Un breve ripasso

Si può affermare che una successione di (o in) un insieme è una funzione avente come

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Grafico 3

sbagliato uso del teorema di de l'Hôpital

blocco di fronte a forma indeterminata

solo un numero dà due risultati

si è dimenticato una parte

dominio l’insieme dei numeri naturali (eventualmente privato di un insieme finito di elementi) e come codominio l’insieme . Spesso le successioni sono rappresentate con le immagini dei primi elementi, ma queste rappresentazioni contrastano con la presentazione di successioni come funzioni, confondendo la successione (funzione) con l’insieme immagine della funzione stessa. La maggiore difficoltà che forse suggerisce di utilizzare questo tipo di linguaggio è il conflitto tra infinito in atto e in potenza, di cui si è già parlato in precedenza. Una successione può essere convergente (nel caso in cui abbia un limite finito), divergente (se ha limite infinito) o indeterminata. Se ad esempio si considerano le due successioni di reali e

si può osservare che:

e

. Cosa significano queste due scritture? Nel

primo caso si può illustrare il significato affermando che, fissato un numero , da un certo punto in poi i termini della successione diventano maggiori di ; nel secondo caso si può dire che i termini della successione diventano sempre più vicini ad 1, ossia, fissato un numero , da un certo punto in poi i termini della successione differiscono da 1 meno di . Questa situazione “da un certo punto in poi” è la chiave di volta per comprendere come l’infinito in atto sia indispensabile per il concetto di limite, anche se la presentazione a parole cerca di ricondurre il problema all’infinito in potenza: si consideri la successione

che ha limite 1, si sostituiscano i suoi primi 5

termini con quelli dell’altra successione, costruendo così una nuova successione, il fatto che ci interessa “da un certo punto in poi” la trasformazione non altera il limite; ciò succede anche se si sostituiscono i primi termini. Per il limite ciò che interessa è la “coda” della successione, che si riesce ad afferrare solo considerando la successione come funzione e quindi come insieme di infinite coppie ordinate, insieme da considerarsi infinito in atto.

Particolari successioni sono le progressioni geometriche, successioni di numeri reali positivi tali che il rapporto fra un termine e il suo precedente è costante, tale rapporto costante viene detto ragione della progressione geometrica; nulla, se non una prassi consolidata, vieta di considerare anche progressioni con termini negativi (con ragione positiva e primo termine negativo) o a segni alternati (con ragione negativa). I termini della più semplice progressione geometrica di ragione sono pertanto:

I primi termini di una progressione geometrica di ragione e primo termine sono invece:

Le progressioni geometriche sono, come è noto, divergenti se la ragione è maggiore di 1, infinitesime (tendenti a 0) se la ragione è strettamente compresa fra -1 e 1, indeterminate se la ragione è minore o uguale a -153.

Consideriamo ora per comodità solo progressioni di ragione positiva. La somma dei primi termini di una semplice progressione geometrica non è altro che

_{; se si ha immediatamente che , mentre se}

ed è positivo, con alcuni semplici passaggi, si ottiene:

Analogamente la somma dei primi termini di una progressione di primo termine e ragione è:

La successione di termine generale è detta successione delle somme parziali o serie geometrica. Si tratta di una successione crescente, che risulta divergente nel caso , mentre risulta convergente se . In questo caso il limite, come si intuisce considerando che il termine tende a 0, è:

Tale limite viene anche detto somma della serie e indicato con il simbolo (scrittura compatta di quello che molti testi (impropriamente) indicano come la “somma” di infiniti addendi)54

. Una delle difficoltà messe in evidenza in tali contesti si

53

Non si considera il caso di ragione uguale a 1 in quanto la progressione si riduce ad una successione costante.

54

Il concetto di serie risulta di fondamentale importanza nella gestione concettuale di numerose situazioni problematiche. Nonostante questo esiste un non univoco riconoscimento del concetto, a causa della complessità e delle diverse sfaccettature del concetto stesso. Alcuni utilizzano il termine serie per indicare in termini formali una somma di infiniti termini. Tale proposta presenta diverse incongruenze, ad esempio non è ben chiaro come si debba effettuare tale somma o a quale operazione di addizione faccia riferimento. Tutti i problemi sono riconducibili al fatto che ci si muove in un ambito infinito. Un modo per ovviare al problema è ricondurci ad un processo di addizione al finito, un po’ come abbiamo inteso in questa stessa breve trattazione. La definizione di serie come successione ha alcune particolarità: ad esempio i termini della serie sono effettive somme, la serie come oggetto matematico ha un suo interesse indipendente da condizioni di convergenza, divergenza o di indeterminatezza della successione delle

riferisce alla naturale percezione che un processo potenzialmente infinito non possa avere un risultato finito. Nel caso di una serie geometrica di ragione compresa fra 0 e 1 si realizza quindi una situazione del tutto anti-intuitiva: “sommando” infiniti addendi il “risultato” è un numero.

Le progressioni geometriche possono essere viste anche in chiave geometrica come risultato della successiva applicazione di un’omotetia di rapporto fissato ad una figura iniziale. Una visualizzazione può favorire la formazione di un’immagine del concetto di successione convergente o divergente più accessibile rispetto a quella che può essere elaborata operando all’interno del solo registro numerico. Esistono vari esempi di rappresentazioni grafiche di serie geometriche, in particolare della serie di ragione : molte costruzioni si basano sul progressivo riempimento di una figura data o sul ricoprimento di una linea.