6.2 Probabilit`a di eventi
7.1.1 Un semplice esempio
Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale `e raggiunto a maggioranza. I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
Calcolare la probabilit`a che l’imputato sia assolto.
Siano EA, EB ed EC gli eventi ai quali attribuiamo il seguente significato:
EA= “A assolve l’imputato”
EB = “B assolve l’imputato”
EC = “C assolve l’imputato”
Se consideriamo i costituenti logici associati agli eventi EA, EB ed EC vedia-
mo che l’evento:
E = “l’imputato ´e assolto da A, B e C”
38 7. Dipendenza lineare
7.2
Numeri aleatori con infiniti valori possi-
bili
Consideriamo un’infinit`a numerabile di valori possibili xh con h = 1, 2, ...
ad essi corrispondono le probabilit`a ph positive o nulle con
X
h
ph = 1 p⇤ 1 0 p⇤ 1
Per ogni intervallo o insieme I, conoscendo solo i valori possibili xh 2 I e le
rispettive ph, possiamo dire che dato X 2 I, se I contiene un insieme finito
di punti
P(X) =X
h
phxh
altrimenti, se ne contiene infiniti possiamo a↵ermare solamente che X h phxh P(X) X h phxh+ p⇤
Se x `e punto di accumulazione per gli xhabbiamo delle probabilit`a aderen-
ti (non nulle). Le probabilit`a aderenti si distinguono in aderenti a sinistra e aderenti a destra, queste si definiscono rispettivamente come il limite di P(x " < X < x) e di P(x < X < x + ") per "! 0. Le probabilit`a aderenti non possono superare p⇤ neppure se considerate complessivamente, quindi le
probabilit`a aderenti potrebbero avere o probabilit`a < p⇤, o non esistere e in
questo caso la loro probabilit`a sarebbe nulla; pur valendo per p⇤ la seguente doppia disuguaglianza 0 p⇤ 1.
Ci chiediamo cosa possiamo a↵ermare riguardo alla previsione P(X) co- noscendo i valori possibili xh e le rispettive probabilit`a ph, cio`e seguendo
l’impostazione soggettivista [1] quali vincoli vengono imposti dalla conoscen- za degli xh e dalla valutazione delle ph alla quale vogliamo rimanere coerenti
per il calcolo della previsione di X.
Prima di studiare il caso di un numero aleatorio X illimitato vediamo quello di X limitato, prendiamo il minimo e il massimo dei punti di accumu- lazione degli xh, indichiamoli rispettivamente con x0 e x00, avremo quindi la
7.2 Numeri aleatori con infiniti valori possibili 39
seguente catena di disuguaglianze
1 < inf X x0 x00 sup X < +1
Proposizione 7.2.1. Se p⇤ = 0 risulta univocamente P(X) = Phphxh
(come nel caso finito); al di fuori di tale caso particolare possiamo solo dire che X h phxh+ p⇤x0 P(X) X h phxh+ p⇤x00
e P(X) risulta univocamente determinato se p⇤ = 0 o se e solo se x0 = x00,
ossia se gli xh hanno un unico punto di accumulazione, che `e quindi un limite
al quale convergono.
Dimostrazione. Fissato " > 0 prendiamo N abbastanza grande al fine che risulti Pph < " con h N , e poniamo X = X1+ X2+ X3 con
X1 = X = xh se h < N , altrimenti X1 = 0 X2 = X = xh se h N e xh < x0 " oppure xh > x00+ ", altrimenti X2 = 0 X3 = X = xh se h N e x0 " xh x00+ ", altrimenti X3 = 0 Abbiamo P(X1) =Phphxh (h < N ) !Phphxn (xh limitate) " inf X P(X2) " sup X
perch`e i valori possibili tra inf X e x0 " e tra x00+ " e sup X sono al pi`u in
numero finito, e la probabilit`a complessiva di quelli tra essi con h N `e la somma di un numero finito dei ph per i quali la somma della serie `e < "; e
infine
p⇤(x0 ") P(X
3) p⇤(x00+ ")
Tutto ci`o vale per ogni " e quindi per "! 0 si ha la tesi.
Passiamo ora al caso di X illimitato, consideriamo dapprima il caso di X illimitato unilateralmente e precisamente di illimitatezza superiore, il caso generale deriver`a come corollario.
40 7. Dipendenza lineare
X1 = 0_ X e X2 =|0 ^ X|.
Inoltre supponiamo non esistano punti d’accumulazione al finito, potremo quindi supporre le xh in ordine crescente, e tendenti a +1 al divergere di h.
