Consideriamo una multirisoluzione M = ({Vn}, ϕ), e la decomposizione L
kWk di L2(R) da essa indotta: questa ultima, ci consente di approssimare una funzione f ∈ L2(R) con elementi di qualche Wk, proiettando la funzione su questo sottospazio. Se richiediamo che il quoziente Vn = Vn−1 ⊕ Wn−1
sia un quoziente di spazi di Hilbert, ne viene che Vn−1⊥Wn−1, in particolare V0⊥W0, cio`e Wnsono i complementi ortogonali di Vn in Vn+1: in questo modo tutti i Wn sono mutuamente ortogonali fra loro, e, considerando le proiezioni ortogonali PVn : L2(R) → Vn e PWn : L2(R) → Wn, possiamo scrivere, quale che sia f ∈ L2(R), la sua espansione ortogonale
f =X
n
PWnf
Se ψ `e l’ondicella indotta dalla multirisoluzione M, a questo punto sappiamo che:
(1) ϕn,m(x) = 2n/2ϕ(2nx − m) descrivono, al variare di n, m ∈ Z, una base ortonormale di Vn.
(2) ψn,m(x) = 2n/2ψ(2nx − m) descrivono, al variare di n, m ∈ Z, una base ortonormale di Wn.
Queste due condizioni le abbiamo dimostrate nel caso n = 0, ma da tutta la discussione dei paragrafi precedenti dovrebbe essere chiara la loro validit`a nel caso n ∈ Z, e possiamo quindi scrivere
PVnf =X
m
hf, ϕn,miϕn,m, PWnf =X
m
hf, ψn,miψn,m
Poich´e si tratta di proiezioni ortogonali, possiamo interpretare queste funzioni come le migliori approssimazioni di f con elementi di Vn e di Wn: in parti-colare, combinando con l’espansione precedente col fatto che L2(R) `e somma diretta dei Wn, troviamo
f =X
n
X
m
hf, ψn,miψn,m
Questa decomposizione `e l’analogo discreto della trasformata delle ondicelle che abbiamo discusso all’inizio di queste note: l’analogia `e la stessa che inter-corre fra serie ed integrale di Fourier. Si noti tuttavia che qui abbiamo due indici nella serie: i coefficienti di Fourier hf, ϕn,mi al variare di m ∈ Z possono vedersi come una descrizione del segnale f al livello di granuralit`a espresso dalla griglia associata al sottospazio Vn.
Poich´e possiamo scrivere un elemento f ∈ Vn = Vn−1⊕ Wn−1 in modo unico come:
f = X
m
αn,mϕn,m = an−1+ dn−1
dove an−1 ∈ Vn−1 (l’approssimazione) e dn−1 ∈ Wn−1 (il dettaglio) sono, a loro volta, decomponibili come
an−1 =X
m
αn−1,mϕn−1,m, dn−1 =X
m
βn−1,mψn−1,m
per il corollario5.8 abbiamo quindi
αn−1,m= hf, ϕn−1,mi =√2X
k
hk−2mhf, ϕn,ki =√2X
k
hk−2mαn,k
In modo del tutto analogo
βn−1,m =√
2X
k
gk−2mαn,k
dove gk sono i coefficienti di Fourier della funzione G(ξ) = eiξH(ξ) che figura nella definizione dell’ondicella di Mallat ψ (cfr. lemma 6.3): dalla dimostra-zione del lemma segue infatti che i coefficienti di Fourier di G e quelli di H sono legati dalla relazione gk= (−1)khk.
Svolgiamo due osservazioni importanti: la prima `e che queste formule ri-corsive si possono interpretare in termini di convoluzioni di serie numeriche; precisamente, αn−1,m risulta la convoluzione della serie P
kαk con la serie √
2P
kh2k, cio`e della serie ottenuta daP
khk selezionando gli indici pari. Ne segue che le approssimazioni an−1 contengono la met`a dell’informazione delle approssimazioni an, (l’altra `e contenuta nel dettaglio dn−1).
