamente ⟨xn+1∶xn/W ⟩Rk `e un quantificatore esistenziale indipendente
dalle variabili e dagli indici in W e con un atomo Rk(xn, xn+1) per guardia.
Perch´e questa scrittura sia completamente definita riguardo al suo uso biso- gna presentare una nuova traduzione da ML alla logica che usa i quantificatori indipendenti con guardia e una semantica per questa traduzione:
Txn(Pl) =Pl(xn)) Txn(¬pl) = ¬Pl(xn) Txn(ψ ∨ ψ ′ ) =Txn(ψ) ∨ Txn(ψ ′ ) Txn(ψ ∧ ψ ′ ) =Txn(ψ) ∧ Txn(ψ′) Txn(⋁ i∈Iψ) = ⋁i∈ITxn(ψ) Txn(⋀ i∈Iψ) = ⋀i∈ITxn(ψ) Txn( ⟨km⟩ψ) = ⟨xn+1∶xn/∅⟩Rm Txn+1(ψ) Txn( [km]ψ) = [xn+1∶xn/∅]Rm Txn+1(ψ) Txn( ⟨i⟩ ψ) = ⟨xn+1∶xn/∅⟩Ri Txn+1(ψ) Txn( [i] ψ) = [xn+1∶xn/∅]Ri Txn+1(ψ) `
E evidente che la traduzione appena definita corrisponde alla traduzione standard che Sevenster fornisce per IFML7. Gli insiemi di indipendenze sono,
come prevedibile, vuoti; l’inserimento delle variabili e degli indici negli insiemi segue un adattamento delle regole gi`a indicate per IFML:
Sia φ una formula ML tradotta tramite Tx0
1. Sostituire ogni operatore logico O in φ con (O/∅).
2. Se (O/W ) `e nell’ambito di (⋁i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
3. Se (O/W ) `e nell’ambito di (⋀i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
4. Se (O/W ) `e nell’ambito di ⟨x ∶ y/V ⟩R, `e possibile aggiungere x a W.
5. Se (O/W ) `e nell’ambito di [x ∶ y/V ]R, `e possibile aggiungere x a W.
6. Se ⟨w ∶ z/W ⟩R′ `e nell’ambito di (⋁i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
7. Se ⟨w ∶ z/W ⟩R′ `e nell’ambito di (⋀i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
8. Se ⟨w ∶ z/W ⟩R′ `e nell’ambito di ⟨x ∶ y/V ⟩R, `e possibile aggiungere x a
W.
9. Se ⟨w ∶ z/W ⟩R′ `e nell’ambito di [x ∶ y/V ]R, `e possibile aggiungere x a
W.
10. Se [w ∶ z/W ]R′ `e nell’ambito di (⋁i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
11. Se [w ∶ z/W ]R′ `e nell’ambito di (⋀i∈I/V ), `e possibile aggiungere i a W.
12. Se [w ∶ z/W ]R′ `e nell’ambito di ⟨x ∶ y/V ⟩R, `e possibile aggiungere x a
W.
13. Se [w ∶ z/W ]R′ `e nell’ambito di [x ∶ y/V ]R, `e possibile aggiungere x a
W.
in cui R `e una relazione o una funzione che mappa le modalit`a nelle relazioni e R′ `e la stessa o un’altra relazione o funzione del medesimo tipo.
