Le teorie con gruppo di gauge USp(2N) possono essere studiate come `e stato fatto con le teorie SO(N). Accenniamo brevemente ai risultati che si ottengono per due pattern di rottura.
L’esempio pi`u semplice di rottura di questa simmetria di gauge `e quello causato da un valore di aspettazione del campo φ nel vuoto
v . .. v −v . .. −v (2.146)
nel qual caso il pattern di rottura `e
USp(2N) −→ U(N) −→ 1 (2.147)
dove la rottura completa `e causata dai vev degli squark. Questo caso `e molto simile agli altri casi di rottura a U(N), e in particolare al caso SU (N + 1) → U(N) studiato originariamente in [5]. L’analisi dei vuoti procede in maniera simile a quanto gi`a visto e si trova in [9]. Notare che in questo caso il numero di flavour pu`o essere scelto pari a 2N o 2N + 1 in modo che la teoria di alta energia sia asintoticamente libera mentre quella di bassa energia non lo sia, in modo che l’analisi semiclassica delle configurazioni di vortice sia valida anche se la teoria fondamentale `e asintoticamente libera. Il resto della costruzione procede in maniera sostanzialmente identica a [5], a parte eventuali differenze dovute alla diversa normalizzazione dei generatori del gruppo di bassa energia. Il gruppo di color-flavour `e U(N)C+F; i monopoli di
massa minima della teoria si trasformano secondo la fondamentale di ^U(N), mentre U(N)C+F interpola tra le varie configurazioni sia di vortici che di
monopoli.
L’altro caso di rottura interessante presenta un vev della forma v 0 . .. 0 −v 0 . .. 0 (2.148)
che corrisponde a un pattern di rottura
USp(2N + 2) −→ USp(2N) × U(1) (2.149)
Questo caso `e interessante poich`e il gruppo duale `e SO(2N + 1), ben di-^ verso da USp(2N). Anche in questo caso non `e tuttavia possibile rompere completamente il gruppo di gauge in teorie con squark nella fondamentale, e bisogna modificare le rappresentazioni o il superpotenziale come nel ca- so SO(M + 2) → SO(M) × U(1). In entrambi i casi si trova un gruppo USp(2N)C+F, ed entrambi presentano problemi, poich`e dei 2N + 1 monopoli
minimali che si possono costruire con questa rottura ne esiste uno che rimane invariato sotto trasformazioni di USp(2N)C+F: di conseguenza si ripresen-
tano i problemi di interpretazione di questo gruppo di color-flavour, legati al fatto che lo spazio delle configurazioni dei monopoli e vortici minimali `e disconnesso e gi`a incontrati per il caso SO(2N + 1) → U(N).
Capitolo 3
Conclusioni
In questa tesi abbiamo iniziato ad approfondire lo studio delle configurazioni di minima tensione dei vortici non abeliani in teorie con gruppi di gauge diversi da SU (N). In particolare la nostra attenzione `e stata concentrata sul ruolo del gruppo duale di colore e sapore1 e sul suo legame con i modi nulli dei
vortici e dei monopoli. Abbiamo osservato che in tutte le teorie esaminate le configurazioni realmente presenti sono costituite da un monopolo e un antimonopolo legati da un vortice, e che quindi esiste una relazione stretta tra le configurazioni minimali di monopolo e le configurazioni minimali di vortice. Notiamo anche che `e necessario trasformare contemporaneamente vortici e monopoli sotto il gruppo duale per trovare i modi nulli del sistema, e che quindi il gruppo duale individuato nella teoria di bassa energia agisce anche in maniera non banale sui monopoli.
Abbiamo costruito per vari pattern di rottura i vuoti che presentano ques- ta simmetria di color-flavour, abbiamo costruito alcune configurazioni dei vortici minimali e abbiamo mostrato esplicitamente la corrispondenza con i monopoli minimali esistenti nelle teorie. Abbiamo visto che il gruppo di color-flavour applicato alle soluzioni dei vortici genera una successione con- tinua di configurazioni che interpolano tra quelle iniziali e abbiamo ricavato lo spazio delle configurazioni nei vari casi.