In tali condizioni, posto Pn= n X h=1 ph P = lim Pn p⇤ = 1 P Sn = n X h=1 phxh S = lim Sn abbiamo Pn= P(X xn) 1 Pn= P(X > xn)
p⇤ = massa aderente a sinistra di +1, oppure in x = +1;
Sn = P X(X xn) Sn+ xn(1 Pn) = P(X^ xn)
previsione di x “troncato” a xn.Poich`e ogni X troncata `e sempre X, si ha
P(X) Sn+ xn(1 Pn) per qualsiasi n, e quindi
P(X) S + xn(1 P ) = S + xnp⇤ per qualsiasi n
Da qui possiamo dire subito che P(X) = 1, se S = 1 (la serie Pphxh
diverge) oppure se p⇤ 6= 0 (esiste una probabilit`a collocata o aderente in +1).
Nel caso opposto, cio`e se p⇤ = 0 e S finito (Pp
h = 1 e Pphxh convergente)
`e ammissibile per P(X) la valutazione P(X) = S =
1
X
h=0
phxh
o qualunque valore superiore, +1 incluso. Ci`o si dimostra per continuit`a. Poniamo X0
n = X(X xn) (X amputata),
con p0h = ph per h n, p0h = 0 per h > n e p00 =
P
ph(h > n) = P(Xn0 = 0);
al crescere di n tutte le ph = P(Xn0 = h) tendono a ph; ma P(Xn0) = Sn! S.
Poniamo poi X00
n = Xn0 + an(X > n), cio`e Xn00 coincide con X fino ad xn, ma,
7.2 Numeri aleatori con infiniti valori possibili 41
xh per cui xhp0 n. Il valore an d`a un contributo n, quindi senz’altro
P(Xn00) n! 1.
Schematizziamo la conclusione raggiunta nei due casi: p⇤ > 0 P(X) = +1
p⇤ = 0 (
S = +1 P(X) = +1 S =< +1 S P(X) +1
Se X `e bilateralmente illimitato P(X) `e completamente indeterminato. Consideriamo la valutazione privilegiata consistente nel prendere sia per la parte positiva 0_ X che per quella negativa 0 ^ X la previsione minima (in valore assoluto) ammissibile, indichiamola con bP e ponendo in generale
b
P(X) = bP(0_ X) P(b |0 ^ X|) o brevemente
b
S = S++ S
Questa previsione asintotica risulta:
b S = S++ S 8 > > < > > : finita, se lo sono S+ ed S ; infinita, se lo `e una: +1 se S+= +1; 1 se S = 1;
non definita, se entrambe sono infinite.
7.2.1
La propriet`a di continuit`a
La propriet`a dice che la coerenza si conserva in un passaggio al limite [1]. La propriet`a non vale nel caso dell’additivit`a completa. Essa `e molto utile per dimostrazioni di ammissibilit`a, come quella precedente sul caso di previsione di un X illimitato superiormente.
Teorema 7.2.2. Siano Pn(E) delle valutazioni di probabilit`a (coerenti) de-
finite per un medesimo campo di eventi E, e poniamo P(E) = lim Pn(E)
quando esiste (e siaE0 ✓ E l’insieme degli E per cui il limite esiste). In tale
42 7. Dipendenza lineare
Dimostrazione. Le condizioni di coerenza sono espresse da equazioni (o di- sequazioni) lineari implicanti un numero finito di elementi (eventi, o numeri aleatori); nel passaggio al limite si conservano.
Bibliografia
[1] B. de Finetti, Teoria delle probabilit`a, Giulio Einaudi, Torino, 1970. [2] B. de Finetti a cura di P. Monari e D. Cocchi, Probabilit`a e induzione,
Clueb, Bologna, maggio 1993.
[3] F. Biagini, M. Campanino, Elementi di probabilit`a e statistica, Springer, Milano, 2006. [4] http://www.brunodefinetti.it/ [5] http://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit`a [6] http://www.unipa.it/sanfilippo/pub/sigad/altro/treeventi/ [7] http://www.dm.unibo.it/⇠campanin/htdocs/diddist/1.html 43
Ringraziamenti
Il primo ringraziamento desidero rivolgerlo al Professor Massimo Campa- nino per la grande disponibilit`a, la pazienza, i consigli e l’aiuto che mi ha dato durante tutta la stesura della tesi.
Un grazie speciale alla mia famiglia che mi `e sempre stata vicina, soprat- tutto nei momenti pi`u duri, che mi ha sostenuto e fatto arrivare fino a questo punto.