Inoltre queste equazioni ricorsive possono essere combinate iterativamente per scrivere un algoritmo di trasformata veloce delle ondicelle, che consente di passare dalla rappresentazione di f come elemento di Vn ad elemento di Vn−1⊕ Wn−1. La corrispondente trasformata inversa, che consente di passare dai coefficienti rispetto alla decomposizione Vn−1⊕Wn−1a quelli rispetto a Vn si ottiene usando il corollario5.8alla formula di raffinamento e la sua versione
per ψ, che segue dalla relazione bψ(2ξ) = G(ξ)ϕ(ξ):b X m αn,mϕn,m=X m αn−1,mϕn−1,m+X m βn−1,mψn−1,m =X m αn−1,m √ 2X k hk−2mϕn,k ! +X m βn−1,m √ 2X k gk−2mϕn,k ! =√ 2X k (hk−2mαn−1,m+ g2m−kβn−1,m) ϕn,k
Riassumiamo in un teorema le formule che abbiamo dimostrato:
Teorema 8.1 Se an =P mαn,mϕn,m, e dn=P mβn,mϕn,m: (1) αn−1,m =√ 2X k hk−2mαn,k. (2) βn−1,m=√ 2X k gk−2mαn,k. (3) αn,m=√ 2X k hm−2kαn−1,k+√ 2X k gm−2kβn−1,k
Questi algoritmi di decomposizione di αn,min termini di approssimazioni e dettagli meno fini, e di ricostruzioni di αn,ma partire dalle sue approssimazioni e dettagli si schematizzano come segue:
dn−1 dn−2 ... d1 d0 an <<z z z z z z z z z //an−1 ;;w w w w w w w w w //an−2 ... AA //a1 >>~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ //a0
Figura 2: Algoritmo di trasformazione delle ondicelle diretto
Si noti che, nota l’approssimazione ak ed i dettagli dn−1, ..., dk `e possibile ricostruire an in modo completo: cio`e, l’algoritmo diretto, ad ogni passaggio da n a n − 1, preserva tutta l’informazione del segnale, distribuendola solo in modo diverso fra la componente di approssimazione e quella di dettaglio. Per questo motivo l’algoritmo inverso `e capace di ricostruire completamente il segnale di partenza.
d0 @ @ @ @ @ @ @ @ d1 @ @ @ @ @ @ @ @ ... A A A A A A A A A A dn−1 ""D D D D D D D D D a0 //a1 //a2 ... //an−1 //an
Figura 3: Algoritmo di trasformazione delle ondicelle inverso
Evidentemente, ai fini delle applicazioni pratiche, emerge in modo chiaro da questi algoritmi quanto siano utili i filtri H e G con solo un numero finito di coefficienti non nulli, e quindi quanto, ad esempio, la costruzione di Daubechies sia fondamentale per le applicazioni pratiche.
Esempio 8.2 Consideriamo l’ondicella di Haar e la successione h che le `e associata: dato che gli unici hk non nulli sono h0 = h1 = 1/2 (da cui, essendo gm = (−1)mh−m, g−1 = g0 = 1/2), troviamo che, dato un segnale f rappre-sentato da N valori (an,1, ..., an,N), possiamo decomporlo in approssimazioni (an−1,1, ..., an−1,N/2) e dettagli (dn−1,1, ..., dn−1,N/2) come an−1,m= √ 2 2 (an,2m+ an,2m+1) , dn−1,m= √ 2 2 (an,2m− an,2m−1) Diamo qualche interpretazione di quanto detto nel linguaggio della teoria dei segnali.
Definizione 8.3
(1) Un filtro `e una successione bilatera18 h ∈ ℓ2(Z) la cui serie di Fourier associata
bh(ξ) =X
k∈Z
hke−ikξ
ha come somma una funzione limitata H(ξ) (oltre che periodica, come ovvio).
(2) Un filtro con risposta finita (FRF) `e un filtro in cui solo un numero finito di coefficienti hn`e non nullo: la lunghezza di un FRF `e la distanza k1− k0 fra gli indici tali che hk= 0 se k < k1 o se k > k2.
(3) Un filtro con risposta infinita (FRI) `e un filtro in cui infiniti coefficienti hn sono diversi da zero.
Di solito, nella letteratura ingegneristica, i coefficienti hn della successione sono denotati con h[n], un retaggio dei tempi in cui i sistemi di scrittura com-puterizzata non consentivano indici e pedici19 che, per comprensibili motivi di tradizione, sopravvive oggid`ı.
Abbiamo gi`a incontrato un esempio di filtro, e precisamente il filtro passa-basso H(ξ) associato ad una multirisoluzione: come abbiamo visto, nel caso delle ondicelle di Daubechies, questo filtro `e con risposta finita. Interpreta-to come funzione somma della corrispondente serie trigonometrica, un FRF corrisponde ad un polinomio trigonometrico.
Si noti che una condizione sufficiente affich´e un filtro sia FRF `e che h ∈ ℓ1(Z): in questo caso la somma della serie bh `e una funzione continua: questo `e, di nuovo, il caso delle ondicelle alla Daubechies, mentre l’ondicella di Shannon ha un filtro H con infiniti coefficienti diversi da zero, quelli di indici dispari (cfr. esempio 6.6).
Poich´e immaginiamo i nostri filtri come coefficienti di serie trigonometri-che, la moltiplicazione delle serie corrisponde alla convoluzione delle succes-sioni: in particolare, applicare un filtro h ad una successione s ∈ ℓ2 vuol dire calcolarne la convoluzione, i cui coefficienti sono
(h ∗ s)n=X
k∈Z
hn−ksk
Come sappiamo dalla teoria di Fourier (cfr. e.g. [7], [1, §5.8], [2, Proposizio-ne 7.3.4]), la trasformata della convoluzioProposizio-ne `e il prodotto delle trasformate: [
h ∗ s = bh · bs. Dato che bh `e una funzione limitata, abbiamo il
Teorema 8.4 Fissato un filtro h ∈ ℓ2(Z), la funzione s 7→ h∗s `e un operatore lineare e limitato sullo spazio ℓ2(Z).