Sia LQIG l’insieme delle formule tradotte da ML usando la traduzione T a cui sono state applicate le indipendenze seguendo le regole appena date. La semantica di una formula LQIG `e la seguente:
Sia φ ∈ LQIG; siano ψ e ψ′ due occorrenze di sottoformule di φ con variabile libera xn. Sia M una struttura e X una squadra di assegnamenti per M tale
che tutte le variabili nel dominio di X siano enumerate in x0, ..., xn; per ogni
funzione g e argomento z sia g−1(z) la controimmagine di {z}, allora M, X ⊧ Pl(xn)sse s(xn) `e in PlM per ogni s ∈ X
M, X ⊧ ¬Pl(xn)sse s(xn) non `e in PlM per ogni s ∈ X
M, X ⊧ ψ(∨/W )ψ′sse M, f−1(1) ⊧ ψ e M, f−1(2) ⊧ ψ′ per qualche f ∶ X → {1, 2} che sia W-uniforme
M, X ⊧ ψ(∧/W )ψ′sse M, X ⊧ ψ e M, X ⊧ ψ′
M, X ⊧ (⋁
i∈I/W )ψ sse M, X[i, f ] ⊧ ψ per qualche f ∶ X → I che sia
W-uniforme M, X ⊧ (⋀
i∈I/W )ψ sse M, X[i, I] ⊧ ψ
M, X ⊧ ⟨xn+1∶xn/W ⟩Rm θ sse M, X[xn+1, f ] ⊧ θ per qualche
RMm-funzione f ∶ X → M che sia W-uniforme
M, X ⊧ ⟨xn+1∶xn/W ⟩Ri θ sse M, X[xn+1, f ] ⊧ θ per qualche
RMi -funzione f ∶ X → M che sia W-uniforme
M, X ⊧ [xn+1∶xn/W ]Rm θ sse M, X[xn+1, M ]RMm ⊧θ
M, X ⊧ [xn+1∶xn/W ]Ri θ sse M, X[xn+1, M ]RM
i ⊧θ
Confrontando due percorsi analoghi dalla traduzione alla valutazione, uno per una formula IFML e uno per una formula con QIG, `e immediato nota- re che sono completamente equivalenti. Un pregio dei quantificatori QIG `e certamente la semplificazione del concetto di sottoformula e del suo uso per
la definizione degli operatori. Per IFML si`e dovuto dare una definizione di sottoformula di una formula tradotta da ML, questo per poter distinguere gli operatori logici veri e propri da quelli contenuti nelle guardie; adottando i quantificatori indipendenti con guardia questo non `e necessario e la scom- posizione in sottoformule segue i criteri classici relativi ai quantificatori e agli operatori. La definizione di sottoformula di una fbf LQIG `e, infatti, la seguente: Una sottoformula di una formula LQIG `e un qualsiasi elemento dell’insieme subf (φ) per una qualche fbf φ LQIG.
Siano φ e φ′ fbf o sottoformule LQIG. La funzione subf `e definita cos`ı: subf (P (x)) = {P (x)}
subf (¬φ) = {¬φ} ⋃ subf (φ)
subf (φ(∧/W )φ′) = {φ(∧/W )φ′} ⋃ subf (φ)
subf (φ(∨/W )φ′) = {φ(∨/W )φ′} ⋃ subf (φ)
subf ((⋀
i∈I/W )φ) = {(⋀i∈I/W )φ} ⋃ subf (φ)
subf ((⋁
i∈I/W )φ) = {(⋁i∈I/W )φ} ⋃ subf (φ)
subf (⟨y ∶ x/W ⟩Rm φ) = {⟨y ∶ x/W ⟩Rm φ} ⋃ subf (φ)
subf ([y ∶ x/W ]Rm φ) = {[y ∶ x/W ]Rm φ} ⋃ subf (φ)
subf (⟨y ∶ x/W ⟩Ri φ) = {⟨y ∶ x/W ⟩Rm φ} ⋃ subf (φ)
subf ([y ∶ x/W ]Ri φ) = {[y ∶ x/W ]Ri φ} ⋃ subf (φ)
con x, y variabili, W insieme di variabili e indici e P predicato.
Credo che il principale vantaggio delle formule di LQIG sia l’unione di chia- rezza e semplicit`a di trattamento. La notazione modale paga il guadagno in
brevit`a e leggibilit`a in termini di uso delle formule; infatti esse sono abbre- viazioni, non formule ben formate, e presentano grosse difficolt`a rispetto alla formulazione di una sintassi propria a causa delle indicazioni delle occorrenze dei connettivi modali. Il possesso da parte delle formule LQIG di definizio- ni proprie per le sottoformule e per la semantica esclude le complicazioni associate alla trascrizione da fbf ad abbreviazione.
`
E interessante considerare, inoltre, una versione dei quantificatori indi- pendenti con guardia in cui si rappresentino le dipendenze di essi piuttosto che le loro indipendenze; questo cambiamento di prospettiva li renderebbe quantificatori diramati modali rappresentati su una dimensione. In questo testo si `e scelto, a riguardo, di rimanere fedeli ai metodi propri delle logiche independence friendly per mantenere un legame della rappresentazione che aiutasse il paragone tra i QIG e i linguaggi qui analizzati. Una scelta che condivide la stessa motivazione riguarda le indicazioni di indipendenza dei connettivi e dei quantificatori per modalit`a: anch’esse sono rimaste invariate rispetto alla logica di Sevenster per motivi di esposizione.