Le conclusioni per alcuni casi sono incoraggianti: le trasformazioni di color-flavour interpolano tra tutti i vortici e i monopoli minimali della teoria, orientando il flusso dei vortici in qualunque direzione all’interno del gruppo di gauge. Il fatto che questa simmetria di color-flavour non sia rotta spon- taneamente e interpoli tra i vari vortici implica una degenerazione esatta anche quantisticamente in tensione; questa `e una condizione sufficiente per l’esistenza di giunzioni di stringa, che sono state studiate di recente[15][23]
1Notare che storicamente gruppi di simmetria di questo genere sono stati studiati
all’interno di alcuni modelli negli anni ’70 da Bardakci e Halpern[6].
proprio nella teoria con gruppo di gauge SU(N) e che rappresentano una lin- ea di ricerca promettente che ha gi`a avuto buoni risultati con la spiegazione di corrispondenze tra modelli sigma N = 2 bidimensionali e teorie di Seiberg- Witten e con l’individuazione di anomalie nella carica centrale di monopoli in queste teorie. La base di questi lavori `e l’identificazione dei solitoni nei modelli sigma corrispondenti ai modi nulli di orientazione dei vortici con i monopoli confinati in regime altamente quantistico all’interno dei vortici.
L’aspetto meno incoraggiante `e la difficolt`a di costruire in altri casi un gruppo che interpoli tra tutte le configurazioni minimali di vortici e monop- oli. Se lo spazio delle configurazioni rimane disconnesso, probabilmente il gruppo duale di color-flavour non corrisponde esattamente al gruppo duale secondo Goddard-Nuyts-Olive e rimangono da trovare le trasformazioni che interpolano tra le parti sconnesse.
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Ringraziamenti
Dopo cinque anni a Pisa mi sento di dire che devo la mia residua salute mentale e il ricordo delle cose belle che ho vissuto a molte persone, ed `e soprattutto per loro che mi dispiace lasciare questa citt`a. Ho condiviso con loro questi anni, le ore di studio, le innumerevoli cene al Numero 11 o allo Spaventapasseri o a Montemagno, le feste e le nottate di gioco, gli scherzi, le discussioni, i libri, le canzoni, le partite a calcio, le notti insonni a ripassare, i gelati e i dolci, i concerti, le camminate, le vacanze, le decisioni, le incertezze e i problemi. Ringrazio per questo
Alice
, Mikk, Jerry, Davide, Beppe, Marzello, Anna, Simone, Daniele, Sara, Claudio, Margherita, Francesco & Francesco, il Crescio, Niccol`o, Luca, Giacomo, Gabriele, Caterina, Gipo, Max, e qualcun altro che sto sicuramente dimenticando!Tra i miei professori ringrazio in particolare Ken, per quello che mi ha insegnato e per l’infinita pazienza che ha dimostrato. Ringrazio Enore Guadagnini e Riccardo Barbieri per l’interesse che hanno suscitato in me nei confronti della fisica teorica, e Leone Fronzoni per aver risvegliato l’interesse verso altri campi. Ringrazio infine Pietro Menotti, Adriano Di Giacomo e Ettore Vicari per gli insegnamenti e per la disponibilit`a.
Durante questi anni ho ricevuto un costante appoggio da Bologna, dove ho lasciato amici e parenti che hanno sempre creduto in me e mi hanno dato forza per andare avanti. Ringrazio in particolare per questo Davide, Matteo, Francesca e Valentina. Ringrazio i miei genitori e i miei nonni, che mi hanno sempre aiutato con il loro sostegno e con le tagliatelle. Ringrazio infine mia sorella Monica, che mi `e sempre stata vicina e mi ha appoggiato durante questi anni.