Inoltre, la convoluzione di successioni possiede una identit`a, cio`e il filtro δ0 definito come la successione il cui unico coefficiente non nullo `e lo 0-esimo, che vale 1: allora `e ovvio che δ0∗ s = s per ogni successione s ∈ ℓ2(Z).
Consideriamo ora il filtro passa-basso H(ξ) indotto da una multirisoluzio-ne ({Vn}, ϕ): in realt`a, in teoria dei segnali, si usa sovente una normalizzazio-ne diversa da quella che abbiamo adottato in queste note, definormalizzazio-nendo il filtro passa-basso e il filtro passa-alto come
m0(ξ) = √1
2H(ξ), m1(ξ) = m0(ξ + π) = 1 √
2H(ξ + π)
In questo modo, la relazione di Smith–Barnwell5.11si traduce nelle equazioni
19Come nel classico libro di David Gries Compiler Construction for Digital Computers, scritto con mezzi informatici nel lontano 1971.
(1) |m0(ξ)|2+ |m1(ξ)|2 = 1
(2) m0(ξ)m1(ξ) + m0(ξ + π)m1(ξ + π) = 0
che possiamo esprimere anche sostenendo che la matrice
m0(ξ) m1(ξ) m0(ξ + π) m1(ξ + π)
`e unitaria (per quasi ogni ξ ∈ [−π, π]).
Notiamo che la relazione di ortogonalit`a fra i coefficienti del filtro H mo-strata a pagina 24 si esprime concisamente in termini della successione dei suoi coefficienti come h ∗ hm = δ0m: essa equivale alla (1) appena scritta; inoltre la relazione dei coefficienti hm con i gm (che equivale alla relazione |m0(ξ + π)|2 = |m1(ξ)|2 per filtri m0 e m1) si esprime come
h ∗ hm = (−1)m(g ∗ g)m
mentre la relazione (2) precedente per i filtri m0 e m1 equivale alla (h ∗ g)2m= 0
Le verifiche di queste affermazioni sono essenzialmente gi`a state fatte nelle pa-gine precedenti, qui le abbiamo formulate semplicemente in questo linguaggio pi`u compatto dei filtri.
Nota: questi riferimenti si limitano ai testi da me consultati nella reda-zione di queste note, e non costituiscono in alcun modo una bibliogra-fia sull’argomento. Ho privilegiato ove possibile articoli e libri reperibili su Internet.
[1] G. Bachman, L. Narici, E. Beckenstein, Fourier and Wavelet Analysis, Springer, 2000.
[2] P. Caressa, Metodi matematici della meccanica quantistica, e-book alla URL: http://www.caressa.it/
[3] E. Hern´andez, Ond´ıculas y tecnolog´ıa, Bol. de la Soc. Esp. de Mat. Apl 25, (2003), 39–54.
[4] G. Grubb, Notes on Wavelets, preprint, Matematisk Institut, Københavns Universitet, 2001.
[5] B. Javert, W. Sweldens, An Overview of Wavelet Based Multiresolution Analyses, preprint.
[6] P.E.T. Jorgensen, Analysis and probabiliy, Wavelets, Signals, Fractals, Springer, 2006.
[7] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover, 1976. [8] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999. [9] Y. Meyer, Wavelets and Operators, I, Oxford UP, 1992.
[10] Y. Meyer, Le traitement du signal et l’analyse math´ematique, Ann. Inst. Fourier, 50 (2000), 593–632.
[11] C. Shannon, Communication in the Presence of Noise, Proc. of the IRE 37 (1949), 10–21, reprinted in Proceedings of the IEEE, Vol. 86, (1998), 447–457.
[12] G. Strang, Wavelet Transform versus Fourier Transform, Bull. A.M.S., 28 (1993), 288–305.
analisi (di) multirisoluzione, 17 applicare un filtro,41 atomi tempo-frequenza, 9 base di Riesz, 17 box spline, 23 cappello francese, 13 cappello messicano, 13 coefficienti di Fourier, 2,5 condizione di Smith–Barnwell, 24 convoluzione, 4 criterio di ammissibilit`a, 15 equazione di dilatazione, 21 equazione di raffinamento, 21 filtro, 40
filtro con risposta finita, 40
filtro con risposta infinita, 40
filtro passa-alto, 41
filtro passa-basso, 22, 41
formula di inversione di Fourier, 3
formula di Parseval, 5
formula di Plancherel, 5
funzione di campionamento di Shan-non, 10 funzione di scala, 17 funzione indicatore, 10 lunghezza, 40 multirisoluzione, 17 multirisoluzione di Riesz, 18 ondicella, 13 ondicella di Daubechies, 35 ondicella di Haar, 30 ondicella di Shannon,30 ondicella madre,14
ondicella rispetto alla multirisolu-zione, 25 ondicelle figlie, 14 serie di Fourier, 2 teorema di B´ezout, 33 teorema di Calder´on–Grossmann– Morlet, 14 teorema di campionamento, 10 teorema di Heisenberg–Weyl, 7 teorema di Paley–Wiener, 10
trasformata delle ondicelle, 14
trasformata di Fourier veloce, 6
trasformata veloce delle ondicelle,
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